傳統時頻分析方法優缺點淺析

摘 要：信號根據其隨時間變化的特征可以分為平穩信號和非平穩信號。信號在任意時刻的頻率特征都很重要，僅在時間域或頻率域分析是不夠的。因此選擇和改進時頻方法，將時域和頻域結合起來描述、觀察信號的時頻聯合特征，構成信號的時頻譜尤為重要。

關鍵詞：信號；頻率；時頻

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.19.127

0 前言

傅里葉分析方法可以單獨從時間域或頻率域觀察信號，基于傅里葉變換的頻譜分析中頻譜僅僅是時間平均的頻率響應，這一全局變換方式不能很好地分析信號的局部特征。對于非平穩信號，由于信號在任意時刻的頻率特征都很重要，僅在時間域或頻率域分析是不夠的。短時傅里葉變換在分析平穩信號方面比傅里葉變換更有優勢。

1 傅里葉變換

傅里葉變換是數字信號處理領域一種很重要的算法。傅里葉變換是處理平穩信號的最基本、最經典的方法，傅里葉變換是信號從時間域變換到頻率域的重要紐帶。傅里葉變換把信號的時間域映射到頻率域上進行表示，且具有一一對應的映射關系。傅里葉變換運用如此普遍有一個重要的原因，那就是正弦基函數對小擾動數學方程是一個很好的手段并且為研究這種問題提供了一個合適的框架。

時間函數在時間域的表示如圖1（a），其頻率隨著時間增加而變大，圖1（b）是該函數在區間內的倒序，其頻率隨著時間增加而變小，都是非平穩信號。圖1（a）和圖1（b）是同一個函數表示的不同序列。從圖1（a）和圖1（b）分辨不出信號的不同頻率成分以及不同時間段的頻率大小，即此種情況下信號的時間分辨率達到無窮大，而頻率分辨率則為無窮小。圖2（a）和圖2（b）分別則是這兩個信號傅里葉分析后的結果。圖2（a）和圖2（b）中的振幅譜中可以看到這兩個序列具有完全相同的振幅譜，也可以確定信號的頻率成分，或者頻率范圍，但卻無法確定頻率分量的出現時間及其隨時間的變化情況。圖3（a）和圖3（b）分別則是這兩個信號的相位譜，可以從圖上明顯的看出這兩個非平穩信號具有相反的相位譜，但是這個區分也是微不足道的，對實際中信號的處理沒有多大的意義。不難看出，在時間域兩個信號的波形圖完全不同，而經過傅里葉變換后，在頻域的特征卻基本上一致。這充分說明了傅里葉變換分析方法在分析非平穩信號方面的缺陷。

為了更細致真實的刻畫非平穩信號及其時變系統，傅里葉變化是遠遠不夠的，需要對此進行革命性的推廣，采取對信號進行局部分析的方法，用時間和頻率的二維函數來刻畫信號，即對信號進行時頻分析。

2 短時傅里葉變換

為了分析和處理非平穩信號，人們對傅里葉變換進行了推廣乃至根本性的革命。D.Gabor注意到了傅里葉變換存在的缺點，于1946年引入了短時傅里葉變換。短時傅里葉變換對信號實現時頻分析的基本思想是：用窗函數將信號的時間域劃分成許多的時間間隔，假設窗函數范圍內的信號是平穩的，用傅里葉變換分析每個窗函數內的信號部分，通過窗在時間軸上的移動可以得出信號的一組局部頻譜，稱為信號的時變頻譜，即所需的時頻分布。

短時傅里葉變換（STFT）實際上是時間序列乘以一個可以平移的時窗后再做離散傅里葉變換（DFT）的結果，其在時頻平面上，各處的分辨率是相同的，短時傅里葉變換對信號的分析如圖4（a）和（b）所示。

在短時傅里葉變換中對信號進行加窗是很重要的。定義窗函數，非平凡函數稱為窗函數，如果。要使

（1）

當，的衰減速度應比快。對于任意的窗函數，下面給出窗函數的中心及半徑的定義，它的中心與半徑分別定義如下：

不難算出，高斯函數窗的中心與半徑分別為0和，因此，窗函數的寬度為2。a的取值不同，高斯窗函數的形狀不同，如圖5所示。

時間序列由頻率不同的信號和合成，如圖6所示。下面對信號進行短時傅里葉變換（STFT），圖7是信號的短時傅里葉變換（STFT）頻譜的三維空間圖，圖8是信號的短時傅里葉變換（STFT）頻譜的二維等值線圖。從圖7和圖8不難看出，信號頻率隨著時間的變化情況。

3 結語

短時傅里葉變換在傅里葉基礎上取得了本質的進展。用短時傅里葉變換分析信號可以在時頻窗這個局部范圍內觀察，時頻窗面積反映了時頻局部化的程度。短時傅里葉變換在一定程度上克服了標準傅里葉變換不具有的局部分析能力的缺陷。但是，短時傅里葉變換的時間-頻率窗的寬度對于高頻和低頻的局部化的信號是保持不變。它也存在著自身不可克服的缺點，即窗函數選定后，時頻矩形窗口的形狀就確定了。只能改變窗口在時頻平面上的位置，而不能改變窗口的形狀。因此，短時傅里葉變換本質上是一種單一分辨率分析，若想改變分辨率，需要重新選定窗函數。這種性質表明，短時傅里葉變換比較適合分析較平穩信號，而不太適合非平穩信號。

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作者簡介：裴跟弟（1986-），男，甘肅天水人，研究生，主要研究方向：淺層地震勘探資料解釋。