基于擴展有限元的三點彎曲梁模擬

(重慶交通大學(xué) 重慶 400074)

一、引言

工程背景表明，實際工程中存在大量結(jié)構(gòu)存在裂紋或因裂紋導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效甚至發(fā)生工程事故。結(jié)構(gòu)的斷裂破壞是結(jié)構(gòu)破壞的主要形態(tài)，結(jié)構(gòu)斷裂是由于結(jié)構(gòu)本身產(chǎn)生表面裂紋或內(nèi)部裂紋，在外力的作用下，裂紋進一步擴展，使結(jié)構(gòu)的承載能力、適用性降低，甚至使結(jié)構(gòu)喪失功能性，進而造成生命財產(chǎn)的損失。因此，對結(jié)構(gòu)的斷裂問題以及裂紋擴展理論了解和模擬分析，確定裂紋尖端應(yīng)力，在結(jié)構(gòu)的檢測評估和維修加固時，可提供有力依據(jù)。將結(jié)構(gòu)的正常使用年限和結(jié)構(gòu)安全性能提高。

近些年國內(nèi)外針對裂紋的研究不斷深入，理論研究的重點已經(jīng)由傳統(tǒng)的斷裂力學(xué)分析轉(zhuǎn)向離散裂紋擴展分析和裂紋尖端相鄰區(qū)域的建模等問題。在模擬裂紋擴展中，需要考慮到傳統(tǒng)有限元計算中網(wǎng)格的劃分，當(dāng)裂紋過單元而不過節(jié)點，就需要對網(wǎng)格進行重新劃分，網(wǎng)格重新劃分還需要推測在不同網(wǎng)格之間的變量。而無網(wǎng)格法和擴展有限元法在模擬裂紋擴展時不需要進行網(wǎng)格重劃分。

本文運用ABAQUS軟件的UMAT子程序建立線彈性材料材料庫，并在ABAQUS中建立模型，運用擴展有限元模擬三點彎曲梁裂縫的擴展。

二、擴展有限理論

擴展有限元法作為一種有限元方法，在1999年，被Moes、Dolbow 和 Belytschko 等人[1,2]首次提出，它不需要重新劃分網(wǎng)格就能用來計算不連續(xù)有限元問題。擴展有限元的基本原理是單位分解法，在研究不連續(xù)問題時，引入擴展函數(shù)來完成擴展函數(shù)與額外的自由度相關(guān)，為了提高模擬精度，添加裂尖位移場同時優(yōu)化逼近函數(shù)。擴展有限元與傳統(tǒng)有限元相比，保留了后者的優(yōu)點，同時無需對網(wǎng)格進行高密度化。擴展有限元不僅在裂紋擴展方面得到廣泛應(yīng)用，還被應(yīng)用模擬帶孔和夾雜的非均勻介質(zhì)以及非線性固體力學(xué)問題中[3]。擴展有限元分析中存在裂紋尖端的應(yīng)力場奇異性，裂紋尖端附近的各應(yīng)力分量都與r→1/2 成正比，r為裂紋尖端與所求應(yīng)力點的距離。當(dāng)r→0時，各應(yīng)力分量都急劇增長。在傳統(tǒng)的有限元法中，單元內(nèi)部應(yīng)力和位移常用多項式進行表示，但不能反應(yīng)奇異點相鄰處的應(yīng)力變化規(guī)律。擴展有限元方法(XFEM)由于其可穿過有限元單元的特性，可以減緩因裂紋處網(wǎng)格劃分所帶來的影響[4]。

擴展有限元與傳統(tǒng)有限元不同是引入了節(jié)點擴展函數(shù)，此包含兩個函數(shù)：整體劃分位移函數(shù)、沿裂紋面間斷跳躍函數(shù)。整體劃分位移函數(shù)表示為：

(1)

沿裂紋面間斷跳躍函數(shù)H(x)表達式為：

(2)

式中：x為樣本點；x*為距x最近點；n為單位外法線向量[5]。

當(dāng)材料為各向同性材料時，裂紋尖端漸進函數(shù)Fα(x)表達式為：

(3)

根據(jù)傳統(tǒng)有限元理論，將式(1)代入虛功方程，可得到擴展有限元的平衡方程：

Kd=F

式中：K為整體剛度矩陣，d為節(jié)點位移矩陣，F(xiàn)為節(jié)點等效載荷矩陣。整體剛度矩陣K則由單元剛度矩陣組裝而成：

(4)

其中：

(5)

式中：Bu為一般單元幾何矩陣，Bα為裂紋貫穿單元矩陣和Bβ裂紋尖端單元幾何矩陣，D為彈性矩陣，Ωe為單元積分區(qū)域。

廣義自由度矩陣d為節(jié)點位移與附加未知量，表示為：

(6)

式中：u為一般單元節(jié)點位移矩陣、α為描述裂紋面不連續(xù)的附加未知量、βq為描述裂紋尖端應(yīng)力奇異性的附加未知量.

三、應(yīng)力強度因子

Irwin 的應(yīng)力強度因子理論和以Griffith-Orowan理論為基礎(chǔ)的能量理論是目前對于線彈性斷裂力學(xué)的主要研究理論。Irwin GR基于線彈性理論，分析裂紋端部區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)這一因子是決定裂紋端部區(qū)域應(yīng)力分量的公共因素，首次提出了應(yīng)力強度因子K的觀點，通過應(yīng)力強度因子可反映出裂紋端部應(yīng)力場強弱程度，建立了應(yīng)力強度因子為參考標準的強度準則[6]。

結(jié)構(gòu)斷裂的力學(xué)模型分為三種：張開型(Ⅰ型)、面對剪切(Ⅱ型)、面外剪切(Ⅲ型)。裂紋是最常見、最基本的斷裂模式，因此作為線彈性斷裂力學(xué)中重要斷裂參量Ⅰ型應(yīng)力強度因子KI其求解公式如下：

(7)

式中：KI為I型斷裂的應(yīng)力強度因子，y與結(jié)構(gòu)的幾何形狀有關(guān)，σ為拉應(yīng)力，a為裂紋寬度的一半，KIc為材料的斷裂韌性。

四、UMAT建立材料庫

在ABAQUS中用戶可使用用戶子程序接口和應(yīng)用程序接口，完成復(fù)雜條件定義或根據(jù)自身需要所設(shè)定的相關(guān)參數(shù)，以及與其他軟件的數(shù)據(jù)交換。因為ABAQUS的一些固有選項模型功能有限，用戶子程序可以提高ABAQUS中這些選項的功能。本文運用ABAQUS用戶自定義子程序UMAT(User-defined Material Interface),用于定于線彈性材料屬性。通過UMAT子程序用戶可以自定義符合特地問題、特殊材料的本構(gòu)模型，使用戶得以解決許多復(fù)雜問題。ABAQUS的二次開發(fā)語言主要有三種：Python、Fortran、C++。其中，Python主要用于GUI開發(fā)，F(xiàn)ortran主要用于用戶子程序，C++主要用于其他高級開發(fā)部分，本文建立材料庫所運用的是Fortran語言[7]。

運用Fortran語言將線彈性材料的本構(gòu)方程編譯成子程序，在建模時需從ABAQUS主程序中傳入彈性模量與泊松比這兩個參數(shù)，并在提交作業(yè)前，由ABAQUS調(diào)用子程序完成計算任務(wù)。

五、模型建立

在ABAQUS中建立簡化計算模型，采用平面結(jié)構(gòu)分析，梁結(jié)構(gòu)的尺寸為60*10的矩形，支座的尺寸為半徑為1的半圓，重物的尺寸為半徑為5的半圓。所加載為位移荷載，重物沿y軸負向有10的位移。

圖1 三點彎曲梁模型

根據(jù)已編譯的用戶子程序，需從ABAQUS中傳入彈性模量和泊松比兩個參數(shù)，本模型彈性模量為10000，泊松比為0.35。

由于三點彎曲梁的斷裂破壞形態(tài)理論上是有跨中最大彎矩處，隨著荷載的增加，梁跨中下部出現(xiàn)裂縫，之后裂紋沿結(jié)構(gòu)y方向進行裂紋開展。由此在劃分網(wǎng)格時，需針對此特性進行網(wǎng)格劃分處理，網(wǎng)格由兩邊至跨中、上部至下部逐漸加密。

六、結(jié)果分析

無預(yù)加裂縫時，此時由梁結(jié)構(gòu)的Mises應(yīng)力云圖(圖2)可知，在外力荷載作用下結(jié)構(gòu)下部的拉應(yīng)力為最大值，裂紋產(chǎn)生和擴展也在此處發(fā)生：

圖2 Mises應(yīng)力云圖

預(yù)加裂縫時，梁在外荷載作用下會進行裂紋擴展(圖3)，圖4表明隨時間的變化裂紋的寬度的關(guān)系曲線。

圖3 模型裂紋開展模擬圖

圖4 時間與裂紋寬度的關(guān)系圖

根據(jù)裂紋擴展力學(xué)理論，采用 FEM 法建立了線彈性材料的三點彎曲梁裂紋有限元擴展模型，模擬線彈性材料裂紋的動態(tài)擴展路徑及應(yīng)力分布。同時隨著裂紋的擴展，其單位長度釋放的應(yīng)力、角度、時間及擴展位移的變化趨勢為先線型增大，后趨于平緩。