一個包含數論函數φ(n)的方程的可解性

張四保，官春梅，席小忠

(1.喀什大學 數學與統計學院,新疆 喀什 844008；2.宜春學院 數學與計算機科學學院，江西 宜春 336000)

方程整數解的討論是數論中的一個重要的研究內容，對這一研究內容有不少人進行過探討[1-2]. Euler函數φ(n)是一重要的數論函數，有不少文獻討論過涉及φ(n)的方程的解問題[3-12].

筆者將討論一個包含數論函數φ(n)的方程

φ(x-φ(φ(x)))=6

(1)

的解問題，利用初等數學的方法確定了該方程的一切解.

1 主要結果及證明

定理1方程(1)只有解x=9，11，13，17，22.

證明由文[11]的結論可知，方程φ(x)=6只有4個解x=7,9,14,18，由(1)式有

x-φ(φ(x))=7,9,14,18.

因而x≥8，φ(φ(x))必為偶數.

情況1.1.1α1=1.

當βj=0(j=1,2,…,t)時，P1-1=2m，從而有2m-φ(2m)=6,8，因而有m=4，此時P1=17，則(1)有解x=17.

當βj(j=1,…,t)中至少有一個βj≠0時，有

或

當

時無解.當

時，有q1=5，β1=1，βj=0，j=2,…,t，從而P1-1=2×5=10，則(1)式有解x=11.

此時有t=1，β1=1，q1=7，從而P1=15，而15不是素數，則此時(1)式無解.

或

當

時無解.當

時，有m=2，q1=3，β1=1，βj=0，j=2,…,t，從而P1-1=22×3=12，此時(1)式有解x=13.

情況1.1.2α1≥2.

情況1.2α1≠0，α2≠0，αi=0，i=3,…,k. 此時，有

情況1.2.1α1=1，α2=1.

此時，有P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=7,9.由于P1，P2為互異奇素數，從而有

P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+P1+P2-1>8.

因而，當P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=7時，(1)式無解.再討論P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=9的情況.由于P1，P2為互異奇素數，則P1，P2可分為2種情況：1)P1=3，P2≥5；2)P1≥5，P2≥7. 當P1=3，P2=5時，P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=9不成立.

當P1=3，P2>5時，有

P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+P1+P2-1>10.

當P1≥5，P2≥7時，有

P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+P1+P2-1>12.

由此可知，當P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=9時，(1)式無解.

情況1.2.2當α1≥2與α2≥2中至少有1個成立.效仿情況1.2.1的討論，此時(1)式無解.

情況1.3當αi≠0，i≥3時,效仿情況1.2.1的討論，此時(1)式無解.

情況2.1t=1.

(1)α1=1.

此時，有2P1-φ(P1-1)=14,18,因而P1≥11.當P1=11時，2P1-φ(P1-1)=18成立，則(1)式有解x=2×11=22；當P1=13時，2P1-φ(P1-1)=14,18均不成立；由于2P1-φ(P1-1)=(P1-1)-φ(P1-1)+P1+1，由當n≥2是整數，φ(n)18，即此時2P1-φ(P1-1)=14,18不可能成立.從而,當α1=1時，(1)式只有解x=2×11=22.

(2)α1≥2.

情況2.1.2α1≠0，α2≠0，αi=0，i=3,…,k.

(1)α1=1，α2=1.此時，有2P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=14,18.

由于

2P1P2-φ((P1-1)(P2-1))=

2(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+2P1+2P2-2=

(P1-1)(P2-1)-φ((P1-1)(P2-1))+2P1+2P2-2+(P1-1)(P2-1)>22，

則此時(1)式無解.可推知當αi(i=1,2,…,k)中滿足αi≥1的個數j≥3時，(1)式無解.

(2)α1=1，α2≥2.此時，有

由于

4P2+2>(P1-1)(P2-1)2+2P1(2P2-1)+2P2(P2-2)+2>150，

則此時(1)式無解.可推知當α1≥2與α2≥2中至少有1個成立時，(1)式無解.

情況2.2t=2.

(1)α1=1.

此時，有22P1-φ(2(P1-1))=14,18.因而此時P1≥5.當P1=5時，22P1-φ(2(P1-1))=14,18均不成立；當P1=7時，22P1-φ(2(P1-1))=14,18也均不成立；由于當P1≥11時，22P1-φ(2(P1-1))=2(P1-1)-φ(2(P1-1))+2(P1-1)+4>24，即此時22P1-φ(2(P1-1))=14,18不可能成立，則此時(1)式無解.

(2)α1……