凸顯“比較”的本質，感受“標準”的價值

顧文立

一、問題的提出

數學概念是數學知識的基本單位，是構成抽象數學知識的“細胞”，是數學思維發生和發展的前提。倍概念是數學教學中必須抓好的重要一環。

二、什么是“倍”

（一）“倍”的定義

“倍”的概念實質上體現了兩個量之間的比較關系，它建立在乘法概念的基礎上，在實際教學中是從“幾個幾”逐步抽象出來的數學概念，它為后續學習分數、百分數、比等概念奠定重要基礎。倍的概念更多的應用在解決問題方面，在解決有關倍、分數、百分數、比的實際問題時強調的是比較關系。比較的關鍵是確定標準，將標準量看做一個單位，通過確定比較量有幾個單位或者是幾分之幾個單位來確定兩者之間的倍比關系。在比較中“比較量”除以“標準量”等于“比率”，這是比較量和標準量的基本數量關系，是最本質的認識。帶著這樣的思考我對人教版教材進行了梳理。

（二）教材梳理

“倍的認識”是人教版義務教育教科書第五冊第五單元“倍的認識”中的一個內容。新教材將原來分散在二年級上冊和下冊的關于“整數倍”的內容在三上第五單元集中編排。由于“倍”概念非常抽象，這部分知識的后移，既能使得學生學習的難度降低，又不再受到所學乘、除法的限制，教學內容的呈現更具邏輯性。而且，對比人教版、蘇教版和師大版教材發現，不同版本的教材都是通過有層次的數學活動在比較中建立“幾倍”與“幾個幾”之間的聯系，經歷“倍”概念模型的建立過程。新人教版教材中的素材也是通過兩個量的比較，讓學生認識“一份”和“幾份”，同時明確“幾份”的產生是由“一份”決定的（以這“一份”為標準），“幾份”也就是幾倍，由此通過多次感知建立“倍”的概念和數學模型。這樣的編排有效地滲透了“類比”的思想方法，讓學生加深對“倍”的含義的理解。這一編排更符合學生由具體到抽象的認識規律。

（三）“倍”的核心思想

“倍”概念實質上是體現了兩個量之間的比較關系，所以“比較”就是“倍”概念的核心思想。那么我們繼續追問，什么是比較呢？數學中的比較是多方面的，包括量的大小比較、結構和關系的比較、數學性質的比較等。在小學階段我們涉及到的主要是量的大小比較、結構和關系的比較。

比較關系從知識點的角度說可以分為這樣幾個層次：首先是定性的比較（如長短、高矮）；這些比較簡單。接下來是定量的比較，定量比較是學生建立了相等這個概念之后學習的；首先是一年級出現的相差關系；之后是二年級開始出現的倍比關系（倍）；再往后是高年級出現的比率關系（分數、百分數、比）。

三、學生研究

通過前測可以看出，絕大多數同學能正確比較兩個量的相差關系，但很少有同學關注到倍數關系。雖然有些學生聽說過“倍”，但大多學生對倍概念不清楚，并且在概念理解中明顯存在原有認知“相差關系”的負遷移。

學生在學習“倍”概念時確實有一定困難，其核心困難是學生數學認知結構需要發生質的變化。小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎

上產生的高層次的數學認知結構。學生加法結構的建構為后續數學學習提供了最基本的知識準備和心理發展準備。前測可以看出在學習“倍”之前，學生頭腦中建構的是加法結構，是數量的合并與多少的比較，未曾學習兩個量之間的比率關系，對兩個量或多個量之間的比率關系問題的真正理解需要在學生頭腦中建構起乘法，而“倍”的學習正是建構乘法結構，是乘法結構構建的開始。乘法結構不是指單一的認識乘法，而是一個概念體系。從加法結構到乘法結構，學生認知結構需要發生一定程度質的變化，“倍”的學習是發生質的變化的第一次機會，乘法的初步認識是從特殊的加法的角度學習的，還是合并與累加的過程，本質上仍是加法結構。

四、我的思考

學生學習“倍”都要經歷從加法結構到乘法結構的轉變，認知結構的轉變是學生學習的最大困難。“倍”的概念的建構，不僅需要有“幾個幾”和“份”等前期經驗進行遷移，更需要在比較的背景下逐層建構倍的概念，并且利用比較的方法，借助多種表征方式之間的轉換理解倍的概念，在數學活動中理解“倍”的本質。

從問題解決角度看，在日常生活與數學中，與倍密切相關的問題主要有三類：求一個數的幾倍是多少？求一個數是另一個數的幾倍？已知一個數的幾倍是多少，求這個數。這是建構形成乘法結構的最基本的模型，如果對“倍”的理解不深刻，不全面，必然導致片面的理解“倍”概念。

“倍的認識”作為單元起始課，應讓學生在兩個量的比較中，體會以標準量為“單位”衡量比較量中有幾個“單位”的比較過程，逐步建構倍的概念，并在解決問題中將其化歸到“幾個幾”的策略上，從而實現學生思維從相差關系到倍數關系的轉向。

因此，倍的初步認識必須創設符合學生認知特點，同時又能解釋倍的數學本質的活動，借助多種方式，讓學生在比較的過程中循序漸進認識“倍”的含義，構建“倍”的模型，理解“倍”的本質，并從中積累數學活動經驗，讓學生在豐富多樣的活動中理解倍。

基于此，我想將倍的概念分為如下三層進行建構：

以上只是我對“倍概念”單元教學的一些思考，我們不圖課堂表面上的華麗，要的是孩子們真實學習力的提升。有了這些思考，課堂才能高效，才能切實減輕學生過重課業負擔。讓每一個課堂成為生命引領生命、智慧點燃智慧的過程。我堅信，當教學研究與綠色理念、與綠色課堂實踐并進時，我的數學課堂將會煥發出無窮的活力！

參考文獻

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