分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在唯一性

胡衛(wèi)敏，甄建芳

(伊犁師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,新疆 伊寧 835000)

分?jǐn)?shù)階微分方程在電氣化學(xué)、管理學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1-4]，是研究科學(xué)和工程學(xué)的有力工具.Ahmad等[5]對(duì)一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題做了研究，通過(guò)運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，得到解的存在唯一性. Chai[6]研究了一類(lèi)Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的反周期邊值問(wèn)題.

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，作者主要研究帶有反周期邊值問(wèn)題Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程

(1)

(2)

3<α≤4，

0<α1≤1<α2≤2<α3≤3，

0<β1≤1<β2≤2<β3≤3.

應(yīng)用Banach壓縮映像原理，給出了問(wèn)題解的存在唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[7]函數(shù)y:(a,b]→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2[7]函數(shù)y:(a,b]→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中：n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分.

定義3[7]函數(shù)y在區(qū)間(a,b]上α>0階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

引理1[7]令α>0，y∈C[a,b]，有

在[a,b]上恒成立.

在[a,b]上恒成立.

引理3對(duì)于給出的h∈C[0,1]，函數(shù)u是反周期邊值問(wèn)題

(3)

的解，當(dāng)且僅當(dāng)u∈C3[0,1]是積分方程

(4)

的解.

證明令u∈C3[0,1]是(3)式的解，由引理2，有

(5)

又因?yàn)?/p>

(8)

由(6)～(8)式，有

(9)

(10)

(11)

可以證明

事實(shí)上，h∈C[0,1]，存在M>0，使得?t∈[0,1]，有|h(t)|≤M成立.由

0<β1<1<β2<2<β3<3<α≤4，

得

因此

即

類(lèi)似地，有

所以，有

由(9)～(11)式，有

(12)

(13)

(14)

因此，由邊值問(wèn)題(3)及(5)，(12)～(14)式，有

從而，有

代入(5)式，得

即u滿(mǎn)足(4)式.

反之，如果u是分?jǐn)?shù)階積分方程(4)的解，對(duì)(4)式兩邊同時(shí)求3階導(dǎo)，有

(15)

由于h∈C[0,1]，根據(jù)(15)式，知u∈C3[0,1].再由引理1及(4)式，知(4)式給出的解滿(mǎn)足(3)式.證畢.

定義算子A為

(16)

由引理3，知算子A：C[0,1]→X.

引理4對(duì)任意的u∈X，0<α1≤1<α2≤2<α3≤3，有

證明(i)顯然，再證(ii)和(iii).當(dāng)α1=1，α2=2，α3=3時(shí)結(jié)論成立.考慮0<α1<1<α2<2<α3<3的情況，由定義3，對(duì)任意u∈X，有

所以，有

類(lèi)似地，有

2 主要結(jié)論

文中還做以下假定：

(H1)f∈C([0,1]×R×R×R×R,R).

(H2) 3<α≤4，0<α1≤1<α2≤2<α3≤3，0<β1≤1<β2≤2<β3≤3.

(H3) 存在常數(shù)L1，L2，L3，L4，使得

|f(t,a2,b2,c2,d2)-f(t,a1,b1,c1,d1)|≤

L1|a2-a1|+L2|b2-b1|+L3|c2-c1|+L4|d2-d1|.

定義算子T為

其中：算子A為(16)式所定義的.

引理6若(H1)～(H2)成立，則算子T:X→X全連續(xù).

首先

(17)

(18)

(19)

再證T是緊算子.

設(shè)V是X中的有界集，存在L>0，使得‖u‖2≤L.因此，由引理4，?u∈V，t∈[0,1]，有

所以，由假設(shè)……