可違約債券的現值推導：假定利率和違約強度服從Cox—Ingersoll—Ross過程

秦絲絲

摘 要：可違約債券定價模型在金融衍生品盛行的現今已大量存在。首先，假定利率和違約強度服從CIR過程，該過程可以捕捉到不確定過程的均值回歸和條件異方差性，由于其利率和收益率都非負，其瞬時利率由非中心卡方分布表示，所以要優于Vasicek模型。但是，CIR模型的操作要難于Vasicek模型。最后，通過擴展了的D-S模型，通過引入隨機過程作為可違約票據的部分持有成本，構造了有流動性風險的可違約債券價格，最大限度捕捉流動性風險的市場特征。

關鍵詞：可違約債券；CIR模型；D-S模型

中圖分類號：F830.91 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2018）23-0157-02

CDS（信用違約互換）作為信用衍生品的主流產品，同時也是金融市場上進行風險管理的新工具。2018年金融風暴的來襲提示著我們管理信用風險已成為當務之急。許多經濟學家對CDS的定價模型做了不同的研究，一般在對參數做出一兩個相關的假設后，模擬金融數據、模型的相關性以及定價的解。本文主要考察信用違約互換的定價模型，基于簡化模型的原理，通過改變仿真參數，假設信用違約互換與利率之間的關系與違約強度之間的關系，借助均值方差對沖方法來研究違約風險，并通過自己的假設給出違約債券的定價公式。

文章從基本的D-S模型入手，該模型的基本思想是用調整后的短期匯率過程R=r+λ替代普通的短期利率過程r，然后利用無風險債券的定價模型推導出可違約債券的價值，基于Duffie and Singleton（1999）的風險中性概率：

V（t，T）=E （exp（- Rtdt）X）=E （exp（- rt+λtdt）X）

這里的X代表不發生違約時應該支付給債券持有人的報酬，本文將通過設定利率和違約強度都服從CIR過程來對該方法進行延伸。

令利率r和違約概率λ都服從Cox-Ingersoll-Ross過程，首先設置三個假設。

1.利率和違約概率都服從CIR模型：

其中，ab>0、αβ>0反應風險中立過程的平衡值，wr、wλ代表標準的布朗運動，ɑ、α代表均值回歸的調整速度，θ、δ是瞬時方差。

2.無風險利率過程和違約概率過程不相關，意味著布朗運動wr和wλ也不相關。這個假設可以確保該模型最終得到一個顯示表達式。

3.違約債券面值的恢復，即如果假定當違約發生時預期損失率w是一個外生變量，那么債券持有者可以得到（1-w）作為債券面值的一小部分。

基于以上假設和Duffie and Singleton（1999）可以得到含有定期付款違c的可違約債券價格：

V（r，λ，t）

=E [c exp（- rs+λsds）dt]

+E [exp（- rt+λtdt）]

+E [（1-w） λtexp（- rs+λsds）]（3）

第一部分表示到期日無違約事件發生的利潤現值，第二部分表示到期日無違約事件發生的債券面值的現值，最后一部分代表違約發生時的回收價值的現值。為了得到該表達式的值，設置：

由邊界條件F（T，T）=1，可以得到A（T，T）=1、B（T，T）=0。以上公式的解為：

A（t，T）=ln（ ）

B（t，T）=

h= （14）

由于無風險利率和可違約概率服從相同的過程，最終的解也應該相似，利用同樣的方法設置：

M（λ，t）=C（t，T）exp（-D（t，T）λ）（15）

解為：C（t，T）=ln（ ）

D（t，T）=

m= （16）

接下來需要找到G的解，基于伊藤定理G（λ，t）應該滿足：

從公式（6）得到G（T，T）=λ，假設：

G（λ，t）=[M（t，T）+N（t，T）λ]exp（-F（t，T）λ）（18）

邊界條件為M（T，T）=F（T，T）=0、N（T，T）=1，F（t，T）的值類似D（t，T）的值。滿足：

基于最初的三重假設可以得到可違約債券的值為：

V（r，λ，t）=c A（t，t）exp（-B（t，t）r）C（t，t）exp（-D（t，t）λ）dt+A（t，T）exp（-B（t，T）r）C（t，T）exp（-D（t，T）λ）+（1-w） A（t，t）exp（-B（t，t）r）（U（t，t）+V（t，t）λ）exp（-D（t，t）λ）dt（20）

實證文獻已經證明，收益率不能完全被信用風險因素所解釋（Hull、Predescu、White2004），流動性風險是收益率的另一種重要的影響因素?？紤]到證券價格的流動性，低流動性的證券價格低，高收益可以補償投資人的額外風險，超額收益被稱為流動性溢價。此外，可允許流動性效應可以通過引入隨機過程l作為可違約票據的部分持有成本，這里僅需要增加一個額外的項目：dl=？漬（？滋-λ）dt+g dwl（意味著流動性風險服從Vasicek模型），同時有：Q（l，t）=E [exp（- ltdt）]=K（t，T）exp（-Z（t，T）λ）

最后得到包含流動性風險的可違約債券的值，最初的方程（3）變為：

V（r，λ，t）

=E [c exp（- rs+λs+lsds）dt]

+E [exp（- rt+λt+ltdt）]（21）

+E [（1-w） λtexp（- rs+λs+lsds）dt]

這種情況下可違約債券的解為：

V（r，λ，t）=c A（t，t）exp（-B（t，t）r）C（t，t）exp（-D（t，t）λ）K（t，t）exp（-Z（t，t）l）dt+A（t，T）exp（-B（t，T）r）C（t，T）exp（-D（t，T）λ）K（t，T）exp（-Z（t，T）l）+（1-w） A（t，t）exp（-B（t，t）r）K（t，t）exp（-Z（t，t）l）（U（t，t）+V（t，t）λ）exp（-D（t，t）λ）dt（22）

對應的解類似于之前的模型。鑒于Duffie-Singleton模型的靈活性，這部分擴展了D-S模型，同時構造了有流動性風險的可違約債券價格。假定隨機過程服從均值回歸的平方根擴散，最大限度地捕捉流動性風險的市場特征。考慮到定價一個可違約債券的流動性風險可以更加準確地估量風險中立的違約強度，這有利于對信用衍生品進行準確定價。

本文通過從基本的可違約債券現值推倒模型入手，假設利率和違約概率都遵循Cox-Ingersoll-Ross過程，并結合基于Duffie-Singleton模型的面值恢復假設，來得到可違約債券的現值。另外，文章后續擴展了D-S模型，加入了在定價模型中存在流動性風險的情況下可違約債券的現值的解，這也是論證的新穎之處。

參考文獻：

[1] Choudhry，M. （2006）.The credit default swap basis（Vol. 45）. New York，NY：Bloomberg press.

[2] Fouque，J. P.，Sircar，R. and S lna，K.（2006）. Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance，13（03），215-244.

[3] Ericsson，J.，& Renault，O. （2006）. Liquidity and credit risk. The Journal of Finance，61（05），2219-2250.

[4] Fouque，J. P.，Sircar，R. and S lna，K.（2006）. Stochastic volatility effects on defaultable bonds. Applied Mathematical Finance，13（03），215-244.

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