向量具有“兩面性”，思考常有“兩視角”

陳小紅

平面向量具有代數的特性，例如它可以用坐標表示，兩向量的共線、垂直、數量積都可以利用坐標來判斷或表示.平面向量又具有幾何的特征，例如它本身可以用有向線段來表示，兩向量的和、差都可以通過幾何的方式作出來等等.正是因為平面向量的“兩面性”，所以思考與解決平面向量相關問題往往會有“兩視角”.下面，我們舉例說明.

兩種視角的評析代數的視角，是將向量的數量積坐標化，最終轉化成一元不等式恒成立問題，這種轉化方法比較直接，也容易想到，其缺點是字母運算多，計算量大；幾何的視角，將向量的數量積為正，轉化成點P在以OM為直徑的圓外，再由點P的任意性，轉化成直線AB與以OM為直徑的圓相離，這樣的轉化比代數視角要困難一些，更加遞進一個層次，但是計算要容易得多，后面又有兩種視角轉化直線與圓相離這個條件，其一是常規的做法，即利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系列出不等式求解，其二注意到問題的特殊性，根據AB⊥OM及圖形，只要滿足點0，M在直線AB的同側即可，然后列出不等式求解.盡管幾何視角對于平面向量的相關幾何意義的要求較高，但這種方法對問題背景揭示得更為深刻，本例中利用幾何視角解題關鍵是要能想到PO·PM >O的幾何視角的轉化！既然明白了PO·PM>O的幾何意義，那么理解PO·PM =O，PO·PM

結語 轉化與化歸的思想幾乎貫穿了數學解題的始終，并且很多問題轉化的方向不是單一的，尤其是與向量相關的問題.向量具有“兩面性”，思考常有“兩視角”——代數視角與幾何視角.因此同學們應該常常從不同的視角去解讀同一個問題，往往會找到不同的突破口，甚至可以比較得出好的解法，加深對問題的本質的理解！