《圓的標準方程》啟發式教學設計與實錄

趙勇

一、類比已知而緣起

師：我們在上一章學過，平面直角坐標系中，確定一條直線需要哪些要素呢？

生1：已知兩點，或者一點和斜率。

師：很好，那如何確定一個圓呢？那在平面中圓的定義是什么？

生3：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。

師：很好。讓我們來畫一個圓，選定一個定點，用繩子長做定長旋轉一圈。確定一個圓需要哪幾個要素？

生4：圓心和半徑。

師：對。

二、知識生成與建構

師：下面我們建立直角坐標系，在坐標系中用代數方法把圓的這些幾何要素表示出來。

在直角坐標系中，設圓心A為（a，b），半徑為r，事實上，圓是滿足以下條件的點的集合：P={MMA=r}

由兩點間距離公式得=r，兩邊平方，化簡整理得（x-a）2+（y-b）2=r2（*）

師：思考一下，圓A上的點是否都適合（*）方程？

生1：都符合。

師：為什么？

生1：根據推理過程，圓A上的點到圓心（a，b）的距離都是r，所以都適合（*）方程。

師：你理解得很好。那么，以（*）方程的解為坐標的點是不是都在圓上呢？

生2：應該是的。由（x0-a）2+（y0-b）2=r2，得=r，說明點（x0，y0）與圓心的距離為r，即點（x0，y0）在圓上[1]。

師：事實上，我們將（*）式中關于x，y的二元二次方程稱為以（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程。

三、新知探究與拓展

例題1：寫出圓心為A（2，-3），半徑長為5的圓的標準方程。

生1：將圓心坐標與半徑代入標準方程中去，就可以寫出來。

生2：（x-2）2+（y+3）2=25

（投影習題、動手練習）

練1：寫出經過點P（5，1），圓心為C（6，-2）的圓的標準方程。

練2：寫出以線段PQ為直徑的圓的標準方程，其中P（6，3），Q（4，9）。

練3：思考：方程（x-1）2=9-（y+3）2表示什么圖形？

練4：思考：方程x2+y2=0表示什么圖形？

師：好，下面我們繼續，剛才在例題1中，我們知道，圓心為A（4，-6），半徑長為3的圓的標準方程是（x-4）2+（y+6）2=9，那么現在大家判斷一下點M1（5，-7）和M2（-，-1）是否在這個圓上。

生1：點M1在圓上，點M2不在圓上。

師：你是怎么判斷的？

生1：將點的坐標代入圓的標準方程，如果滿足方程，那么點就在圓上，如果不滿足，就不在圓上。

師：完全正確。如果一個點不在圓上，怎么判斷這個點是在圓內還是圓外呢？

生2：如果點在圓內，那么點到圓心的距離會小于半徑，比如點（x0，y0）在圓內，那么

師：理解得非常準確。可不可以將剛才所講述的操作簡化一下？

生3：如果點（x0，y0）在圓內，那么（x0-a）2+（y0-b）2r2，點在圓上即為（x0-a）2+（y0-b）2=r2。

師：歸納得很棒。

四、合作鉆研與提煉

師：我們前面系統地研究了圓的標準方程，并探究了平面內點與圓的位置關系。現在我們來看一個問題，如何由已知條件求出圓的標準方程。下面來看以下問題：

例：已知三角形的三個頂點的坐標分別為A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求它的外接圓的方程。

師：下面自己思考嘗試解決一下，然后分小組交流討論一下自己解決問題的方法。

師：現在有請第一小組介紹一下他們的辦法。

生1：每個三角形都有外接圓，圓心是各條邊中垂線的交點。我們的辦法是求解邊AB、AC的垂直平分線的方程，然后求兩條垂直平分線的交點，這樣求出了圓心。求出圓心，然后選定一點A，求圓心到點A的距離，就是半徑。所以就很容易寫出圓的標準方程了。

師：問題解決得很好，大家想一下，他們解決問題是從哪里入手的？

生2：從“什么是三角形的外接圓”這個問題入手的。

師：對，這個方法可以叫做什么方法？

生3：幾何法。

師：很好，本質上是從幾何角度入手，求出圓心和半徑，寫出標準方程，還有沒有別的方法？

生4：我們小組的辦法是直接設方程，把點代進去。

生5：設圓的標準方程為（x-a）2+（y-b）2=r2，將A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）代入標準方程，得到方程組。

師：很好。其實這個方法是從代數運算的角度入手的，所以我們可以叫它為代數法。

師：好了，下面我們邀請兩個小組各派一名代表上黑板解答一下，其他小組的同學選擇你喜歡的方法來解答。

師：……我們看到，運用代數法，進行待定系數的過程中，兩個圓的方程相減進行消元，相減之后我們得到一個二元一次方程，根據前面的知識，這個二元一次方程表示什么？

生：表示直線。

師：對，我們看另一名同學求解的過程。大家看，這條中垂線方程跟剛剛消元之后的二元一次方程組是不是一樣的？

生：是一樣的。

生：為什么？

師：這就是兩種方法的聯系所在。代數法待定系數進行消元，兩圓方程相減之后即為兩圓公共弦所在的直線方程[2]。為什么？

生：兩個圓的交點都在這條直線上，所以這條直線就是兩圓公共弦的方程。

師：是這個道理。

練習：已知圓心為C的圓經過點A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線l：x-y+1=0上，求圓C的標準方程。

五、總結回顧出新知

師：好，我們總結一下，這節課我們學習了哪些新知識？

生1：圓的標準方程，點與圓的位置關系。

生2：求圓的標準方程的方法。

師：探究圓的基本要素→生成圓的標準方程→判斷點與圓的位置關系→求解圓的標準方程，核心在于理解圓的兩要素，運用幾何法和代數法理解、求解圓的標準方程，運算很關鍵。

參考文獻：

[1]苗慶碩.一道試題的多視角探究[J].中學數學教學參考（上旬），2015.

[2]吳和貴.新課標下的數學課堂教學過程的優化[J].數學通報，2007.