如何在結論教學中讓學生主動探究
——由橢圓一個例題引起的思考

陳雄飛

（湖北省孝感市第一高級中學，湖北 孝感）

本文從講解圓錐曲線中的橢圓這一節的諸多性質入手，以例題為載體，以一題多解、一題多變為手段，來談談圓錐曲線學習中如何讓學生有機會自由表述、探討問題，從而提高學生學習興趣，發展學生的思維能力。

一、教學主要環節

學生思考，并解答。

∴當x=0時當x=±2時，|PO|max=2

當 cosθ=0 時當 cosθ=±1 時，|PO|max=2

師：這兩位同學都是通過建立目標函數求最值，不同的是前者利用二次函數，后者利用三角函數。

思考1：此題的結論可否推廣到一般？學生思考并探究后得到：

結論1：橢圓上任一點P到原點O的距離最近的點為短軸端點，最遠點為長軸端點。

師：從變式1我們可得到

結論2：橢圓上任一點P與焦點距離最近（最遠）的點為長軸端點。

解：設|PF1|=x|PF2|=2a-x=4-x

由變式 1中得的結論，x∈［1，3］

結論3：橢圓上任一點P與兩焦點所成夾角為最大角時，P為短軸端點。

練習1：橢圓上存在一點P使，求橢圓離心率的取值范圍。

練習 2：設F1、F2為橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，使∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面積。由上述結論容易求得S△F1PF2=20tan45°=20。

結論4：設橢圓上動點為P，兩端點為A1、A2，則使張角∠A1PA2最大（最小）的點P為橢圓短軸（長軸）的兩個端點。

二、幾點思考

在該課例的探究活動中，首先通過第一道例題讓學生搜尋知識儲備，鞏固解決圓錐曲線求最值問題的一般方法——建立目標函數（或目標不等式），讓學生充分思考，一題多解，并由此例題得到結論，同時進行變式探討，一題多變，變式1與例題問法類似，是在知識的聯結點上的探究，學生容易進行類比、遷移，能夠獨立完成，加深了對知識點和基本的思想方法的理解。在這些探究中，較多的是以對話的形式展開的。變式2的提出，對學生具有一定的挑戰性，但思想方法也是建立目標函數，問題提出時可以引導，并由此得到兩組常用結論。最后再提出變式3并得出結論。

選擇例題變式的探究教學主要是希望“學生能夠帶著問題輕松步入課堂，在愉快且又適度的緊張中學習（探究）；又要讓學生帶著新的、更高層次的問題走出課堂，在自由自在中研究（學習）、發展”。因為例題變式探究教學主要是圍繞某數學問題（例題）而展開的，問題是課堂活動的載體，因此實施中選好例題尤為重要。

在結論教學中實施變式探究，是新課程轉變教學形式的要求，一要減少教師的講授；二要多進行學情分析，關注學生的差異性；三要盡可能滿足學生自主發展的需要，在教師的組織和必要的引導下，讓學生自主發現規律，自主探尋方法。經常實施這種探究，能使教學煥發出勃勃生機，能使學生在探究中顯示自己的才華，教師自身也可以在實施探究活動的過程中獲得更好的發展。