例說數學教學中概念課的問題設計

顧斌元

（甘肅省武威第八中學，甘肅 武威）

數學概念是數學教材結構的最基本的因素，正確理解數學概念，是掌握數學基礎知識的前提．在新課標的要求下，數學概念課的教學,要讓學生體會概念產生的源頭,親歷概念形成的過程；自主抽象概括形成概念,自覺應用概念去解決問題．因此，正確認識數學概念，掌握概念并應用它解決數學問題就成為數學教學的重要組成部分．那么怎樣才能使學生駕馭數學概念呢？現以“直線的傾斜角和斜率”一節教學為例，談一談在概念課教學中如何設計問題．

一、由問題產生概念

問題1：黑板上有兩個正方形（邊長差別很大），你能用三角板畫出它們的對角線嗎？小正方形的對角線容易畫出：兩個相對頂點確定一條直線，但在畫大正方形對角線時卻有無處下手之痛，陷入困境——三角板邊長不夠，怎么辦？

鼓勵學生思考，設計方案．

方案：可用一個頂點和一個與一邊成45°的角確定這條對角線．

問題2：若選用大正方形的一個頂點和一個與一邊成60°的角畫直線，是否可能是正方形的對角線？

由此學生得到啟示，一個點與一個角可確定一條直線，產生了“用角來刻畫直線位置”的強烈愿望．這樣便自然產生了“直線的傾斜角”的概念．

問題3：用直線的傾斜角和直線上一點（有序實數對）同時刻畫一條直線時，在單位與進制方面有何不便？

單位不同，進制不同，產生極大不便，且考慮到直線上點P（x，y）有，這樣便自然產生了用傾斜角的正切三角函數值來代替傾斜角的愿望，由此引入了“斜率”概念．

二、由概念產生問題

新的概念產生之后，往往由于學習得不斷深入，發現初學概念有一定的“不完整”“不嚴謹”之處，這就需設計合理的問題對概念進行補充與完善，在教師的指導下歸納、敘述，從而變得簡明清晰、嚴謹準確．

問題4：平行于x軸的直線傾斜角、斜率各為多少？

問題5：平行于y軸的直線傾斜角為多少？斜率如何？

問題6：直線傾斜角的取值范圍是多少？

于是在規定下完善概念．

三、由問題拓展概念

問題 7：若直線過O（0，0），A（-1，-1），其傾斜角和斜率各為多少？

問題8：若直線過點P（5，4），Q（-3，2），則向量的坐標是多少？

由特殊到一般可設計以下問題．

問題9：若直線過點P（x1，y1），Q（x2，y2），向量的坐標是多少？作則直線OM的斜率為多少？直線PQ的斜率為多少？

鼓勵學生思考，并根據思路畫出路徑：

如此自然形成了斜率公式．

四、由問題深化概念

數學概念形成后，嚴格地逐字逐句地敘述、審核通過具體例子說明內涵、外延，引導學生利用概念解決問題和發現概念在解題中的作用，從而強化對概念的鞏固和掌握，是數學概念教學的重要環節，此環節操作中問題設計的成功與否，直接影響教學效果．問題過于簡單重復，達不到提高的效果，過于綜合又使學生力不從心．因而在這一階段的問題設計，應遵循循序漸進的原則，問題應有梯度，要有層次，由直接應用概念到概念的變式應用，逐步加深和提高．在學生理解了斜率公式之后，可設計以下遞進式題組來鞏固提高對概念的進一步理解掌握．

問題 10：已知直線過A（1，3），B（m，2），求直線的傾斜角與斜率．

問題 11：已知直線過P（2m+3，m），Q（m-2，1）.

當m為何值時，直線與y軸垂直？

當m為何值時，直線與x軸垂直？

當m為何值時，直線傾斜角為

通過幾個問題的解決，加深了學生對直線的傾斜角和斜率概念的認識，使學生的認識提高了一個層次．