表面曲率對石英毛細管微瓶模式及傳感特性影響

張 峰，吳根柱,2*，汪成程

(1.浙江師范大學 數理與信息工程學院，金華 321004；2.浙江師范大學 行知學院，金華 321004)

引 言

近十幾年來,回音壁模式(whispering gallery mode,WGM)光學微腔憑借著高Q值、模式體積小、制作方便等特點引起人們青睞。回音壁模式微腔是指一般尺寸為微米量級的圓對稱波導結構，光在微腔內部以全反射的形式傳播，使得光被約束在微腔內部繞著赤道運行，當光程為波長的整數倍即滿足相位匹配條件時，會產生等間距分立的共振模，這種電磁場模式也就是回音壁模式。回音壁模式微腔在非線性光學、光力學、腔量子電動力學、高靈敏折射率傳感等方面有廣泛應用前景。迄今為止人們設計制作了多種結構回音壁模式微腔，包括微球型、微環型、微盤型、微環芯型、微管型等。最近幾年人們提出一種新型微腔，即微泡型微腔[1-3]，該微腔是種混合型微腔，具有不同的介電層，倏逝光場會耦合進核芯中的液體，而大部分能量仍留在壁中，因此,該結構仍保持著高Q值同時又具有很高的傳感靈敏度。

微泡型微腔可由CO2激光對內部加氣壓的石英毛細管進行局部加熱熔融而制成[4-6]。通過調節加熱區域和加熱功率以及內部氣壓，可制成一個特定大小和壁厚的微球或有一定曲率的微瓶形狀結構，該結構可具有單柄或雙柄[7]，然后利用注射泵往微泡內注入液體，液體內物質分子與倏逝波發生耦合而影響內壁內回音壁模式特性，從而通過對微腔諧振波長變化的檢測可以間接實現對微腔內待測物的檢測。微泡的幾何尺寸對其模式特征影響非常大，曾有不少學者[8-10]對球形和橢球形微泡結構進行了仿真模擬，共同特點是利用有限元方法模擬分析了微泡膨脹半徑和壁厚對其Q值、有效折射率等參量以及溫度、壓力和折射率傳感性能等影響，而較少涉及到有關微泡曲率的影響，但實際制作過程中可能無法避免形成壁內外不同曲率的微瓶狀微泡，為此需要了解內外表面曲率對微泡模式性能影響，基于此，本文中使用有限元方法分析研究了不同曲率對微瓶狀空芯和液芯微氣泡回音壁模式特征及其傳感特性的影響，以便達到最佳微泡結構設計目的。

1 物理模型

典型微瓶狀微泡結構示意圖如圖1a所示，由一段中間略鼓起的毛細管構成。圖1b和圖1c是它的截面圖。

Fig.1 Schematic of microbottle

a—3-D geometry of microbottle b—cross section of microbottle c—longitudinal section of microbottle

過z軸的截面輪廓滿足[6,9,11]：R2(z)=R20[1-(Δkz)2/2]，可簡化成類似一條拋物線，其中R2(z)為微瓶的外徑，R20(z)為在z=0處的外徑，Δk是微瓶的曲率，Δk越大則曲率越大。為了區分壁內外微瓶的表面曲率，定義Δk1為外壁拋物線的曲率，Δk2為內壁拋物線的曲率，當Δk1一定值時，通過改變Δk2，可以實現不同曲率情況下的微瓶模型。

2 數值仿真及分析

選用λ=1.55μm通訊工作波長，首先通過有限元數值計算方法求解弱項亥姆霍茲方程[8,12-13]：

(1)

Fig.2 Mode field distribution of microbottle for different modes withR=25μm,t=1.4μm,Δk12=0.0035，Δk22=0.006

a—the first order mode b—the second order mode c—the second tangential mode

回音壁模式的主要損耗包括輻射損耗(倏逝波損耗)、材料吸收損耗和表面粗糙損耗。采用熔融方法能有效降低表面粗糙損耗，為了模擬實際情況，把材料吸收作為一個附加的虛部εi=-3.56×10-10引入材料介電常數。并在模擬的時候引入一個完全匹配層(perfectly matched layers，PML)，作為各向異性吸收器，能實現在有限計算空間內模擬輻射到無窮遠倏逝波。品質因子Q的計算公式為:

(2)

式中,fr是本征(復數)頻率。實部表示諧振頻率，虛部表示本征損失。Q值越大說明微腔儲存光子能量能力越強，反之則越弱，是衡量微腔性能優劣的一個重要參量。先以空氣為核芯介質研究微瓶回音壁模式特征。

由參考文獻[10]可知，當微泡的壁厚為1μm時更有利于傳感，能保持較高分辨率和靈敏度，且不易破裂，易于制作。為此這里選用赤道面處壁厚為1μm，外壁曲率平方Δk12=0.0035時，內壁曲率的平方Δk22=0.005時微瓶。在不同切向模式下,品質因子Q隨膨脹半徑R變化趨勢如圖3所示。膨脹半徑R<19μm時，3種切向模式Q值均隨膨脹半徑R增大而增大，這是由于此時微瓶尺寸較小，輻射損耗占主導，材料損耗相對比較小可以忽略。當膨脹半徑R>19μm時，3種切向模式下微瓶Q值均趨于飽和，此時膨脹半徑較大，輻射損耗較小，模式的Q值主要由材料損耗決定。切向高階模(如二階模和三階模)Q值始終高于一階模，且先達到飽和，這是由于高階模式下模場中心不全部在赤道面處，受壁厚影響，一般情況下壁厚越大Q值也越高[8]。

Fig.3 Relationship betweenQandRwhent=1μm, Δk12=0.0035, Δk22=0.005

圖4是在膨脹半徑R=12μm時，切向不同模式下Q值隨著曲率變化情況。圖4a中，赤道面處壁厚為1μm，固定外壁的曲率平方Δk12=0.0035，可以看出，相同半徑時Q值并不總是隨曲率的增大而增大。當膨脹半徑R較小時，如R=12μm,切向二階模存在一個Q值極大的點，此時內壁的曲率平方Δk22=0.008，之后Q值隨Δk22的變大而降低;切向三階模在R=12μm時同樣具有類似的規律，Δk22<0.007時Q值單調遞增，之后Q值隨Δk22變大而降低。對比3種模式可以看出，當曲率改變時，切向高階模Q值變化大于一階模。這是由于內壁曲率變大時，切向高階模(處于赤道面以外)所在壁厚變厚，從而模式Q值變大，而Q值受輻射損耗和材料損耗共同影響，高階模處于非赤道面處勢必導致模式所在半徑發生變化，從而輻射損耗和材料損耗存在一個折中產生模式最佳曲率，有一個極大值。而一階模處于赤道面處，所在壁厚始終保持不變，故受曲率的影響較小。圖4b中，赤道面處壁厚為1μm，固定外壁的曲率平方Δk12=0.007，顯然與圖4a有相同的趨勢，其中星號點代表RΔk=1即微瓶成為微氣泡[9]，一階模Q值高達5.5×106。

Fig.4 Relationship between Q and Δk22a—Δk12=0.0035 b—Δk12=0.007

液芯微泡的研究更有意義[14]，下面討論液芯下微瓶狀微泡回音壁模式特征。由參考文獻 [8]～參考文獻 [10]可知，曲率Δk的不同對其模場分布及諧振波長偏移有很大的影響；且液芯時，微瓶的壁厚對其模式影響很大，當微瓶壁非常厚時，模式大部分電磁場在壁中傳播；隨著壁厚減小，更多電磁場耦合進核芯中。這里對不同曲率不同壁厚液芯微瓶進行數值模擬，核芯的介電常數被液體取代(例如水的介電常數εreal=1.332=1.7698)。由以下公式可計算出模式在核芯中電磁場所占的比例:

(3)

(4)

式中，w(r)是能量密度，H(r),E(r),ε(r)和μ0分別是磁場強度、電場強度、介質介電常數和真空磁導率[15]。

Fig.5 Relationship between percentage in core and thickness

圖5描述了在膨脹半徑R=25μm，Δk12=0.0035，Δk22分別為0.004和0.005時，TM基模和切向二階模下微瓶核芯光場所占百分比隨赤道面處壁厚變化規律。可以看出，核芯能量百分比隨赤道面處壁厚增大而減小，壁越厚則越多能量處于壁中。內壁表面曲率Δk2越小，核芯百分比所占能量越大。對比兩種模式，顯然在壁厚小于一個工作波長時，Δk2發生改變時，切向二階模所受影響大于一階模。

3 微瓶傳感特性

回音壁模式微腔應用于傳感領域，主要由于微腔內部或者自身與外界相互作用引起諸如頻率或者光譜改變[16-18]。特別對于液芯傳感[1,19-20]，當外界環境(核芯物質濃度、溫度、壓力)發生變化時，微腔內部諧振波長會產生一個較小漂移，通過掃描可精確測量出該譜線漂移量。表面曲率不同對微瓶傳感特性影響很大[4,9,21]，將折射率靈敏度定義為回音壁模式的頻移比:

S=?λ(nc)/?nc

(5)

式中,nc表示核芯物質有效折射率，λ(nc)表示微腔內部諧振波長。通過引入對微瓶狀微泡內核芯物質折射率一個微小改變量(如0.001)進行模擬，計算出模式諧振波長偏移量。選用外壁表面曲率平方Δk12=0.0035，赤道面處壁厚為1μm，不同膨脹半徑、內壁表面曲率進行模擬計算，得到不同切向模式諧振波長移動變化曲線,如圖6和圖7所示。

Fig.6 Relationship between wavelength and R

Fig.7 Relationship between wavelength and Δk22

圖6中描繪了在內表面曲率平方Δk22分別為0.004,0.005,0.006、一階模和二階切向模式下液芯微瓶核芯折射率發生0.001改變量時諧振波長移動量。可以看出,各階模式下波長變化量均隨膨脹半徑增大而增大，且內壁表面曲率越小，各模式下諧振波長變化量越大，越有利于傳感。對比兩種模式，相同曲率時，隨膨脹半徑變化切向二階模波長變化量小于一階模，且曲率越大時效果越明顯。選用更多內壁曲率數據進行模擬，如圖7所示。各階模在內壁表面曲率越大時諧振波長偏移量越小，且切向二階模波長偏移量減少得更快，表明曲率對切向高階模的影響更為明顯，即曲率越小越有利于二階切向模式折射率傳感應用。

4 結 論

基于有限元數值模擬方法對不同表面曲率微瓶狀微泡回音壁模式光學特性進行了研究。探討了微瓶在不同表面曲率、膨脹半徑時模式特征，并討論了不同表面曲率下不同模式核芯能量百分比，最后對其折射率傳感特性進行了分析。通過調節表面曲率可獲得高Q值、高靈敏度的折射率傳感器。雖然只討論了小尺寸微泡和一種工作波長(1.55μm)情況，但對大尺寸和其它波長同樣存在相似結論。該傳感器除了折射率傳感外,還可以用于其它物理參量如壓強和溫度等傳感領域[22-23]。