一類算子方程的正算子解問題的研究

楊凱凡

(陜西理工大學 數學與計算機科學學院，陜西 漢中 723001)

近年來,諸如X+A*X-2A=Q,X-A*X-tA=I等形式的矩陣方程受到許多學者的關注[1-4].前人主要是在有限維空間上，利用矩陣論的相關知識，給出這類方程有正定矩陣解的一些條件. 論文將前人的研究結果從有限維空間推廣到無限維Hlibert空間中, 在無限維Hlibert空間上，利用算子理論知識， 研究方程Xs+A*X-tA=Q正算子解問題.

設B(H)表示無限維可分Hilbert空間H上的所有有界線性算子組成的全體.論文研究非線性算子方程

Xs+A*X-tA=Q

(1)

的正算子解問題,其中:A,Q∈B(H)是給定的，且Q>0,t>s是給定的正整數.

首先給出文中用到的一些符號.設A∈B(H), 如果對任意x∈H, 都有(Ax,x)≥0,則稱A為正算子,記為A≥0.對于A,B∈B(H),A≥B表示A-B為正算子. 對于A∈B(H),A*,‖A‖,σ(A),N(A)分別表示算子A的伴隨算子、范數、譜及核空間.

1 預備知識

引理1[5]設A,B是B(H)上的自伴算子且A≥B, 則對任意T∈B(H)，有T*AT≥T*BT.

引理2[6-8]設P,Q是正算子,且滿足P≥Q. 如果PQ=QP, 則對任意實數t≥1,有Pt≥Qt.

對于B(H)上的正算子, 有

(1) 對于A∈B(H)，有A≤‖A‖I；

(2) 若P≥Q>0, 有P-1≤Q-1；

(3) 對于0

2 主要結論及其證明

證明若算子方程(1)有正算子解X,則0≤A*X-tA≤Q且Xs≤Q.由A*X-tA≤Q，有

則方程(1)有正算子解.

構造如下的迭代序列

(2)

假設Xi≥X, 則

(3)

又

(4)

根據不等式(3)，有

I-γ-tT*T≤γI.

(5)

令

(6)

可以得到定理4.

因為

(1-γ1)I.

(7)

(i) 若γ∈[β1,β2],根據(7)式，有

假設Xi≥Xi-1, 則

且

推論1設X是算子方程Xs+A*X-tA=Q的一個正算子解,則

證明若X是算子方程Xs+A*X-tA=Q的一個正算子解,因為Q≥Xs>0,則

0<λmin(X)I≤X≤λmax(X)I，

0<λmin(Q)I≤Q≤λmax(Q)I，

因此

即

所以，有

即

λmin(A*A)≤λmaxt(X)(λmax(Q)-λmax(Xs)).

(2) 設A∈B(H)，I是空間H中的單位. 若算子方程Xs-A*X-tA=I有正算子解, 則算子方程Ys-B*X-tB=Q也有正算子解, 其中:Q=I+A12*A12，B=A22，A12是N(A)⊥到N(A)上的算子,A22是N(A)⊥到N(A)⊥上的算子.

由X>0可知Y>0.根據方程Xs-A*X-tA=I，有

所以，有

Ys-A22*Y-tA22=I+A12*A12，

令

I+A12*A12=Q，A22=B,

則Y是算子方程Ys-B*X-tB=Q的正算子解,顯然Q≥I.證明完畢.