多角度剖析三角形中值的取舍問題

江蘇省蘇州市相城區陸慕高級中學 戈晨曦

三角形中的求值是高考考查的重點，而三角求值中多解的取舍問題又是三角函數中的難點。增解的產生，很多時候是由于我們對于條件挖掘不夠，或者由于我們忽視了一些已有的結論，導致答案出現了增解現象。我們知道，三角函數值的確定一般需要通過角的范圍來實現。盡管我們這里研究的是在三角形中的求值，已經對角有了一定的范圍，但可能仍然不足以幫我們確定某些三角函數值的正負，這時我們就需要借助題目條件本身所蘊含的知識去判斷、去取舍。在這里，我們就針對這種情況舉例，剖析增解產生的原因以及如何能夠舍去增解。

一、三角形中的兩個角的三角函數值確定了三角形的固有形狀

上面的分析對嗎?如何確定結果的正負是擺在我們面前的一個問題，我們可以試著從以下方面來進行判斷：

解法1：分類討論，根據答案有效取舍

既然不能取舍正負，那么就分類討論：

解法2：利用三角函數值縮小角度的范圍

這種方法主要是根據現有的三角函數值和特殊角的三角函數值作比較，從而得出角的范圍，再結合三角形的兩個內角和小于180度，有效地舍去了另外一個解。在這里需要和大家強調的是，給定了一個角的三角函數值，如果是特殊值，當然可以確定角的具體值，如為三角形的內角，則易得如果給定的值不是特殊值，如為三角形的內角，這時我們雖然不能具體指出A的具體角度，但是角A是確定的一個或兩個固定的值。所以在三角函數中，我們知道了三角函數的值，再加上這個角度的范圍，某種程度上就認為知道這個角是已知角，只不過這個角不是特殊的罷了。

解法3：利用三角函數的圖像

這種方法和上面的解法1有異曲同工之處，但是結合了三角函數圖像的對稱性，讓人有更加直觀的感覺。

解法4：利用三角形中的一些定理

此方法巧妙地利用了邊和角之間的轉化，把角的大小問題轉化為邊的長短問題，進而轉化為兩個角的正弦的大小問題，非常巧妙。

從上面的四種解法我們不難發現，問題1分析中的錯誤主要是由以下幾個方面造成的：

（1）忽視了三角形中的一些角有度數的限制，從而忽視了三角形中的三角函數值也有了一定的限制。如三角形兩角和不超過180°。

（2）對于一些三角函數值在一定范圍內的正負不是非常明確。如正弦值在三角形內恒正。

（3）缺乏手段對三角函數值的大小和角的大小之間的等價轉化。如

上面的解法對嗎？我們可以從以下幾方面給出判斷：

解法1：利用三角函數的正負值來取舍

通過解題分析出來的。

解法3：利用三角函數的定義

解法3的精彩之處在于對于三角函數之間的不等關系挖掘得很到位。

解法4：利用齊次式

解法4的精彩之處在于對于三角函數的正負值和大小有非常精準的把握。

從上面的四種解法我們不難發現，問題2分析中的錯誤主要是由以下幾個方面造成的：

（1）對于一些三角函數值在一定范圍內的正負值不是非常明確。如：正弦值在三角形內恒正。

數學中的有些“隱藏”結論需要我們進一步去挖掘，這也是數學邏輯推理論證的魅力所在。