正五邊形尺規作圖方法賞析

江蘇省揚州市田家炳實驗中學 謝俊峰

尺規作圖是起源于古希臘的數學課題。歷史上最先明確提出尺規限制的是希臘天文學家、數學家伊諾皮迪斯。由于對尺規作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決。最著名的是古希臘最有影響力的四大數學學派之一——巧辨學派提出的三大著名尺規作圖問題：倍立方問題、化圓為方問題、三等分角，當然，這三個問題都已被證明不可能用尺規作圖來解決。

尺規作圖中有許多有趣的問題，其中作正多邊形就是其中一種。大家認為這是一個簡單的問題，但在操作中我們知道，正四邊形、正五邊形、正六邊形都比較簡單，但到正七邊形、正九邊形卻遇到了很大的困難，最終解決這個問題的是偉大的數學家高斯，他給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件：尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬素數的積。本文提供正五邊形的幾種作圖方法，供大家賞析。

一、已知圓的半徑為r，求作圓的內接正五邊形

作法1：如圖1，作圓O的任意半徑OA1，A1B⊥OA1，并使得連接BO，以B為圓心，BA1為半徑作弧截BO于點C，以O為圓心、OC為半徑作弧截OA1于點M，以點A1起順次截取等于OM的弦A1A2，A2A3，…，A10A1，將A2、A4、A6、A8、A10順次連接，即為圓的內接正五邊形。

圖1

作法2：如圖2，作互相垂直的直徑AM，BN，作ON的垂直平分線交ON于點E，以E為圓心、EA為半徑作弧交OB于點F，從點A起順次在圓上截取等于AF的弦，AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A，順次連接A、A1、A2、A3、A4、A，即得到正五邊形。

圖2

圖3

作法3：如圖3，任作圓O的半徑OA1，過O點作OA1的垂線OB交圓O于點B，取OB的中點C，作∠OCA1的角平分線CD交于點D，過D點作DA2⊥OA1交圓O于點A2，從點A2起順次在圓上截取等于 A1A2的弦 A2A3、A3A4、A4A5，順次連接 A1、A2、A3、A4、A5、A，即得到正五邊形。

二、已知正五邊形邊長為a，求作正五邊形

圖4

作法2：作邊長為a的正方形BFGH，取底邊的中點M，然后與右上角頂點G連線；延長底邊BF到E，使BE＝BM+MG；分別以B、E為圓心，a為半徑畫弧，兩弧在BE上方交于點A；連接AF并延長與以E為圓心，a為半徑的圓交于點D；以D、B為圓心，a為半徑畫弧，兩弧交于點C。依次連接A、B、C、D、E，即為所求的邊長為a的正五邊形。

三、已知正五邊形對角線為m，求作正五邊形

作法1：如圖5，作任意圓O的內接正五邊形A1A2A3A4A5，連接A1A4，在A1A4延長線上截取A1A'4=m，過點A'4作A'4A'3∥A4A3，A'4A'5∥A4A5，過點A'3作A'3A'2∥A3A2，則 A1A'2A'3A'4A'5為所作正五邊形。

圖5

圖6

作法2：如圖6，作線段A1A4=m，作，使得連接A4B，以B為圓心，BA1為半徑作圓，交A4B于點C，以A1為圓心，A4C為半徑作弧，與以A4為圓心，A1A4為半徑的弧交于點A2，分別以A1A4為圓心，A4C為半徑作弧，交于點A5，以A2、A4為圓心，A4C為半徑作弧，交于點A3，依次連接A1、A2、A3、A4、A5，則A1A2A3A4A5為所求正五邊形。

上面介紹了正五邊形的幾種作圖方法，大家可以繼續去探究其他的作圖方法并進行證明。正五邊形還有一些近似作法，大家也可以去進一步探索。