淺談“勾股定理”中的思想方法

陳 芬

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）

勾股定理是反映自然界基本規律的一條重要結論，它有著悠久的歷史，在數學發展中起著重要的作用.它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系，將數與形統一起來，在現實生活中有著廣泛的應用.

一、梳理知識點

1.勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方.

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為 a、b、c，且 a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形.

3.滿足關系 a2+b2=c2的 3 個正整數 a、b、c稱為勾股數.

二、思想方法總結

1.數形結合思想.

直角三角形是一個幾何圖形，而勾股定理反映的是三邊長的數量關系，是代數問題.其逆定理是從數量關系得到圖形的情況.在探索勾股定理時，利用網格圖中的方格得到數量關系也是數形結合的完美體現.

【例1】如圖1，在矩形ABCD中，AB=8，點E是AD上的一點，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長線于點F，連接EF交CD于點G.若G是CD的中點，則BC的長是（ ）.

A.7 B.8 C.9 D.10

圖1

【分析】先利用ASA證明△DEG和△CFG全等，可得 DE=CF，EG=FG.設 DE=x，用 x表示出BF，再利用勾股定理求EG，再求出EF.然后根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得BF=EF，從而求出AD，再根據矩形的對邊相等可得BC=AD.

解：∵在矩形ABCD中，G是CD的中點，

易證△DEG≌△CFG，∴DE=CF，EG=FG.

設 DE=x，則 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x.在 Rt△DEG 中 ，

∵FH垂直平分BE，∴BF=EF，

∴AD=AE+DE=4+3=7，

∴BC=AD=7.故選A.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，矩形的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，熟記各性質并利用勾股定理列出方程是解題的關鍵.

2.分類討論思想.

【例2】如圖 2，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，若點 P在 AD邊上，連接BP、PC，△BPC是以PB為腰的等腰三角形，則PB的長為_____.

圖2

圖3

圖4

【分析】需要分類討論PB=PC和PB=BC兩種情況.

解：在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=6.

如圖3，當PB=PC時，即點P是BC的中垂線與AD的交點，則

在Rt△ABP中，由勾股定理得：

如圖4，當BP=BC=6時，△BPC也是以PB為腰的等腰三角形.

綜上所述，PB的長度是5或6.

故答案為：5或6.

【點評】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定和勾股定理.解題時，要分類討論，防止漏解.

3.方程思想.

解決問題時從問題的數量關系入手，通過已知量與未知量的關系建立方程（組），使問題得到解決，這就是方程思想.

【例3】如圖5，筆直的公路上A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B.已知DA=15km，CB=10km，現在要在公路的AB段上建一個土特產品收購站E，使得C、D兩村到收購站E的距離相等，則收購站E應建在離A點多遠處？

圖5

【分析】根據C、D兩村到E站的距離相等，可得DE=CE.在Rt△DAE和Rt△CBE中，設出AE的長，根據勾股定理可將DE和CE的長表示出來，列出等式求解.

解：∵C，D兩村到E站的距離相等，

∴DE=CE.

∵DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，

∴∠A=∠B=90°.

∴AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=EC2.

∴AE2+AD2=BE2+BC2.

設AE=x，則BE=AB-AE=25-x.

∵DA=15，CB=10，

∴x2+152=（25-x）2+102，

解得：x=10，

∴AE=10.

∴收購站E應建在離A點10km處.

【點評】本題主要是運用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來，再利用等量關系列方程求解即可.