老師，我為什么懂而不會——直線與圓篇

王思儉

考試結束，教室里同學們議論紛紛：

近幾年高考題中的直線和圓的試題都很難，老師講解時，我也懂了，但自己做又做不對，不知道問題出在哪里；

老師常說，求解直線和圓的題目，要經常想到圓的平面幾何性質，但我不知道如何使用；

直線和圓的題目一旦綜合起來，我就頭暈了，只好用死算的方法求解，往往無功而返；

為此，我邀請幾位學生就“直線與圓”這一知識進行交流，旨在幫助學生提高對圓的方程的認識，總結積累方法，提升數學核心素養.

生甲：已知兩條直線l1：（3+m）x+4y=5-3m，l2：2x+（5+m）y=8.則“l1//l2”的充要條件是“m∈______”.

根據l1∥l2的充要條件可得，（m+3）（m+5）=2×4，解之得m=-7，m=-1，m∈{-1，-7}.

生乙：m=-7可以推出l1∥l2，但m=-1得到的是l1與l2重合，因此充要條件是m=-7.

教師：正確！生甲沒有理解兩直線平行的充要條件究竟是什么？這就是你懂而不會的原因所在.

（變題）已知直線l1 ：（2+a）x+（a+3）y-5=0和l2：6x+（2a-1）y-8=0，當l1//l2時，實數a的值為_____ ；當l1⊥l2時，實數a的值為____.

生甲：當l1∥l2時，a=-5/2或a=4；當l1⊥l2時，a=-1或a=-9/2.

教師：正確！一般地，l1：A1x +B1y+C1=0，路：A2x+B2y+C2=0，其中A2i+B2i≠0（i=1，2），討論兩直線的位置關系.

生丙：l1與l2相交的充要條件是A1/A2≠B1/B2；l1∥l2的充要條件是A1//A2=B1/B2≠C1/C2；L1⊥L2的充要條件是A1/B1×A2/B2=-1.

教師：利用分式形式描述，一定要注意分母不等于零，這里Ai，Bi，Ci有可能是零的情況.A2i +B2i≠0的含義是什么？

生丁：是指Ai和Bi不同時為零，可能只有一個為零，也有可能兩個都不為零.因此，l1與l2相交的充要條件是A1B2-A2B1≠0；l1∥l2的充要條件是A1B2-A2B1=0且C1B2-C2B1≠0；l1⊥l2的充要條件是A1A2 +B1B2 =0；l1與l2重合的充要條件是A1B2-A2B1 =0且C1B2-C2B1=0.

生甲：已知A（4，0），B（1，0），動點P滿足PA =2PB.設點P到點C（-3，0）的距離為d，則d的取值范圍為____.

因為PA =2PB，而A，B，C三點共線，因此點P是線段BA的三等分點，也就是B，P，A三點共線，于是P點坐標為（2，0），所以點C到P的距離為d=5，故d的取值范圍為{5}.他們的結論都是區間，而我的答案則是一個單元素集合{5）.

教師：PA =2PB一定能推得三點共線嗎？三等分點的前提條件是B，P，A三點共線，你這是本末倒置了，其實，你沒有真正理解PA =2PB的含義是什么.

生甲：我理解為PA =2PB，也就是點P是線段AB的內分點.看來我的理解力是有問題的.

生乙：動點P到兩個定點的距離之比為2，點P應該是在一條曲線上的，設P（x，y），由已知得x2 +y2=4，因此點P的軌跡是以原點為圓心，以2為半徑的圓，可以設P（2cosθ，2sinθ），則PC2 =13+12cosθ，因此PC2的最大值為25，最小值為1，所以PC的取值范圍為[1，5].

教師：很好！他是利用三角代換的方法求解，最后轉化為三角函數的最值問題.大家想一想還有其他方法嗎？

生丙：利用數形結合思想求解較簡潔，點P的軌跡為圓，由平面幾何性質知CO-r≤PC≤CO +r，即1≤PC≤5.

教師：很好！研究圓的問題要充分利用圓的幾何性質，這樣可以大大提高解題速度！

生丁：這道題實質就是阿波羅尼斯圓問題，一般情況是：兩個不同的定點A，B，動點P滿足PA =λPB（其中λ為正常數），則動點P的軌跡為圓，

教師：你將特殊問題一般化，很好！你能給出具體的求解過程嗎？

生丁：以AB的中點為原點，以AB所在直線為z軸，AB中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設點A的坐標為（-a，0）（a>0），點B的坐標為（a，0），P（x，y），于是PA=λPB代數化并化簡，得（x-（λ2+1）/（λ2-1）a）2+y2= （4λ2a2）/（λ-1）2，所以點P的軌跡是以（λ2+1）/（λ2-1）a，0）為圓心，以（2λa）/|λ2-1|為半徑的圓，

生戊：不嚴謹，當A =1時，不成立，此時軌跡是線段AB的中垂線，所以應該分類討論，

教師：正確！解題應該嚴謹.

（變題）在△ABC中，AB=2，CA=√2CB，則△ABC的面積的最大值為___.

生甲：直接代人上述圓的方程，很快得出（x-3）2+y2=8，半徑r=2√2，圓上距離x軸（線段AB）的最大值為半徑，因此三角形的面積的最大值為2√2.用這種方法做很簡單，以前我做過類似的問題，方法很煩瑣，這簡單的解法取決于理解力的寬度.

教師：生甲概括得很好！從這道變題中他悟出解題的道理，你們應該學會做中悟道.

生甲：已知圓O：x2+y2 =4上恰有四個點到直線l：x+y+c =0的距離為1，則實數c的取值范圍為_____.

你們平時學習一定要注意總結與積累，同學之間要善于交流，不怕出錯，要在錯誤中尋找原因，通過交流，消除自己在數學認知結構上的“盲點”；通過討論，使自己對數學核心知識又有新的認識；通過辯論，不僅提高自己的思辨能力，而且提升自己的數學核心素養，因此，你們要敢于質疑，大膽質疑，勇于探索！