沒有定“型”分“類”討論

顧云霞

同學們在學習“軸對稱圖形”這章時，常遇到計算線段長的問題.但因題目中的相關量沒有定“型”，我們常常會由于考慮不全面而漏解或錯解.下面從三種典型錯誤出發，通過錯因剖析和正確解答，希望對同學們有所啟示.

一、沒有定“角色”——討論邊長“角色”

【例1】等腰三角形的兩邊長分別為5、8，則它的周長為（ ）.

A.13 B.18

C.21 D.18或21

【錯解】選B；或選C.

【錯因剖析】此題因沒有對5、8兩邊長在等腰三角形中的“角色”進行討論，而出現漏解；但有些問題若只考慮邊的“角色”，遺忘了用三角形的三邊關系來判斷能否圍成三角形，又會出現多解，導致出錯.故涉及等腰三角形的邊長問題，既要考慮到邊長“角色”，還要顧及三邊關系，考慮問題要周到全面.

【正解】選D.若5為腰長，且三條長為5、5、8的線段能構成三角形，所以周長為5+5+8=18；同理，若8為腰長，也能構成三角形，則周長為5+8+8=21.

【變式】一個等腰三角形的兩邊長分別為4、8，則它的周長為（ ）.

A.12 B.16 C.20 D.16或20

（正確答案：C）

二、沒有定位置——討論交點位置

【例2】在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分線與AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，且DE=4，則AD+AE的長度為_____________.

【錯解】根據題意畫草圖，如圖1所示，AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6.

【錯因剖析】由于沒圖，不少同學常畫如圖1所示的圖形，故漏解.因為兩條垂直平分線與BC交點D、E的相對位置沒有確定，故要討論交點D、E的位置，分兩種情況作答.

【正解】根據題意，除了圖1情形，還存在如圖2所示的情況，此時AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14.故此題答案為6或14.

三、沒有定圖形——討論圖形形狀

【例3】（2016·內蒙古通遼）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為48°，則該等腰三角形的底角的度數為__________.

【錯解】如圖3，由題意可知，∠ABD=48°，∠ADB=90°，所以∠A=42°，所以底角∠C=（180°-42°）÷2=69°.

【錯因剖析】此題同樣需要畫圖分析、很多同學習慣了畫頂角是銳角的等腰三角形，腰上的高自然在形內，卻忽略了頂角是鈍角的等腰三角形腰上的高線在形外的情況，故此題要分頂角是銳角的等腰三角形與頂角是鈍角的等腰三角形兩種形狀討論.

【正解】除了圖3以外，還有圖4，∵∠ABD=48°，∠ADB=90°，∴∠DAB=42°，∴∠C=[12]∠DAB=21°.故此題答案為69°或21°.

【變式】等腰三角形一邊上的高與一腰的夾角為48°，則該等腰三角形底角的度數為__________.（正確答案：42°；69°或21°）

總之，我們需要仔細審題.如果由已知條件無法確定相關元素的“角色”、圖形位置、形狀等，那么同學們就要小心謹慎，結合基本概念、基本圖形，找準不確定元素的類別，分情況討論，從而逐步培養自己縝密細致的思維習慣.

（作者單位：江蘇省無錫市胡埭中學）