考慮電勢非線性分布的電滲固結理論

儲 旭

（上海市政工程設計研究總院（集團）有限公司，上海市 200092）

0 引言

電滲法或與真空預壓、堆載預壓等的聯合工法是目前處理軟基最有效的方法之一。Casagrande于1939年第一次將電滲技術應用于巖土工程中，提出了電力滲流的概念[1]，此后，該方法應用于不同類型的軟土加固中。1968年，Esrig提出了一維電滲固結理論，用于解釋電滲過程中孔隙水壓力的增長與消散現象[2]。Wan和Mitchell于1976年在Esrig理論的基礎上提出電滲聯合堆載預壓的一維固結理論[3]。Shang將其擴展到二維空間，計算分析了某一電滲工程實例，取得了不錯的效果[4]。在他們的電滲固結理論中，均假定電滲土體中電勢分布為線性分布，但此假定與實際是有明顯的偏差的[5,6]。莊艷峰等[7]根據導電面積的大小，突破土體電勢線性分布的局限，提出了電滲界面電阻理論，但未能與電滲固結理論相結合。蘇金強等[8]根據試驗結果擬合出一個電勢分布的經驗公式，給出了不同邊界條件下的二維電滲固結的理論解。但由于擬合的經驗公式不具有普遍性，使得其適用范圍受到限制，且某些計算結果的準確度較低。

由于電滲本身屬于一種電學現象，在不考慮電化學作用的土體中不存在自由電荷，其電勢分布符合拉普拉斯分布，故本文采用電勢的拉普拉斯分布，對現有的電滲固結理論進行重新求解。通過一個電滲模型箱算例及文獻中的一個室內電滲模型實驗的數值計算，以驗證采用電勢拉普拉斯分布的合理性。

1 電滲固結理論

1.1 基本假定

（1）土體均勻飽和，正交各向同性，土粒與水的壓縮忽略不計，土的壓縮完全由孔隙體積的減小引起；

（2）土體的水力滲透系數和電滲透系數不隨時間而改變；

（3）不考慮土體中各種濃度和熱差而引起水流，不考慮電化學反應；

（4）電滲電極和土體接觸良好，之間沒有電壓損耗；

（5）由電勢差和水頭差引起的水流可以疊加；（6）土體中電勢分布不隨時間變化。

1.2 電勢分布方程

根據電學原理[9]，當空間電場為流電場時，電流密度為：

式中：I為電流密度；σe為土體的電導；ih為水力梯度，ih=grad（H）=grad（u）/γw；γw為水的容重；σh是由于水流引起的電導，σh=keγw；ke為電滲透系數；ie為電勢梯度，ie=grad（φ）；φ 為土體電勢。

由于土體中水流流速很低，且 σh≤σe，式（1）中水流流動引起的電流可忽略不計，則：

根據基本假定（6）可得：

1.3 電滲固結方程

電滲過程中，土體中的水流是由水力梯度和電勢梯度驅動的耦合流，由基本假定（5）可知：

式中：qh為水流；kh為水力滲透系數。由Tazaghi固結理論可知：

式中：mv為土體體積壓縮系數。

對于三維固結情況，由電滲耦合流式（4）可得：

故得：

根據基本假定（1），khx=khy=khz=kh，kex=key=kez=ke。將式（6），（7），（8）代入式（9），得

設定一個虛變量ξ

根據假定（6），可將式（10）變換成為：

1.4 定解問題

由電勢分布式（3）、電滲固結式（12）聯立組成電滲控制方程組

（1）邊界條件

式中：n為邊界的外法線方向；為哈密頓算子。

陰極排水：由于u=uc（uc為在陰極處施加的孔壓值），φ=0，則

陰極不排水：qh=0，則

陽極排水：由于u=ua（ua為在陽極處施加的孔壓值），φ=φmax，則

陽極不排水：qh=0，則

透水邊界：u=ub，ub為在透水邊界施加的孔壓值，φ=φb，φb為邊界處的電勢，則

不透水邊界：

（2）初始條件：u=u0，u0為初始時刻土體中的孔壓，則

以上式（13）～式（23）構成了一個完備的定解問題。

1.5 定解問題的解

土體中任意一點t時刻的孔壓ut：

式中：ξt表示t時刻的虛變量ξ值。

排水邊界為Ω，t時刻的土體排水率D為：

沿高度H方向t時刻的沉降S：

電滲過程中，在總應力不變的情況下，飽和土體有效應力的增加等于孔隙水壓力的消散。因此，t時刻土體的含水率ωt為：

式中：av為壓縮系數；Gs為土粒比重；ω0為土體初始含水率。

2 算例分析

由于電滲幾何邊界條件的復雜性，以上定界問題的解析解不易求出，本文采用數值計算的方法對一電滲模型箱試驗進行了求解。模型箱長80 cm、寬40 cm，陰極和陽極的直徑為2 cm，陰陽極間距60 cm，其俯視圖見圖1。

圖1 電滲模型箱俯視圖（單位：cm）

選取某港口工程中飽和黏土的計算參數：ke=2×10-10m2/（s·V）；kh=4.6×10-10m/s；Gs=2.75；av=1.13 MPa-1；mv=0.49 MPa-1；ω=47.4%。

2.1 電勢分布

傳統的電滲固結理論中，都是假設陰陽極之間的電勢分布為線性分布，并且只能計算陰陽極之間的點，如圖1中的D、B、E點，寬度方向其他的點如A、C點則不能進行計算。引入電勢的拉普拉斯分布，則能計算出各個點的電勢。在陰陽極之間施加4 V的總電勢，計算出的土體電勢分布見圖2，這與Shang等的結果相近[10]。

圖2 土體電勢分布圖

圖3為分別采用非線性方法和線性方法計算出的陰陽極之間的電勢。從圖中可以看出，由非線性方法計算出來的電勢在電極附近下降很明顯，中間部分比較符合直線分布，總體偏向折線分布。這與很多文獻中的電滲試驗測得的結果一致[4,11]。

圖3 陰陽極之間的電勢線性分布和非線性分布圖

2.2 孔壓計算

在陰陽極之間施加4 V電壓，陰極自由排水，陽極和邊界不排水，初始孔壓為0 Pa，計算時間為12×106s（約140 d），計算土體產生的孔壓。

由Esrig的電滲固結理論可知，電滲平衡時土體中的孔壓分布與電勢分布一致，電勢大小決定孔壓大小，電勢梯度的大小決定了孔壓的收斂速度。圖4為分別采用電勢非線性和線性分布計算出的典型點孔壓的增長過程。與圖3結合起來看，B點位于電極中點，采用電勢非線性分布和線性分布計算出的電勢大小相同，但采用非線性分布計算出的電勢梯度要小于線性分布的計算值。因此，圖4（a）中采用電勢非線性分布計算出的B點孔壓增長速度低于線性分布計算值，后期兩者逐漸接近；D點采用電勢非線性分布計算出的電勢大于線性分布的計算值，電勢梯度小于線性分布計算值。圖4（b）中，電勢非線性分布計算出的D點孔壓值初始時小于線性分布計算值，然后逐漸超出；E點采用非線性分布計算出的電勢和電勢梯度均小于線性分布計算值。圖4（c）中，電勢非線性分布計算出的E點孔壓值一直小于線性分布計算值，收斂速度也低于線性分布計算值。

同時，在電極連線之外的A、C點則只能采用非線性分布進行計算，兩點的電勢和電勢梯度大小與B點相差不大，所以孔壓值也比較接近。當t=1.2×106s時孔壓變化很小，電滲固結基本完成。

2.3 排水率計算

在本計算模型中，陰極自由排水，陽極和邊界不排水。圖5為電滲過程中土體的排水率。可見，在整個計算時間內，土體排水率的大小逐漸衰退，當電滲穩定時排水率衰減至0，符合一般規律。

3 實例分析

Guy和Fabien在2002年做了一個室內電滲固結試驗[12,13]，試驗數據完整，被很多文獻引用。下面利用本文改進的電滲固結理論對該試驗進行分析。

Guy共進行了5組實驗，與本文研究內容相似的為編號27ET的模型試驗，選取其作為實例進行分析。試驗土樣為加拿大魁北克省圣勞倫斯低地的原狀土。計算所需的土樣基本參數為：ke=2.7×10-9m2/（s·V）、kh=3×10-10m/s、av=1.5 MPa-1、mv=0.54 MPa-1、ω=49%、Gs=2.79，均直接引自原文。

電滲試驗在一PVC材料制作而成的圓筒內進行，圓筒直徑為25.4 cm，高為13 cm，見圖6。試樣頂面、底面各設置一層土工織物作為排水層。電極為 2根陰極（C1，C2），2根陽極（A1，A2），直徑1 cm。陰陽極并排布置，同極之間間距10 cm，陰陽極之間間距15 cm。陰極處的水由泵抽出，使液面保持在土體上表面以下2 cm處。土樣陽極附近注入某種鹽溶液，用以增加陽極附近土體的導電性，尤其是后期的導電性。

圖4 采用電勢非線性和線性分布計算出的孔壓值

圖5 電滲排水率

電滲試驗分為兩個階段。第一階段，土體在175 kPa的上部荷載作用下固結一段時間，水通過上下兩面的土工織物排出。固結后測得試樣高度10.0 cm，有效應力為170 kPa，故得出電滲時的土體初始孔隙水壓力為5 kPa。第二階段，上部荷載保持為175 kPa不變，陰陽極之間施加總電壓5.25 V，電滲6 d。由于該試驗幾何邊界的復雜性，只考慮電勢線性分布的電滲固結理論無法進行精確計算，更無法計算出土體排水率，而采用本文中所給出的考慮電勢拉普拉斯非線性分布的電滲理論則可以進行計算。表1為電滲固結后試樣高度與含水率的實測值和計算值，兩者很接近，誤差不超過3%。原文中給出的電滲固結后的高度通過位移計測量而得，含水率為平均含水率。

圖6 電滲模型箱俯視圖（a）和正視圖（b）

表1 電滲固結后試樣高度與含水率的實測值與計算值

Guy在原文中給出了電滲相對排水量隨時間的變化。電滲相對排水量為電滲排水量與土體總體積的比值。圖7給出了計算值和實測值的對比，從中可以看出總體相差不大。

圖7 電滲相對排水量計算值和實測值

這個實例分析表明考慮電勢非線性分布的電滲固結理論的求解精度高，這主要原因是考慮了電勢的非線性分布。此外，實驗中的電滲排水量與垂直沉降的體積幾乎一樣，這表明土體幾乎一直處于飽和狀態，沒有垂直向的裂隙。而且試驗過程中的電勢比較穩定，因為在陽極注射了某種鹽溶液，而實際電滲工程中當施加的電勢梯度較大時，電勢不可能有這個試驗中那樣穩定，尤其是電滲后期。

4 討論

本文的電滲固結理論是基于6點假設建立起來的，而這些假設與實際情況必然有些出入，因此，有必要進行相應的討論：

（1）電滲固結后期，陽極附近的土體會逐漸由飽和狀態變成非飽和狀態，并常常伴有裂隙產生，這時候還采用飽和土的電滲固結理論計算顯然不符合實際。

（2）電滲過程的本質是土體的電化學反應，但是電滲固結理論中忽略了電化學反應的影響。這在電滲初始和中間階段還是能接受的，但是到了后期的影響越來越明顯，產生離子濃度流，甚至于改變土體電阻率等各種基本性質，這時它對電滲固結的影響很大。

（3）文中假定土體電勢分布不隨時間改變。在實際問題中，電滲前期和中期電勢分布變化不大，后期的電勢梯度開始逐漸變化，等勢線向陽極靠攏，這與文中假定有一定出入。

由以上討論可以看出，電滲固結理論在初期和中期還能夠進行相應的計算，但是到了后期，土體各種性質的改變限制了電滲固結理論的應用。所以，對于長期的電滲固結計算，文中的電滲固結理論不適用。

5 結語

在Esrig電滲固結理論的基礎上，本文引入電勢的拉普拉斯分布，配合以相應的邊界條件，構成了一個完備的定解問題。該固結理論可以計算復雜幾何邊界的電滲固結土體，預測土體排水量，土中任意點的孔壓，沉降和含水率。由于土體性質的改變，該電滲固結理論不適用于長期的電滲固結計算。

致謝：本文在微分方程的推導和計算中得到了南京水利科學研究院傅中志博士的大力幫助，在此表示衷心感謝！