數(shù)學之美之數(shù)形結合

蔡萃藝

依稀記得剛走進初中大門之時，數(shù)學老師在班級公共郵箱里放了一份《數(shù)學之美》的ppt文件.點開后，是一張張精美的幾何動態(tài)圖，幾張體現(xiàn)數(shù)與數(shù)之間運算規(guī)律的宏大的平面圖，數(shù)與形的美妙結合給我?guī)砹藦娏业囊曈X沖擊.曾經(jīng)的我單純地認為數(shù)學就是數(shù)字的運算，只有通過縝密的頭腦風暴才能將數(shù)學運用得如魚得水，而數(shù)字就是人們操控數(shù)學的秘密武器，在我將那份ppt從頭到尾一圖不落一字不漏地看完后，之前在腦海中構建出的數(shù)學概念堡壘，瞬間被一個個奇形怪狀的立體圖形轟炸成碎片，需要被替換、更新、重組.

雖說有被數(shù)學之美驚艷到，但內(nèi)心其實還充滿著對數(shù)學學習的恐懼，人們總是對未知的事物有著探索的渴望；與渴望并存的，還有對探索結果的恐懼.一想到這些“美”的背后煩瑣的證明過程，復雜的計算方法，我總是踟躕在數(shù)學之美的表面，難以感受到它背后更具有深度的美.這就仿佛給數(shù)學蒙上了一層朦朧的面紗，你深知面紗之下的真容能夠觸動大腦里最僵硬的那根神經(jīng)，給你一種如釋重負、恍然大悟的快感，但卻捉摸不透揭開那層面紗的方法，

總而言之，數(shù)學不單單研究數(shù)字，它還研究結構、變化、空間以及信息等方面，從某種角度看屬于形式科學的一種.

在小學數(shù)學的學習中，幾何與數(shù)字的關系并不是非常緊密，稍有涉及的無非是計算圖形的面積、周長，要求稍微高點則是計算最值問題等.到了初中，圖形的種類變得豐富起來，函數(shù)也登上了數(shù)學的舞臺，這兩者之間的結合便構成高中試卷壓軸題型——考查數(shù)形結合的函數(shù)題.

函數(shù)可以用圖象來表示，其中必然會涉及幾何問題；幾何圖形里大有文章可做，最為寵幸的便是函數(shù).這兩者的結合可謂是“雙劍合璧”了.華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休”，“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，而數(shù)形結合，主要指的是數(shù)與形之間的一一對應關系.

運用數(shù)形結合的思想解題可以起到事半功倍的成效，在過去接觸的大部分題目里，題干中并不會給出明確的提示來揭示這道題的本質是數(shù)形結合的應用，這就要求我們做題時擁有一種敏銳的直覺.原式進行各種變形轉化后還是無法找到解題的突破口，就可以換一種思路，采用數(shù)形結合的方法來解決，

例 已知f（x）=m（x-2m）（x+m +3）， g（x） =2x-2，若x∈R，f（x）<0或g（x）<0，則m的取值范圍是____.

大部分人都會先解m（x-2m）（x+m+3）<0和2x-2<0，將x的范圍求出，這時便需要注意條件中的“或”字，說明兩者中只需有一者小于零即可，但由于m的正負未知，2m與m 3的大小也就無法確定.進行分類討論的工作量可以說是十分大了.不妨換條路走，f（x）是二次函數(shù)形式，可以畫出它大致的圖象，g（x）的圖象是可以確定的，于是我們可以得到圖1.

由圖可知，當x<1時，g（x）<0，因此此時f（x）的圖象只要是拋物線即可.當x≥1時，因為g（x）>0，所以f（x）<0，這時就要求我們對x≥1時f（x）的圖象進行條件限制.首先先確定m的正負，由它來決定f（x）圖象的開口方向.當m>0時，圖象開口向上，則x趨于正無窮時總會有f（x）>0恒成立，因此m必須為負數(shù)，所以f（x圖象與x軸的交點為（2m，0）和（-m-3，0），就如圖2.再通過確定交點的左右位置即可對m進行分類討論，求解就簡單多了.

由此可見，數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)助形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的，這個方法常常與以下內(nèi)容有關：實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系，函數(shù)與圖象的對應關系，曲線與方程的對應關系，以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念（如三角函數(shù)）等，

我們要在平常做題的過程中，不斷總結積累，慢慢領悟出數(shù)形結合的思想方法，讓兩者相得益彰地輔助我們思考，從而達到解決問題的目的，如果說代數(shù)與幾何是數(shù)學界的兩大強者，強強針鋒相對之時你不知所措，只會被夾在中間受到二倍技能的傷害，倘若你選擇避開，同樣會造成兩敗俱傷，而你則無利可收.因此不如試著將它們征服于股掌之間，融合出更為強大的必殺技，想必到那時，許多囤積的難題便可以迎刃而解了.

點評 數(shù)形結合是高中數(shù)學學習中一個非常有效的方法，該生能感受到其中的生動有趣，體會到數(shù)學之美，對其將來的數(shù)學學習必有助益.