函數(shù)套函數(shù)，圖象反復(fù)看

余建國

通過考查函數(shù)零點(diǎn)，既可以綜合考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又可以考查等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，所以這類問題往往用在小題“壓軸”上.熱點(diǎn)追蹤表明，一個(gè)函數(shù)已“不夠難”了，兩個(gè)函數(shù)“套”起來！如求類似于f（f（x））的零點(diǎn)，分兩步，先解方程f（x）=0，若其中一根為x0，則再解方程f （x）=x0所得根即為f（f（x））的零點(diǎn).

例1 如圖，偶函數(shù)f（x）的圖象如字母M（如圖1），奇函數(shù)g（x）的圖象如字母N（如圖2），若方程f（f（x））=0，廠（g（x））=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為m，n，則m+n=

分析 解方程f（f（x））=o，實(shí)際上將f（x）圖象看兩次：先看f（x）=0，如一根3/2，再看方程f（x）=3/2的根，此時(shí)需要注意x0是否在f（x）的值域內(nèi)，還需要注意方程f （x）=x1，f（x）=x2，…所得到的根是否重復(fù).

解析 由圖象知，f（x）=0有三個(gè)根：0，±3/2.所以，由f（f（x））=0，得f（x）=o或f（x）=±3/2.而f（x）=±3/2無解，所以m=3；同理，由f（g（x））=0，得g（x）=0或g（x）=±3/2.由g（x）的圖象可知，方程g（x）=0，g（x）=3/2，g（x）=-3/2都有3個(gè)根，所以n=9.所以m+n=12.

例2 若函數(shù)f（x）=-Inx+ax2 +bx-a-2b有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，其中-1/2o，且f（x2）=x2>x1，則方程2a[f（x）]2+bf（x）-1=0的實(shí)根有_____個(gè).

分析 這里套了兩個(gè)方程：2ax2+bx-1=0和f（x）=x0，其中x0是方程2ax2 +bx-1=0的根.聯(lián)系極值點(diǎn)x1，x2，發(fā)現(xiàn)方程2ax2 +bx-1=0的兩根就是x1，x2，于是分別再解方程f（x）=x1，f（x）=x2.當(dāng)然，這里的x1，x2在函數(shù)f （x）的值域的什么位置決定了它們解的數(shù)目.

解析 f'（x）=-1/x+2ax+bx=（2ax2+bx-1）/x，x>0

由f'（x）=0，得2ax2 +bx-1—0.（*）

由題意，該方程的兩個(gè)根為x1，x2，即O

由韋達(dá)定理，得x1+x2=-b/2a，x1x2=-1/2a.

因?yàn)?-1/20，所以x1x2>1，從而x1>0，x2>1.

又由f'（x）的符號(hào)可知，f（x）在（0，x1）上為減函數(shù)，在（x1，x2）上為增函數(shù)，在（x2，+∞）上為減函數(shù).所以，f（x）在x=x1處有極小值，在x=x2處有極大值.

易知，當(dāng)z→0時(shí)，f（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞.f（x）的圖象如圖3所示.

由方程（*）可知，方程2a[f（x）]2 +bf（x）-1=0等價(jià)于f（x）=x1或f（x）=x2：.

因?yàn)閒（x2）=x2，所以結(jié)合圖象可知，方程f（x）=x2：有2個(gè)根.

因?yàn)閒（x）在x=x1處有極小值，在（0，x1]上為減函數(shù)，在（x1，x2）上為增函數(shù)，所以在（0，x2）上，f（2）在x=x1處取得最小值，且0 <1

因?yàn)閎>0，所以f（x1）<0

根據(jù)單調(diào)性，這5個(gè)根互不相同，所以原方程有5個(gè)實(shí)根.

反過來，如果這種“套函數(shù)”的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有要求，求參數(shù)的取值范圍怎么辦？其實(shí)還是“分解動(dòng)作”，只是由于參數(shù)未知，圖象未定，我們看到的圖象必須是能“動(dòng)”的，想象動(dòng)態(tài)圖象，找到符合要求的位置，從而確定參數(shù)滿足的條件（不等式組）.

例3設(shè)函數(shù)f（x）=log2（-x），x<0，2x，x≥0若關(guān)于x的方程[f（x）]2-af（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)以的取值范圍是

分析 方程[f（x）]2-af（x）=0等價(jià)于f（a）=0或f（x）=a.分別考查這兩個(gè)方程的解的個(gè)數(shù)，并注意不重復(fù)即可.

解析 由方程[f（x）]-2af（x）=0，得f（x）=0或f（x）=a.

由方程f（x）=0，得x=-1.

當(dāng)a≥1時(shí)，方程f（x）=a有兩個(gè)根，且一個(gè)非負(fù)，另一個(gè)小于-1；當(dāng)a

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）.

總結(jié)：“套”函數(shù)的零點(diǎn)分解為解兩個(gè)方程，需兩次觀察函數(shù)f（x）的圖象.注意：①方程f（x）=0的根x0是否在函數(shù)f（x）的值域中，如果在，還需將x0與f（x）的極值、端點(diǎn)值等比較大小；②合并根的個(gè)數(shù)時(shí)看看是否不重復(fù)，通常由函數(shù)的單調(diào)性決定.當(dāng)然，解決這類問題時(shí)畫圖是必須的！