ARMA模型在股票中的應用

林藍玉，陳秀芳，張德飛

（福州大學 紅河學院 數學學院，福州 350108）

一、選題意義、背景及研究現狀

（一）選題意義及背景

隨著金融行業的深入發展，股市越來越受關注與青睞。雖然中國的股票市場起步晚一些，但是到了2000年后，股票的發展速度十分迅猛，股票市場變得尤其活躍，投資者因為在價格變化莫測的股票市場中盲目買賣股票使自己的收益時盈時虧。2018年是我們國家股票改革的第14個年頭，當前已經有了與國家金融發展相適應的道路，股票的投資也成了市民們主要的投資方式。但是大多數投資者并不清楚應該分析哪些指標，如何選擇恰當的股票實現最大的盈利。股票定價的不確定性，是其最主要的特點。股票的開盤價走勢因為時間的不同而不同，因此我們把股票定價的波動情況看成是時間序列的問題。生活中也有許多時間序列問題的例子，如證券投資基金市場收益率的波動、國際匯率的變動等問題。大多數的非平穩時間序列在我們的生活中十分常見，尤其在金融、經濟等領域。

（二）當前研究現狀

我們經常使用的時間序列分析方法對股票的開盤價分析無法做到十分恰當，再加上股票市場的開盤價具有很大的波動性跟聚集性，一般的方法刻畫得不夠準確。但是ARMA模型即自回歸移動平均模型能夠較為集中的體現方差，對股票價格的短期預測效果顯著。為了從不平穩的時間序列數據中挖掘有用的信息，當前也有許多學者進行了研究。例如，孟坤、李麗（2016）以上證總格指數為例建立了股票價格的ARMA模型，為投資者提供可靠的投資信息[1]；劉湖、王瑩（2015）通過構建ARMA-TGARCH-M模型，并利用上證總價格指數和深圳成分指數的低頻日收益率和5分鐘高頻收益率數據，對中國股市的波動問題進行了實證研究[2]；潘麗群、何紅芳、喬麗娟（2017）對深圳股票市場春節效應建立ARMA模型，進行實證分析得到春節前后收益率異常的情形[3]。本文將非平穩的時間序列轉化為平穩的時間序列，進而使用ARMA模型擬合平穩的時間序列問題，具有較佳的擬合效果，能夠為股民提供一定的建議，在金融界也具有比較廣泛的運用價值。

二、ARMA（p，q）模型

（一）ARMA（p，q）模型結構

（二）ARMA（p，q）建模步驟

第一步，由時序圖或自相關圖與偏自相關圖判斷所收集的數據是否平穩。

第二步，如果序列平穩，不存在純隨機性，便可以建立ARMA（p，q）模型；若序列不平穩，則需將其轉換成平穩，其轉化的方法通常為差分處理。

第三步，依據平穩序列所得到的自相關圖和偏自相關圖識別模型。

第四步，估計參數并進行檢驗，選出最恰當的模型。

第五步，殘差序列的白噪聲檢驗。

第六步，對序列進行短期預測。

三、實證分析

（一）數據來源和預處理

我們將某一種證券在證券交易所每一個交易日里的最后一次買賣定義為股市的收盤價。本文在大智慧軟件中選取麗江旅游、云內動力、云鋁股份、錫業股份和南天信息五支股票在2008年1月2日至2017年12月29日之間每天的收盤價作為樣本數據，樣本個數n=2192。表1為部分樣本數據。

表1 部分樣本數據

在數據收集過程中，為了便于分析保持五支股票開盤價時間的統一性，以預先規定好的時間為基準，對多出來的數據進行刪減，對缺失的數據采用線性插值的方法進行補充。

（二）ARMA（p，q）模型的實證研究

1.麗江旅游開盤價時間序列研究

截取麗江旅游這支股票從2008年1月2日至2017年12月29日2192個交易日的開盤價作為已知時間序列LJ，通過Eviews軟件對序列LJ進行分析[4]，如圖1。

圖1 序列LJ時序圖

圖2 序列LJ自相關-偏自相關分析圖

由圖1、2可知該序列不平穩，因此對序列進行逐期差分。

一階差分后序列名記為DLJ，對新的序列DLJ進行描述性分析，如圖3。

圖3 序列DLJ時序圖

圖4 序列DLJ自相關—偏自相關分析圖

由圖3、4可知，該序列圍繞著0這一常數上下波動，且樣本自相關與偏自相關系數很快落入隨機區間，說明一階差分后的DNT序列呈現平穩，可以對DNT建立ARMA（p，q）模型。從自相關分析圖4可見，序列的樣本自相關系數在k=2處顯著不為0，表現為拖尾性，因此可考慮q=2；在偏自相關分析圖中，滯后一和二期的偏自相關系數都明顯不為0，可以認為序列的偏自相關函數具有截尾性，明顯不為0的偏自相關系數的數目決定了p的取值，因此可考慮p=1或2[5]。為了使序列趨勢消除，因此進行了一階逐期差分，因此選用ARIMA（p，d，q）模型。

綜上所述，序列可以建立 ARIMA（1，1，2）或 ARIMA（2，1，2）模型，考慮模型的整體擬合效果，選擇出擬合效果最佳的模型。

表2 各模型參數估計結果

由表 3 可得 ARIMA（2，1，2）模型的 AIC、SC、R2和 Adjusted-R2的值與 ARIMA（1，1，2）模型的值相差不大，所以認為ARIMA（1，1，2）模型更合適，由表2可得該模型的表達式為[6]：

估計參數的步驟完成后，為了得知ARIMA（1，1，2）模型是否符合意義，運用白噪聲檢驗法對殘差序列進行檢驗，通過對殘差序列的檢驗后，可知道ARIMA（1，1，2）模型是合適的，模型的檢驗也認為ARIMA（1，1，2）模型最佳，因此對此進行短期預測。本文將樣本數據從2192擴展到2199，對序列進行短期預測，得到靜態預測圖（圖5）。

由圖6可見靜態預測值（中間）和真實值的波動情況相類似，說明預測的效果良好。

2.其余四支股票開盤價時間序列研究

同樣進行時間序列研究，對錫業股份等四支股票建立ARMA（p，q）模型。

觀測錫業股份開盤價序列的時序圖、自相關與偏自相關圖可知序列存在不平穩性，因此對原序列逐期差分，觀測一階差分的自相關與偏自相關圖，一階差分后的序列存在純隨機性，因此對原始序列進行二階差分，由差分后的自相關與偏自相關圖可知，對錫業股份建立 ARIMA（4，2，1）、ARIMA（5，2，1）模型較為合理，經過檢驗認為 ARIMA（5，2，1）模型的擬合效果更優，該模型的表達式為：

圖5 靜態預測圖

南天信息最終建立ARIMA（4，1，4）模型，該模型的表達式為：

最終選擇ARIMA（4，2，1）作為刻畫云鋁股份的模型，該模型的表達式為：

最終選擇ARIMA（4，2，1）作為刻畫云內動力的模型，該模型的表達式為：

估計參數的步驟完成后，為了得知四支股票所對應的模型是否符合意義，運用白噪聲檢驗法分別對四支股票的殘差序列進行檢驗；通過對殘差序列的檢驗后，也可知四支股票最終選擇的ARMA模型是合適的，因此對序列進行短期預測。從四支股票的靜態預測圖可知預測值和真實值的走勢相一致，說明預測的效果良好。

四、結論與對策

（一）結論

首先對時序圖和自相關圖進行觀察，判斷序列的平穩性，若時序圖顯示出序列具有顯著地波動集群效應，自相關系數很快落入隨機誤差范圍內，則說明該序列具有顯著的ARMA效應；然后采用最小二乘法估計模型的參數，再比較模型的相關檢驗結果，選出效果最好的ARIMA（p，d，q）模型，分別得到麗江旅游、南天信息、錫業股份、云鋁股份、云內動力五支股票所對應的最優ARIMA模型分別為ARIMA（1，1，2）、ARIMA（4，1，4）、ARIMA（5，2，1）、ARIMA（4，2，1）、ARIMA（4，2，1）；用白噪聲檢驗方法對殘差進行檢驗，通過靜態預測圖得知預測效果良好，因此股票價格序列的短期預測對投資者投資股票盈利具有一定的指導作用。

（二）模型的分析

1.優點

（1）我們通過對南天信息、麗江旅游、錫業股份、云鋁股份和云內動力五支股票2192個交易日的開盤價數據進行剖析，建立了這五支股票擬合效果最佳的ARMA（p，q）模型，從預測的靜態圖看，此種的方法對股票的預測效果良好。

（2）從理論角度上我國股票市場的時間序列是非線性的，而ARMA（p，q）對短期的非線性預測也有一定的優勢，股民可以根據各支股票的預測趨勢較為準確地判斷盈虧，以便理性地投資[7]。

2.缺點

（1）在數據的處理上，雖然對數據進行補充處理，但由于缺失的數據過多，依舊會導致對序列進行建模時存在一定的誤差。

（2）本文的模型擬合，只是對時間序列本身的屬性進行了簡單的分析，而沒有將其他的因素納入進來。在股票市場，股票開盤價的變化是多種因素互相影響形成的，不僅僅是市場本身，還有國家經濟政策等干預因素，所以不是預測的期望值可以反映的。

（3）ARMA模型在長期預測方面存在一定的缺陷，誤差相對較大，短期預測比長期預測效果更佳，因此不適合進行長期預測。

（三）模型改進

1.對股票開盤價的數據處理，采用更為準確的數據補充方法降低誤差，使得所建立的ARMA（p，q）對未來股票開盤價的預測更為準確、更為適用。

2.針對時間序列建立ARMA模型，需要對Eviews軟件的操作更加深入，做進一步的學習，掌握更對的實證分析方法，才能夠更加詳盡地分析時間序列。