中考中的平移、翻折和旋轉

陳圓圓

摘 要：現代數學教學的首要任務是培養學生的數學能力。的確，數學教學中傳授知識是一方面，但更重要的應是發展學生的數學能力，使學生學會數學的思考、研究和解決問題。眾所周知，數學能力的核心是數學思維能力，而圖形變換最大的特點就是注重考察學生的猜想、探索與創新思維能力，解題靈活多變，是考察學生分析問題和解決問題能力的一把良尺.

關鍵詞：平移；翻折；旋轉

中考是初中教學的指揮棒.從近幾年的中考試題我們看出，中考具有一定的選拔性，因此，在試卷上重視基礎知識考察的同時，也加強了對數學能力包括思維能力，運算能力，分析問題和解決問題能力的考查，試題的應用性、創新性明顯增強。

平移、翻折和旋轉是幾何變換中的三種基礎變換.所謂幾何變換就是根據確定的法則，對所給的圖形（或某一部分）施行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關圖形之間的關系.平移、翻折和旋轉中題型豐富多彩，解題靈活多變，很好得體現了學生分析問題和解決問題的能力。所以，近幾年中考明顯加大了這方面的考察力度。

中考中，幾何變換常見的題型有填空、選擇、作圖以及綜合題等。平移、軸對稱、旋轉等變換常結合三角形全等、三角形相似、勾股定理、方程、函數等知識進行綜合應用。下面我將平移、翻折與旋轉在中考中的應用做以下歸納總結。

1 平移在中考中的應用

綜觀近幾年各省市中考試卷，一批立意新穎、構造精巧、考點突出的新題活題脫穎而出。這些試題很好地考查了學生的閱讀理解能力、知識遷移能力和分析問題解決問題的能力，為課堂教學吹了一股清新的風。

例1.（1）（2018.長沙）在平面直角坐標系中，將點A（-2，3）向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到的點A′的坐標是___.

（2）（2017.大連）在平面直角坐標系xOy中，線段AB的兩個端點坐標分別為A（﹣1，﹣1），B（1，2），平移線段AB，得到線段A′B′，已知A′的坐標為（3，﹣1），則點B′的坐標為（ ）

A（4，2） B（5，2） C（6，2） D（5，3）

（1）（2）兩小題考察的是點或線段在坐標系中平移后的坐標變化規律“左減右加”，“上加下減”，屬于基礎題.

例2.（2013.廣東省）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE= 。將這副直角三角板按如圖（1）所示位置擺放，點B與點F重合，直角邊BA與FD在同一條直線上，現固定三角板ABC，將三角板DEF沿射線BA方向平行移動，當點F運動到點A時停止運動。

（1）如圖（2），當三角板DEF運動到點D與點A重合時，設EF與BC交于點M，則∠EMC= 度。

（2）如圖（3），在三角板DEF運動過程中，當EF經過點C時，求FC的長。

（3）在三角板DEF運動過程中，設BF=x，兩塊三角板重疊部分面積為y，求y與x的函數解析式，并求出對應的x取值范圍。

圖1 圖2 圖3

這是2013年廣東省初中畢業生學業考試的一道壓軸題（第25題，9分），考察了平移變換的性質，銳角三角函數的定義，特殊角的三角函數值，三角形的外角性質，等腰直角三角形的判定及性質，同時數學中分類討論的思想在本題中也得到了很好的體現。

2 折疊問題在中考中的應用.

近年來，圖形的折疊問題成為中考數學中的一個亮點，有關翻折的考題日趨增加。折疊問題是近幾年中考的熱點，通常是把某個圖形按照給定的條件折疊，通過折疊前后圖形變換的相互關系來命題.圖形翻折型問題具有可操作性，教學中應突出探究活動過程，讓學生親歷“做數學”的過程。解題中，以下幾點為解題關鍵：（1）互相重合的點是以折痕為對稱軸的對稱點，連結兩重合點的線段被折痕垂直平分；（2）互相重合的線段是以折痕為對稱軸的對稱線段；（3）互相重合的部分是全等圖形，也是以折痕為對稱軸的對稱圖形。折疊型問題立意新穎，變幻巧妙，有效得培養了學生的識圖能力及靈活運用數學知識解決問題的能力，下面我們一起來探究這種題型的解法。

2.1 三角形中的折疊問題

例3.（1）（2013.郴州）如圖4，在Rt△ACB中∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一點.將Rt△ABC沿CD折疊，使B落在AC邊上的B′處，則∠ADB′等于（ ）

A.25° B.30° C. 35° D. 40°

（2）（2018.天津）如圖5，將一個三角形紙片ABC沿過點B的直線折疊，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為DB，則下列結論一定正確的是（ ）

A.AD=BD B.AE=AC C.ED+EB=DB D.AE+CB=AB

圖4 圖5 圖6 圖7

第（1）小題先根據三角形內角和定理求出∠B的度數，再由圖形翻折變換的性質得出∠CB′D的度數，最后由三角形外角的性質即可得出結論。本題考查的是圖形的翻折變換及三角形外角的性質，圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵。第（2）小題先根據折疊可得BE=BC，利用等量代換可得AB=AE+BE=AE+BC的長。此題主要考查了翻折變換，折疊是一種對稱變換，折疊前后的圖形全等是本題的解題關鍵。

2.2 四邊形中的折疊問題

例4.（1）（2013.梧州）如圖6，把矩形ABCD沿直線EF折疊，若∠1=20°，則∠2=（ ）

A.80° B.70° C.40° D.20°

（2）（2015.揚州）如圖7，E，F分別是□ABCD的邊AD、BC上的點，EF=6，∠DEF=60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC′D′，ED′交BC于點G，則△GEF的周長為（ ）

A.6 B.12 C.18 D.24

（3）（2013.河南省）如圖8，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E是BC邊上一點，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，當△CEB′為直角三角形時，BE的長為______。

圖8

第（1）小題考查了平行線和折疊的性質。

第（2）小題根據平行四邊形的性質得到AD∥BC，由平行線的性質得到∠AEG=∠EGF，根據折疊的性質得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等邊三角形，于是得到結論。

第（3）小題考察了矩形的性質，折疊的性質以及勾股定理的應用。解決本題的突破口是當△CEB′為直角三角形時有三種可能①可能是∠ECB′=90°②可能是∠EB′C=90°③可能是∠CEB′=90°。

翻折變換在幾何計算與證明中也很普遍。它是幾何中的一種重要變換，運用翻折變換可以將分散的線段、角或圖形集中到一起，利于問題的研究和解決。

例5.（2013·遵義）如圖9，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N。

圖9

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，求 的值。

第（1）小問由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；第（2）小問先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案。本題考查了矩形的性質、折疊的性質、勾股定理以及三角形的面積。難度適中，注意掌握輔助線的作法和數形結合的思想與方程的思想.

數學是研究數與形的科學。圖形翻折型問題的解決應抓住數形轉化為突破口，引導學生研究“數”與“形”，“翻折”是“形”的變化——軸對稱圖形、全等形、相似形；“翻折”是數量相等——線段之間、角角之間的相等。“翻折”為“數”與“形”之間的轉化搭起了橋梁.解決此類問題的思路是：先弄清對稱軸（折痕），明確圖中哪些線段相等（重合），哪些角相等（重合），哪些三角形全等（重合），然后找出線段間的數量關系，最后利用勾股定理、相似比或三角函數列方程，完成“數”與“形”之間的轉化，進而求得其解。

3 旋轉變換在中考中的應用

旋轉變換與現實生活聯系緊密，許多美麗的圖案可以由旋轉變換設計而成，于是，中考中加大了對旋轉變換的考察，這有利于培養學生實踐與操作能力，可以讓學生充分發揮自己的想象力，形成空間觀念和運動變化意識，加強圖形變換與現實生活的聯系。解這類題要求考生具備扎實的數學基本功，較強的觀察力，豐富的想象力及綜合分析問題的能力。解題時要切實把握幾何圖形運動過程，并注意運動過程中的特殊位置，抓住圖形旋轉前后變量與不變量，在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規律。

3.1 線段的旋轉

例6（2013.珠海9分）如圖10，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E。

圖10

（1）求證：∠CBP=∠ABP；

（2）求證：AE=CP；

（3）當 ，BP′= 時，求線段AB的長。

本題考察了旋轉的性質，等腰三角形的性質，角平分線的性質，三角形內角和定理，三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用等等，是一道綜合性很強的題目。

3.2 三角形的旋轉（直角三角形考察的最多）

例7：（1）（2018.浙江金華）如圖11，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC，若點A，D，E在同一條直線上，∠ACB=20°，則∠ADC的度數是（ ）

A.55° B.60 C.65° D.70°

圖11 圖12 圖13

（2）（2013.東營）將等腰直角三角形AOB按如圖12所示放置，然后繞點O逆時針旋轉90°至 的位置，點B的橫坐標為2，則點A的坐標為（ ）

A.（1，1） B.（ ） C.（-1，1） D.（ ）

（3）（2013.廣東省）如圖13，將一張直角三角板紙片ABC沿中位線DE剪開后，在平面上將△BDE繞著CB的中點D逆時針旋轉180°，點E到了點E′位置，則四邊形ACE′E的形狀是 。

第（1）題考查的是旋轉的性質，熟知圖形旋轉前后對應邊、對應角均相等的性質是解答此題的關鍵.根據旋轉的性質可知，旋轉前后的兩個圖形是全等的，且旋轉角度數是一樣的。∠ACE=90°，AC=CE，∠DCE=∠ACB=20°，可求出∠E的度數，根據外角的性質可求得∠ADC的度數。第（2）小題考查了旋轉的概念及性質，在直角坐標系中將問題轉化為直角三角形的旋轉，然后利用旋轉的性質求出相應的線段長，再根據點的坐標特征確定點的坐標。第（3）小題是旋轉的性質、三角形中位線定理與平行四邊形判定定理的綜合應用。

新課標中，幾何內容的最大特點就是突出了圖形變換，其中有平移、翻折、旋轉等。旋轉變換題型多樣，變化靈活，從考查學生空間想像能力與動手操作能力的實踐操作題，到直接運用旋轉相關性質的說理計算題，發展到基于旋轉操作的綜合題，甚至是壓軸題。各地的中考試題出現了許多有關圖形旋轉問題。

例8：（2013.廣東梅州11分）用如圖①，②所示的兩個直角三角形（部分邊長及角的度數在圖中已標出），完成以下兩個探究問題：

探究一：將以上兩個三角形如圖③拼接（BC和ED重合），在BC邊上有一動點P。（1）當點P運動到∠CFB的角平分線上時，連接AP，求線段AP的長；（2）當點P在運動的過程中出現PA=FC時，求∠PAB的度數。

探究二：如圖④，將△DEF的頂點D放在△ABC的BC邊上的中點處，并以點D為旋轉中心旋轉△DEF，使△DEF的兩直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點，連接MN。在旋轉△DEF的過程中，△AMN的周長是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請說明理由。

這是一道幾何綜合題，考察的知識點有旋轉變換、角平分線的性質、銳角三角函數的定義、特殊角的三角函數值、垂徑定理、等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質及二次函數的性質。難度較大。

3.3 四邊形的旋轉

圖形的運動在中考試題中屢見不鮮，將靜態的幾何圖形動態化，有利于培養學生用動態的觀點去看待問題，有利于培養學生空間想象能力和動手操作能力，這類問題的解題關鍵在于如何“靜中求動”或“動中取靜”。

例9：（2013.黃岡）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經過的路線長為 。

分析：如圖根據旋轉的性質知，點A經過的路線長是三段：①以90°為圓心角，AD長為半徑的扇形的弧長；②以90°為圓心角，AB長為半徑的扇形的弧長；③90°為圓心角，矩形ABCD對角線長為半徑的扇形的弧長。本題考查了弧長的計算、矩形的性質以及旋轉的性質。根據題意畫出點A運動軌跡，是突破解題難點的關鍵。

在圖形的平移、翻折與旋轉運動變化中尋找不變的量：對應邊相等，對應角相等，把握規律，探究關系，要學會把圖形的對稱性與分類討論的數學思想結合在一起。翻折與旋轉在三大圖形運動中是比較重要的，考查得較多。另外，從運動變化的圖形的特殊位置，探索出一般的結論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想，對我們解決運動變化問題是極為重要的。

4 中考中有關平移、翻折、旋轉的作圖

有關平移、翻折、旋轉的作圖題在中考中也是很受歡迎的，往往與網格結合在一起，具有很強的可操作性，這和新課程的理念相符合。中考中的“格點問題”也秉承了“狠抓基礎，注重過程，滲透思想，突出能力，強調應用，著重創新”這一精神，既突出了“數形結合”的數學思想方法，考查了學生對圖形的敏銳觀察力和對數學規律的發現探究能力，又考查了學生的創新意識、決策意識和實踐能力。近年來，與格點問題相關的中考題，題型不斷翻新，異彩紛呈。這有利于考查學生的畫圖、計算、觀察、推理、想象等多方面的能力。

4.1 平移和軸對稱的綜合

例10：（2016.甘肅省）如圖14，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形網格的格點上.

（1）畫出△ABC關于x軸的對稱圖形△A1B1C1。

（2）將△A1B1C1沿x軸方向向左平移3個單位后得到△A2B2C2，寫出頂點A2，B2，C2的坐標。

圖14 圖15

4.2 有關軸對稱和旋轉的綜合

例11：（2017.七臺河）如圖15，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，點A的坐標為（2，2），請解答下列問題：

（1）畫出△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1，并寫出A1的坐標。

（2）畫出△ABC繞點B逆時針旋轉90°后得到的△A2B2C2，并寫出A2的坐標。

（3）畫出△A2B2C2關于原點O成中心對稱的△A3B3C3，并寫出A3的坐標。

4.3 有關平移和旋轉的綜合

例12：（2016.龍東）如圖16，在平面直角坐標系中，點A、B、C的坐標分別為（-1，3）、（-4，1）、（-2，1），先將△ABC沿一確定方向平移得到△A1B1C1，點B的對應點B1的坐標是（1，2），再將△A1B1C1繞原點O順時針旋轉90°得到△A2B2C2，點A1的對應點為點A2。

（1）畫出△A1B1C1。

（2）畫出△A2B2C2。

圖16 圖17

4.4 有關平移、軸對稱和旋轉的綜合

例13：（2013.巴中）△ABC在平面直角坐標系xOy中的位置如圖17所示。

（1）作△ABC關于點C成中心對稱的△A1B1C1。

（2）將△A1B1C1向右平移4個單位，作出平移后的△A2B2C2。

（3）在x軸上求作一點P，使PA1+PC2的值最小，并寫出點P的坐標（不寫解答過程，直接寫出結果）。

以上例題都是在網格中完成作圖，除此之后還有很多題型，比如2013年廣州中考中就有一道題，要求在沒有網格的圖上作出△ABD的軸對稱圖形。其實不管什么題型，理解概念抓住本質是關鍵.

總之，在幾何變換問題中含有一些始終不變的量，抓住這些不變量進行計算、推理是解決變換問題的關鍵。針對初中數學課程改革和中考命題的變化，我們在解決平移、翻折、旋轉時要有的放矢，培養和重視學生對數學知識的理解、技能的掌握和綜合應用知識的能力，著實提高學生運用數學知識解決問題的能力。這樣學生在中考的舞臺上才會大展拳腳。

參考文獻

[1]《中學教與學》2017年第10期.

[2]《考試（中考版）》2010年第12期.

[3]《5年中考3年模擬》教育科學出版社.