巧解東風(fēng)云水意，踏星掬月近天涯
——基于數(shù)學(xué)對(duì)象的高中函數(shù)題解構(gòu)研究

袁一丹

（浙江省桐廬中學(xué)，浙江 桐廬）

一、選題背景

（一）函數(shù)處在高中數(shù)學(xué)核心地位

函數(shù)知識(shí)貫穿高中數(shù)學(xué)，與數(shù)列、解析幾何等知識(shí)緊密聯(lián)系，是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是歷年浙江省高考的重難點(diǎn)（近三年純粹函數(shù)考題的統(tǒng)計(jì)見(jiàn)下表，不含其他知識(shí)背景考查函數(shù)題）。學(xué)好函數(shù)是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，同時(shí)是深入研究數(shù)學(xué)甚至是其他學(xué)科的基礎(chǔ)。

高考年份 題號(hào) 總分2015文 5（5分）、8（5分）、11（6分）、12（6分）、20（15分） 37分2015理 7（5分）、10（6分）、18（15分） 26分2016 文 3（5 分）、6（5 分）、7（5 分）、11（6 分）、12（6 分）、20（15 分） 42 分2016理 5（5分）、10（6分）、18（15分） 26分2017 5（4 分）、7（4 分）、17（4 分）、20（15 分） 27 分

（二）數(shù)學(xué)對(duì)象確立的適切性是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵點(diǎn)

數(shù)學(xué)解題結(jié)構(gòu)的過(guò)程一般可分四環(huán)節(jié)：定義概念→探究性質(zhì)→建立聯(lián)系→實(shí)踐應(yīng)用。詳細(xì)的，首先從數(shù)、形的角度提取信息并確立數(shù)學(xué)對(duì)象，然后探索數(shù)學(xué)對(duì)象的要素與要素、要素與環(huán)境等之間的關(guān)系和相互作用而探究出性質(zhì)，再建立相關(guān)知識(shí)的數(shù)學(xué)聯(lián)系形成一個(gè)知識(shí)體系，最后應(yīng)用所生成的新的知識(shí)體系來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這樣形成一個(gè)螺旋上升、層層深入并能達(dá)成深化認(rèn)識(shí)、拓展新知的數(shù)學(xué)問(wèn)題解構(gòu)過(guò)程，而其中數(shù)學(xué)對(duì)象確立的適切性是數(shù)學(xué)問(wèn)題解構(gòu)的關(guān)鍵點(diǎn)。

【案例 1】（2008 年浙江理 15）

已知t為常數(shù)。函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間［0，3］上的最大值為2，則 t= .

點(diǎn)析：此題難點(diǎn)是參數(shù)t的認(rèn)識(shí)和處理。若通過(guò)分析解構(gòu)出數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)開(kāi)展解題的路徑，如確立數(shù)學(xué)對(duì)象為函數(shù)y=x2-2x，然后探究y=x2-2x的圖象與函數(shù)y=x2-2x-t的圖象及y=|x2-2x-t|的圖象的關(guān)系，再建立直觀的數(shù)學(xué)聯(lián)系，結(jié)合圖象解決問(wèn)題。本題本質(zhì)的解構(gòu)方法在于能否把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)確定函數(shù)圖象的平移和翻折變換到某一特定位置。

（三）高中生之于數(shù)學(xué)解題的思維盲點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)語(yǔ)言相比初中數(shù)學(xué)抽象程度突增，知識(shí)內(nèi)容整體數(shù)量巨增，思維方法更具嚴(yán)謹(jǐn)性和推理性，對(duì)綜合分析能力較弱的學(xué)生易產(chǎn)生學(xué)困點(diǎn)，解題時(shí)更會(huì)出現(xiàn)思維盲點(diǎn)。如何從抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容中提取出適切的數(shù)學(xué)對(duì)象？如何把抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象轉(zhuǎn)化得直觀而易于探究？這是我們數(shù)學(xué)解題研究一個(gè)努力的方向。

【案例 2】（2015 浙江理 7）

存在函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有（）

A.f（sin2x）=sinxB.f（sin2x）=x2+x

C.f（x2+1）=|x+1|D.f（x2+2x）=|x+1|

點(diǎn)析：此題難點(diǎn)在于題設(shè)信息怎么提取轉(zhuǎn)化，選項(xiàng)信息與題設(shè)信息之間的聯(lián)系是什么？根據(jù)題設(shè)信息已知函數(shù)f（x）的定義域，根據(jù)選項(xiàng)信息可選擇用換元法求f（x）的解析式，這一步驟是可操作的。但是篩選出正確選項(xiàng)的依據(jù)是什么？關(guān)注到題設(shè)信息“函數(shù)”，可追問(wèn)求出來(lái)的關(guān)系式是“函數(shù)的表示形式”嗎？這一抽象思維過(guò)程是難點(diǎn)。因此此題的思維盲點(diǎn)在于我們想要了解的數(shù)學(xué)對(duì)象是什么，如果能確立數(shù)學(xué)對(duì)象為函數(shù)的解析式，結(jié)合對(duì)函數(shù)定義的考量，此題即破。

基于上述三個(gè)方面的教學(xué)實(shí)際需求，本文擬通過(guò)研究高中函數(shù)模塊中解題的教學(xué)實(shí)踐，歸納總結(jié)出以確立適切的數(shù)學(xué)對(duì)象是數(shù)學(xué)問(wèn)題解構(gòu)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并以案例的形式確立數(shù)學(xué)對(duì)象來(lái)解題。

二、實(shí)踐嘗試

（一）基于函數(shù)模塊的數(shù)學(xué)對(duì)象的分類(lèi)

1.理論基礎(chǔ)

（1）數(shù)學(xué)的語(yǔ)言功能

數(shù)學(xué)是具有獨(dú)特的符號(hào)系統(tǒng)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋磉_(dá)方式的一門(mén)語(yǔ)言。數(shù)學(xué)解題可以看成是運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀、表達(dá)和交流的過(guò)程，也是培養(yǎng)學(xué)習(xí)者學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)邏輯思考、創(chuàng)造性思考，從而達(dá)成認(rèn)識(shí)問(wèn)題、解決問(wèn)題的微實(shí)踐。

（2）數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)

認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的觀點(diǎn)越高，數(shù)學(xué)問(wèn)題越簡(jiǎn)單、樸素、自然，越透徹。高觀點(diǎn)的核心要素就是需要具備良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)和廣泛的知識(shí)面，同時(shí)能夠用最樸素的思想去推動(dòng)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的整個(gè)思維過(guò)程。在函數(shù)模塊對(duì)運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)進(jìn)行深度思考，抽象出適切的數(shù)學(xué)對(duì)象，以此數(shù)學(xué)對(duì)象為核心，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象及數(shù)據(jù)分析探尋數(shù)學(xué)對(duì)象與待求數(shù)學(xué)問(wèn)題目標(biāo)之間的數(shù)學(xué)聯(lián)系，進(jìn)行精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理，達(dá)成解決問(wèn)題的目的。

普高數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的六大核心素養(yǎng)：

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中可以很好地鍛煉學(xué)生抽象、建模、數(shù)據(jù)分析、運(yùn)算等核心素養(yǎng)，不僅解決了數(shù)學(xué)問(wèn)題，還“繁殖”出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“蘑菇群”。通過(guò)多年數(shù)學(xué)解題策略的研究，本人認(rèn)為函數(shù)模塊中可以從題設(shè)中提取出問(wèn)題解決的核心點(diǎn)——數(shù)學(xué)對(duì)象，并以此數(shù)學(xué)對(duì)象為核心探尋與問(wèn)題目標(biāo)的本質(zhì)聯(lián)系，以這樣一種最樸素的思想去思考，讓整個(gè)解題思維過(guò)程自然流暢。

2.分類(lèi)設(shè)計(jì)

本文所指函數(shù)模塊數(shù)學(xué)解題中的數(shù)學(xué)對(duì)象特指：方程、函數(shù)、不等式三類(lèi)。因?yàn)榇鷶?shù)問(wèn)題探究的基本上是等量關(guān)系和不等關(guān)系，其中等量關(guān)系中需要能分析出解決該問(wèn)題時(shí)需要把等量關(guān)系看成方程還是函數(shù)展開(kāi)探究，但有時(shí)候不考慮所含字母的身份，只是看成等式就可以解決問(wèn)題。

【案例 3】（2016 浙江 12）

設(shè)函數(shù)f（x）=x3+3x2+1，已知a≠0，f（x）-f（a）=（x-b）（x-a）2，x∈R，則 a=___；b=___.思路——數(shù)學(xué)對(duì)象：等式x3+3x2-a3-3a2=（x-b）（x-a）2；a≠0；數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：等式的恒等變形；

處理方法：對(duì)等式左邊進(jìn)行因式分解與右側(cè)對(duì)照，求出a，b的值。

左邊=x3+3x2-a3-3a2=（x-a）［x2+（a+3）x+a2+3a］

右邊=（x-a）［x2-（a+b）x+ab］

（二）基于數(shù)學(xué)對(duì)象的一題多解案例

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題很明顯能獲得這樣的信息：只需要把題設(shè)中的函數(shù)研究清楚就可以解決問(wèn)題，研究的方向一般為函數(shù)的圖象和函數(shù)的性質(zhì)兩方面，作出函數(shù)的圖象或者對(duì)函數(shù)的圖象進(jìn)行適當(dāng)變換達(dá)到問(wèn)題目標(biāo)，或者通過(guò)研究函數(shù)的性質(zhì)獲取與問(wèn)題目標(biāo)關(guān)聯(lián)的信息，從而解決問(wèn)題。但是函數(shù)的選擇是否適切關(guān)系到能否順利、快速、精準(zhǔn)地解決問(wèn)題。因此下面的案例從三種不同的數(shù)學(xué)對(duì)象選擇入手進(jìn)行剖析，獲得一題多解的解題方向。

【案例 4】（2017 浙江 17）

此題主要考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，運(yùn)用觀察、類(lèi)比、化歸的策略來(lái)解決問(wèn)題。其中抽象數(shù)學(xué)對(duì)象的思路有三種：函數(shù)、方程、不等式。

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：f（x）的最大值為5；

思路 2.數(shù)學(xué)對(duì)象：函數(shù) g（t）=|t-a|+a，t∈［4，5］；

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：g（t）的最大值為5；

處理方法：注意到g（t）在t∈R上的圖象關(guān)于直線t=a對(duì)稱，且在（-∞，a］上單調(diào)遞減，在［a，+∞］上單調(diào)遞增，立得

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：h（t）的圖象變換；

處理方法：把 h（t）的圖象向下（a＞0）或向上（a＞0）平移 |a|個(gè)單位，然后對(duì)x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱翻折，之后再把所得圖象向上（a＞0）或向下（a＞0）平移 |a|個(gè)單位，使得最高點(diǎn)為縱坐標(biāo)為5。

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：確保不等式恒成立且等號(hào)能成立；

本文以此案例的解析立足于數(shù)學(xué)對(duì)象的確立，通過(guò)對(duì)比分析，藉希望讀者可以斟酌出對(duì)自己最適切的數(shù)學(xué)對(duì)象，以達(dá)到“他山之石可以攻玉”的研究?jī)r(jià)值。

（三）基于數(shù)學(xué)對(duì)象的一題多變案例

平時(shí)在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師和學(xué)生的關(guān)注度更多在解題技巧方面，除非對(duì)這種技巧運(yùn)用得非常純熟，否則應(yīng)試時(shí)易找不準(zhǔn)方向。如果在平時(shí)教學(xué)中就時(shí)刻滲透著眼于數(shù)學(xué)對(duì)象的解題方向的探尋，那無(wú)論怎樣的問(wèn)題拿到都能如偵探破案一樣追尋到解題線索。下例為本人某一節(jié)作業(yè)分析課時(shí)開(kāi)展的基于數(shù)學(xué)對(duì)象與問(wèn)題目標(biāo)之間聯(lián)系的一題多變的解題教學(xué)片段：

【案例5】

已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+2-a集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

思路1.數(shù)學(xué)對(duì)象：函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+2-a.

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：x∈N，f（x）的符號(hào)；

處理方法：從變化中挖掘出定值，f（-1）=5（定值），f（0）=2-a，f（1）=1-2a，f（2）=2-3a，f（3）=5-4a，由此展開(kāi)探究：

（1）若f（0）=2-a<0，則f（1）<0，f（2）<0，f（3）<0，此時(shí)集合A中元素不唯一，符合條件；

（2）若f（0）=2-a>0，

②若f（1）<0，由集合A中元素唯一性，則必須滿足f（2）≥0，解得

思路 2.數(shù)學(xué)對(duì)象：關(guān)于 x 的不等式 x2-（a+2）x+2-a<0，x∈N

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：不等式只有一個(gè)自然數(shù)解。

處理方法：參變量分離，數(shù)形結(jié)合。

變式1.（結(jié)合一個(gè)符合條件的x，尋找約束條件）

已知函數(shù)f（x）=x2+（a+2）x-4-a集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍。

思路數(shù)學(xué)對(duì)象：函數(shù)f（x）=x2+（a+2）x-4-a.

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：x∈N，f（x）的符號(hào)；

處理方法：從變化中挖掘出定值，f（1）=-1（定值）<0，只需滿足f（0）≥0且f（2）≥0即可。

變式2.（利用函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，尋找約束條件）

已知函數(shù)f（x）=x2+（a+2）x-3-a.集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍。

思路數(shù)學(xué)對(duì)象：函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x-3-a.

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：x∈N，f（x）的符號(hào)；

處理方法：從變化中挖掘出定值，f（1）=0（定值），又知x=1、-a-3為函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)，只需滿足條件-1≤-a-3<0或2<-a-3≤3即可。

變式3.（利用函數(shù)對(duì)稱軸的確定性，尋找約束條件）

已知函數(shù)f（x）=x2-6x-a2-2a+8.集合A={x∈N|f（x）<0}中只有一個(gè)元素，求a的取值范圍。

思路數(shù)學(xué)對(duì)象：函數(shù)f（x）=x2-6x-a2-2a+8.

數(shù)學(xué)對(duì)象研究方向：x∈N，f（x）的符號(hào)；

處理方法：從變化中挖掘出定性，f（x）的對(duì)稱軸為x=3，又知x=2-a，4+a為函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)，只需滿足條件2≤2-a<3或3<4+a≤4即可。

本案例擬從數(shù)學(xué)對(duì)象選擇入手，展開(kāi)一題多解的處理方法；然后再改變數(shù)學(xué)對(duì)象的特質(zhì)，展開(kāi)一題多變下不斷調(diào)整策略溝通數(shù)學(xué)對(duì)象與問(wèn)題解決目標(biāo)之間的聯(lián)系，從而達(dá)成優(yōu)化解決一類(lèi)問(wèn)題的解題方法。

三、后記

本文提出的以確立適切的數(shù)學(xué)對(duì)象入手開(kāi)展解題，在本人多年教學(xué)中一直滲透著、實(shí)踐著，所帶的畢業(yè)班都能在高考中于同類(lèi)班級(jí)中取得平均分第一，并能出現(xiàn)高分?，F(xiàn)粗淺地總結(jié)出來(lái)分享給大家。希望能對(duì)教師的教學(xué)有所啟發(fā)，提高教學(xué)效益，并能幫助學(xué)生提高解題能力，增強(qiáng)解題信心，以收到事半功倍的效果。