巧分類細解題

章麗

等腰三角形是特殊而又十分重要的三角形，一直受到各地中考命題者的青睞.同學們往往會因為考慮不全面而出現解答不完整的情況.在解決這類問題時，常常少不了關于角（頂角或底角）、關于邊（腰或底邊）的分類討論.本文就從“角”的角度入手關注幾例：

【例1】（2017·浙江麗水）等腰三角形的一個內角為100°，則頂角的度數是________.

【解析】等腰三角形的一個內角為100°，100°角是鈍角，因此只能是頂角，不能為底角.故例1答案為100°.

【例2】（2018·浙江義烏改編）等腰△ABC中，∠A=80°，求∠B的度數.

【解析】等腰△ABC中一個內角∠A為80°，所以當∠A為頂角時，則底角∠B=50°；當∠A為底角時，∠B可能是頂角，也可能是底角，則∠B=20°或80°.故答案為50°或20°或80°.注意本題有兩個層次的分類討論.

【歸納】對于一個等腰三角形，若條件中并沒有明確頂角或底角時，應注意分類討論，先確定這個已知角是頂角還是底角，再運用三角形內角和定理求解.

【例3】（2018·黑龍江哈爾濱）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC邊上，連接AD.若△ABD為直角三角形，則∠ADC的度數為________.

【解析】根據等腰三角形的性質可以求得∠B=∠C=40°，類比等腰三角形確定頂角“身份”，則直角三角形要確定直角“身份”，如果無法確定，則需分類討論.所以已知△ABD為直角三角形，則直角可能是∠ADB或∠BAD.如圖1，當∠ADB=90°時，則∠ADC=90°；如圖2，當∠BAD=90°時，則∠ADB=50°，∠ADC=130°.故答案為90°或130°.

【例4】（2018·湖北武漢）以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數是________.

【解析】∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，AB=AD=CD=DE=AE，但不確定等邊△ADE在正方形的內部還是外部，故需分成兩種情況分別求解.如圖3，∠BAE=∠CDE=150°，得∠AEB=∠CED=15°，則∠BEC=30°.如圖4，∠BAE=∠CDE=30°，得∠CED=∠ECD=75°，∠ABE=∠AEB=75°，則∠BEC=150°.故答案為30°或150°.

解決與圖形相關的問題時，常會出現圖形中相關元素的“身份”不確定，或圖形位置的不確定等情況.我們首先需要認真審題，逃出“陷阱”，然后鎖定合理的分類標準，對各種情況逐一進行討論求解，做到不重不漏.

（作者單位：江蘇省無錫市水秀中學）