三種經典題型帶你玩轉勾股定理

王風池

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）

題型一：已知直角三角形的兩邊求第三邊

【例1】在Rt△ABC中，a=6，b=8，求c.

解：①當∠C=90°時，由勾股定理得，

②當∠B=90°時，由勾股定理得，

題型二：勾股定理與面積

1.已知兩邊長求面積.

【例2】在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，則Rt△ABC的面積S=______.

解：在Rt△ABC中，a=3，c=5，則 b=4，

2.已知周長（a+b+c）和斜邊長c，或已知（a+b）及c，求面積.

【例3】一直角三角形周長為12米，斜邊長為5米，則這個三角形的面積為______.

解：在Rt△ABC中，

∵（a+b）2=a2+b2+2ab，c2=a2+b2，

∴（a+b）2-c2=2ab，

3.已知a、b、c（或已知a、b，根據勾股定理求出c），求高h.

【例4】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AB=5，CD是斜邊的高，求CD的長.

解：∵∠C=90°，AB為斜邊，且BC=4，AB=5，

∴AC=3.

4.直線上擺正方形問題.

【例5】在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖1所示）.已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于 .

圖1

解：為方便說明，在圖上加字母A、B、C、D、E.

觀察發現，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，

∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠BAC=∠EBD，

∴△ABC≌ △BED（AAS），

∴BC=ED.

∵AB2=AC2+BC2，

∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，

即S1+S2=1，同理S3+S4=3．

∴S1+S2+S3+S4=1+3=4.

題型三：勾股定理與折疊

【例6】如圖2，有一個直角三角形紙片，兩直角邊的長AC=6cm，BC=8cm，現將直角邊AC沿AD對折，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長.

圖2

解：設CD=x，則BD=8-x.

∵△ADE是由△ACD翻折得到的，

∴AE=AC=6，∴BE=10-6=4.

在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，

即（8-x）2=42+x2，解得x=3.

∴CD=3.