新型直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度計算及其性能分析

劉慶玲 羅 萍 于常娟

廊坊師范學院數學與信息科學學院，廊坊，065000

0 引言

柔性鉸鏈是構成柔性機構的最基本柔性結構，是影響柔性機構整體性能的關鍵［1?2］。柔度是柔性鉸鏈最重要的性能參數，柔度矩陣能夠反映出不同方向上鉸鏈所承受載荷與對應變形之間的解析映射關系［3?5］。依據柔性鉸鏈的結構特點以及傳遞運動和能量的方向，柔性鉸鏈可分為單軸、雙軸與多軸柔性鉸鏈。雙軸、多軸柔性鉸鏈具有多個轉動自由度，可用于三維空間的運動。根據鉸鏈切口輪廓曲線形狀的不同，柔性鉸鏈可分為柱形、圓弧形（直圓形）、導角形、橢圓形等不同類型，分別滿足不同運動范圍及運動精度的要求［6?8］。文獻［9?11］針對圓弧型、直圓型、橢圓型多軸柔性鉸鏈的柔度進行了研究，得出了柔度計算式。

為了綜合利用不同類型多軸柔性鉸鏈的優勢，本文提出一種直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈，利用卡氏第二定理，導出其柔度計算式，同時采用有限元法對其進行驗證分析，并對復合型多軸柔性鉸鏈的性能進行研究。

1 直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度計算

直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈是由半個直圓型多軸柔性鉸鏈、半個導角型多軸柔性鉸鏈組合而成的，其結構如圖1所示。圖1中，R為直圓半徑，r為導角半徑，l為鉸鏈的長度，t為鉸鏈截面最小直徑，固定端距離為x的任意截面的橫截面直徑為t（x）。

圖1 直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈結構示意圖Fig.1 Sketch of right circular-corner filleted hybrid multiple-axis flexure hinge

設復合型多軸柔性鉸鏈右端固定，左端為自由端，考慮一般情況，自由端承受力F1x、F1y、F1z和力矩 M1x、M1y、M1z的共同作用，如圖 2 所示。鉸鏈的變形是由力和力矩共同產生的，以鉸鏈固定端為坐標原點，建立圖2所示坐標系，圖中，1表示鉸鏈自由端，2表示鉸鏈的中心。基于卡氏第二定理對多軸柔性鉸鏈的變形進行分析，用鉸鏈自由端1處的變形表征其柔度。

圖2 多軸柔性鉸鏈受力分析示意圖Fig.2 Sketch of flexure hinge load

依據多軸柔性鉸鏈的運動特性，由卡式第二定理可得柔性鉸鏈在自由端處的變形與載荷的關系：

式中，u1x、u1y、u1z分別為自由端處沿X、Y、Z軸的位移；θ1x、θ1y、θ1z分別為自由端處繞X、Y、Z軸的轉角；C為多軸柔性鉸鏈的柔度矩陣。

依 據 矩 陣 互 等 定 理 ，有 C1,y?Mz=C1,θz?Fy，C1,z?My=C1,θy?Fz。

對式（1）中各位移矢量應用卡式第二定理，有

式中，U為多軸柔性鉸鏈的變形能，包括軸向拉伸變形能、彎曲變形能（包括對Z軸、Y軸的彎曲變形能）及扭轉變形能。

根據多軸柔性鉸鏈空間多自由度的運動特性及其承受的載荷，由材料力學可得多軸柔性鉸鏈的變形能U：

式中，Uax為X方向的拉伸變形能；Uby、Ubz為相對Y軸、Z軸的彎曲變形能；Ut為扭轉變形能；E為材料的彈性模量；G為材料的剪切模量；A（x）為鉸鏈上任意位置處的橫截面積；Iy（x）、Iz（x）為鉸鏈上任意位置處相對于Y、Z軸的截面慣性矩；J（x）為鉸鏈上任意位置處的截面極慣性矩。

依據圖2中多軸柔性鉸鏈的承載特點，式（4）中的各力與力矩分別為

依據多軸柔性鉸鏈橫截面的對稱性（圖1）可得 Iy（x）=Iz（x）=I（x），故 有 C1,y?Fy=C1,z?Fz，C1,θy?My=C1,θz?Mz，C1,y?Mz=C1,z?My。

圖1中，直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈上距固定端距離為x的任意截面的橫截面直徑為t（x），該處的橫截面積、截面慣性矩、極慣性矩分別為

將式（5）、式（6）代入式（4），再代入式（3），將所得變形能代入式（2），則由式（1）可得各柔度項。設定積分計算式如下：

可得直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈各柔度項計算式：

由圖1可得直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈上任意位置處橫截面的直徑t(x)：

將式（8）代入式（7）進行積分，即可得各柔度項計算式。為了簡化計算，采用分段積分法，各部分的積分變量選取如下：直圓部分選取直圓圓弧的圓心角為積分變量，設為θ1，則有t1（θ1）=t+2R（1-cosθ1），積分區間為［0，π/2］；導角部分以導角圓弧的圓心角為積分變量，設為θ2，則有t2（θ2）=t+2r（1-cosθ2），積分區間為［-π/2，0］；直梁部分以x為積分變量，積分區間為［r，l/2］；設t/（2R）+1=c1，t/（2r）+1=c2［12］。

采用新的積分變量進行積分，簡化了積分計算過程。求得直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的各柔度：

2 柔度實例計算及有限元驗證

2.1 實例計算

直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈結構如圖1所示，材料為鈹青銅，彈性模量E=126 GPa，泊松比μ=0.35。給定幾何參數如下：鉸鏈長度l=20 mm，直圓半徑R=10 mm，導角半徑r=5 mm，改變最小截面直徑t的值，使其分別取1，2，3，4，5，6，7，8 mm，采用式（9）計算各柔度項，計算結果列于表1。

表1 柔度計算結果與有限元分析結果Tab.1 Results of compliance computation and finite element

2.2 有限元分析

采用有限元法對文中的柔度計算式進行驗證，ANSYS環境中選取Solid186單元類型，按照實例中給定的直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的幾何參數建立對應的有限元模型，劃分網格，施加約束，t=2 mm對應的有限元模型如圖3所示。在鉸鏈末端施加單位載荷F1x=F1y=F1z=1 N，M1x=M1y=M1z=1N·m，其自由端的變形為柔度，變形結果列于表1。

圖3 直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈有限元模型（R=10 mm，r=5 mm，t=2 mm）Fig.3 Finite element model of right circular-corner filleted hybrid multiple-axis flexure hinge（R=10 mm，r=5 mm，t=2 mm）

2.3 結果分析

利用表1數據分析柔度計算結果相對于有限元仿真結果的相對誤差。定義鉸鏈的厚長比λ=t/l（鉸鏈長度l=2R）。

由表1中的數據可以看出，柔度項C1,x?Fx的誤差隨著厚長比λ的變化基本在7%以內；其余柔度項的誤差隨著厚長比的增加呈明顯增大趨勢，柔度項C1,y?Fy最為顯著。厚長比λ≤0.2時，所有柔度項的誤差在12%以內；厚長比λ＞0.2時，除C1,x?Fx之外的各柔度項誤差明顯增大，最大誤差接近30%。

上述柔度項的計算未考慮剪切的影響，然而隨著鉸鏈厚長比的增大，剪切對Y向線變形的影響最為顯著，影響程度與鉸鏈厚長比成正比，這是造成誤差增大的主要原因（考慮剪切影響的厚長比另文闡述）。由表1中數據可以看出，文中的柔度計算式所得結果與有限元結果具有一致的變化趨勢，在一定參數范圍內，驗證了文中所得柔度計算式的正確性，同時也表明，在某些參數范圍內，剪切的影響不能忽略。

3 直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的性能分析

由直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度計算式可知，各柔度項取決于鉸鏈的材料及其結構參數。所有柔度項均與材料的彈性模量E或剪切模量G成反比，與直圓半徑R成正比。鉸鏈的導角半徑r、最小截面直徑t對各柔度項的影響具體分析如下。

3.1 鉸鏈導角半徑r對柔度的影響

選取一組具有不同導角半徑的直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈，材料同前，直圓半徑R=10 mm，最小截面直徑t=2 mm，導角半徑r分別為2 mm、4 mm、6 mm、8 mm、10 mm。采用式（9）計算鉸鏈各柔度項，結果列于表2。

表2 不同導角半徑直的計算柔度Tab.2 Compliance computation under the different filleted radius

由表2數據可得，隨著導角半徑r的增大，復合型多軸柔性鉸鏈的柔度減小。導角半徑r=2 mm的鉸鏈的轉動能力和對軸向載荷的敏感程度近似為導角半徑r=10 mm的鉸鏈的2.6倍和1.4倍。當r=10 mm時，直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈變為直圓型多軸柔性鉸鏈，可明顯看出，直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度優于直圓型多軸柔性鉸鏈，能夠獲得更大的運動范圍。

3.2 最小截面直徑t對柔度的影響

由表1數據可明顯看出，t=1 mm對應的各柔度遠遠大于t=2 mm對應的各柔度，隨著t的增大，各柔度明顯減小。柔度對參數t的變化最為敏感，故鉸鏈最小截面直徑是影響鉸鏈性能最重要的結構參數。

4 結論

（1）設計出一種新型多軸柔性鉸鏈——直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈，依據卡式第二定理，建立直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度矩陣。采用分段積分法，分別選擇直圓圓弧、導角圓弧所對應的圓心角為積分變量，簡化了計算過程，得出直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度計算式。

（2）選擇一組具有不同最小截面直徑的直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈，采用文中得出的柔度計算式進行實例計算，同時對其進行有限元分析，在一定參數范圍內驗證了柔度計算式的正確性。

（3）定義鉸鏈的厚長比λ，分析了各柔度項的相對誤差與厚長比λ之間的關系，厚長比λ≤0.2時，所有柔度項的誤差在12%以內；厚長比λ＞0.2時，除C1,x?Fx之外的各柔度項誤差明顯增大，最大誤差接近30%。剪切影響是造成柔度計算誤差增大的主要原因，一定參數范圍內，不能忽略剪切的影響。

（4）利用所得的柔度計算式，通過實例計算，分析了直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的導角半徑r與最小截面直徑t對各柔度項的影響；同時指出直圓導角復合型多軸柔性鉸鏈的柔度以及對軸向載荷的敏感性均優于直圓型多軸柔性鉸鏈。