地震荷載作用下確定土的阻尼比的頻域分析法

馬倩倩， 劉保健， 吳明玉，3， 韓 玨

(1.南陽理工學院， 河南 南陽 473000； 2.長安大學 公路學院， 陜西 西安 710064；3.西北農林科技大學， 陜西 楊凌 712100； 4.商洛學院， 陜西 商洛 726000)

1 研究背景

土的阻尼比是土的一個重要動力特性參數[1]，它的確定一直是土動力學研究中的重要問題。現行土的動阻尼比室內試驗確定方法，僅適用于周期荷載作用下土的阻尼比的確定，并且這些確定土阻尼比的方法都依據單自由度和阻、彈系統的有阻尼自由振動理論，將所有阻尼力產生的能量損耗都等效為土黏彈性的能量損耗；因而采用傳統的方法不能合理地計算隨機地震荷載作用下土的阻尼比，更不能分析地震荷載作用下的不同頻率對阻尼比的影響。地震荷載是比較常見的隨機荷載，在實際工程中相關場地的抗震設計要求的阻尼參數都是依據現有的參考值來確定的，與實際地震荷載作用下土的阻尼比是不相符的。為了合理確定地震荷載作用下土的阻尼比，為工程提供合理的動力特性參數，有必要對隨機荷載作用下土的阻尼比的確定方法進行研究。

許多研究采用等效線性模型法計算土的阻尼比，通過試驗分析動應變、循環次數、孔隙比等因素對不同類型的土的動阻尼比的影響[2-11]；李晶晶等[12]、黃志全等[13]和張雨廷等[14]采用對數衰減率法計算了共振柱試驗中土的阻尼比；應懷樵等[15]采用半功率帶寬法與INV阻尼計法求材料的阻尼比；劉保健等[16]提出了不考慮土性、固結類型、動載類型、頻率等因素影響的互相關函數法，計算土的阻尼比。

常規的土阻尼比的計算方法沒有考慮參數頻率的影響，但在隨機荷載作用下土的阻尼比是與頻率相關的，而此方面的研究較少，因此有必要在此方面展開研究。本文將隨機過程理論引入土動力學特性測試與分析中，將動應力時程、動應變時程和動孔壓時程均視為隨機過程，在此基礎上提出一種基于傅里葉變換的頻域分析法，并通過試驗及數值分析手段驗證了利用該方法確定土的阻尼比的可行性。

2 土阻尼比確定的頻域分析法

頻域分析的傅里葉變換是將一般的時域函數x(t)轉化成頻域函數x(f)來進行研究的，其基本關系為：

(1)

(2)

其中x(f)為復變量，可以寫成：

x(f)=|x(f)|ejφ(f)

(3)

式中： |x(f)|為x(f)的模;φ(f)為x(f)的相角;x(f)為信號x(t)的頻譜。

隨機過程理論將動載試驗所得的動應力時程、動應變時程和動孔壓時程均視為隨機過程。試驗測試和分析出的動應力功率譜用Gxx(f)來表示，動應變功率譜用Gyy(f)來表示，其互功率譜用Gxy(f)表示。用互功率譜定義的傳遞函數表示為：

H(f)=Gxy(f)/Gxx(f)

=|H(f)|e-jφ(f)=A(f)-jB(f)

(4)

(5)

(6)

式中： |H(f)|為傳遞函數H(f)的模；φ(f)為其相位角。

公式(6)表明，輸出動應變和輸入動應力的相位角φ(f)在物理意義上即為動應變滯后動應力的相角，反映了土的阻尼特性。

使用頻域分析法進行地震荷載下土的阻尼比求解的具體流程為：

(1)采用Matlab編程對原始時間信號(輸入信號x(t)、輸出信號y(t))進行自相關函數Rx(τ)、Ry(τ)和互相關函數Rxy(τ)求解；

(2)對自相關函數、互相關函數進行如公式(1)傅里葉變換求得自功率譜Gxx(f)、Gyy(f)，對互相關函數進行快速傅里葉變換求得互功率譜Gxy(f)；

(3)由公式(4)表示出傳遞函數H(f)，然后進一步利用公式(6)求出輸出動應變和輸入動應力的相位差φ(f)；

3 試驗概況

3.1 試樣制備

試驗所用土樣為取自某地鐵現場的砂性土。土樣的基本物理特性指標參數見表1。試樣尺寸為100 mm(高)×50 mm(直徑)，見圖1。重塑土樣的制備方法為水中落砂法。

圖1 重塑砂樣

3.2 試驗過程

采用長安大學GDS空心圓柱扭剪試驗系統的動三軸模塊進行試驗。

地震荷載作用下砂土的動三軸試驗分為固結、動載兩個階段。固結階段的固結應力比K(K=σ1/σ3)分別為1、1.5、2，固結圍壓分別為100、200、300 kPa，固結過程中當孔壓消散為0且保持不變時固結完成；動載階段的振動波形為埃而森特羅波(EL Centro)南北方向的地震波，歷時為40 s，其中σd max分別為20、40、60、80、120 kPa。試驗操作和數據整理均依據《土工試驗規程》(SL237-1999)的步驟進行。

4 試驗結果與分析

通過試驗所得的EL Centro地震波的動應力時程曲線和動應變時程曲線分別如圖2、3所示。

由圖2、3可以看出動應力達到試驗的設定值，動應變的發展趨勢與動應力的基本相同；在荷載加載到20 s時動應變開始向負方向發展，這是與地震波的類型、動應力的幅值、固結圍壓等因素相關的。因為在均壓固結的情況下，當較大的動應力幅值出現的時間比較早時，土樣在拉伸階段較大的固結圍壓導致試樣產生較大的拉伸形變，故在接下來小的動應力幅值下會產生更大的拉伸形變，均壓固結情況下，固結圍壓越大，軸向動應力幅值越大，則這種現象越明顯；由于是均壓固結，所得的動應力時程曲線和動應變時程曲線均可看做是平穩的時間過程。

在基于傅里葉變換的地震荷載作用下土的阻尼比的確定過程中采用Matlab編程對土的阻尼比進行求解，可得到阻尼比λ與頻率f之間的關系如圖4所示。

表1 土樣的基本物理參數

圖2動應力時程曲線圖3動應變時程曲線

圖4 阻尼比λ與頻率f的關系曲線

由圖4可以看出，阻尼比不是確定值，而是隨著頻率的變化不斷變化。在頻率很小時，阻尼比受頻率影響的波動較大；當頻率逐漸增大，阻尼比受頻率影響的波動較小，并逐漸減小。當固結圍壓相同時，隨著固結應力比的增大，阻尼比隨頻率的波動情況在減弱；當固結應力比相同時，隨著固結圍壓的增大，阻尼比隨頻率的波動也逐漸減弱。

(7)

動應變εd為動載時間段統計的動應變時程曲線的標準差，具體的計算公式為：

(8)

圖5 阻尼比與動應變εd的關系曲線

5 結 論

將隨機過程理論引入土動力阻尼比的確定過程中，將動應力時程、動應變時程和動孔壓時程均視為隨機過程。提出了一種基于傅里葉變換的頻域分析法，并通過試驗及數值分析手段驗證了利用該方法確定土的阻尼比的可行性。有如下結論：

(1)采用基于傅里葉變換的頻域分析法得到地震荷載作用下土的阻尼比λ是關于頻率f的函數。任意一種土及地震波均可得到一條“阻尼比-頻率譜”。

(3)工程應用上，建議將土阻尼比看作隨地震波輸入過程而動態變化的參數。只要通過頻域分析法找到每類土、每種地震波作用下的“阻尼比-頻率譜”，即可真正實現阻尼比參數的動態輸入。并以此來考慮隨機動荷載效應對土動力特性參數的影響。