具有連續轉軸的新型3-UPU 并聯機構的運動特性分析

韓雪艷 王子義 李仕華 田志立

1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，066004

2.燕山大學機械工程學院，秦皇島，066004

0 引言

具有兩轉動一移動的三自由度并聯機構（2R1T）是非常重要的一類構型，應用于諸多領域。2R1T并聯機構的轉軸在空間的分布對機構的標定和軌跡規劃十分重要［1］，但現有大多數的2R1T并聯機構在轉動過程中軸線不固定，即轉軸為瞬時轉軸，為其標定和軌跡規劃帶來了不便。

很多學者對機構轉軸進行了研究。李秦川等［1］通過分析機構發生轉動后其約束螺旋的變化分析了2?UPR?SPR并聯機構的連續轉軸。LIU等［2］采用在分支中添加平行四邊形復合運動副的方法構造了一類具有很強的轉動能力的三自由度并聯機構。XU 等［3?4］采用螺旋理論對一種 2?RPU/SPR兩轉一移并聯機構的連續轉軸進行了研究，并基于具有連續轉軸的2R1T并聯機構構造了一種五自由度混聯機構。LI等［5］采用在3T1R并聯機構中添加冗余支鏈的方法得到了很多冗余驅動并聯機構。竇玉超等［6］提出了一種兩轉動一移動自由度的完全解耦并聯機構，并對其工作空間、奇異性進行了分析。LI等［7］分析了 3?［P］［S］類并聯機構的轉軸的分布情況。陳子明等［8?11］提出了一類無伴隨運動的對稱兩轉一移并聯機構，該類機構可以繞中間對稱平面內任一條直線做連續轉動。

上述研究要求機構動定平臺或運動副軸線具有特殊的位置關系，在實際應用中很難保證，不利于機構的應用。本文提出了一種新型的3-UPU空間對稱的并聯機構，并對機構的自由度、運動特性和工作空間進行了分析。

1 初始位形下機構自由度分析

1.1 機構構型

如圖1所示，新型3-UPU機構是由2個全等的正三角形平臺和3條完全相同的UPU分支組成。每個UPU分支包含2個萬向鉸鏈（Ui，i=1，2）以及1個移動副（P副）。每個U副由2個垂直相交的轉動副構成，其中與平臺相連的轉動副稱為Ui的第一轉動副（Ui1），與中間移動副相連的轉動副稱為Ui的第二轉動副（Ui2）。U11、U21以一定角度對稱傾斜布置在動定平臺上，且其軸線相交于中間對稱平面S內一點P1，U12、U22以相同角度與中間移動副傾斜相連且其軸線交于中間對稱平面S內一點P2。在初始位形下，中間移動副與上下平臺垂直，且任意位形下均與中間對稱平面S保持垂直。

圖1 3-UPU機構示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3-UPU

1.2 機構自由度分析

根據螺旋理論［12］可知

由式（1）可以得到：①分支約束力與分支轉動副軸線共面（相交或平行），并且分支約束力與分支中的移動副軸線垂直；②分支約束力偶方向與分支所有轉動副軸線垂直，約束力偶的方向與移動副軸線幾何關系可以是任意的。

機構單個分支的布置見圖2。

圖2 UPU分支Fig.2 UPU branch

根據螺旋的互逆性，UPU分支約束螺旋與分支所有轉動副軸線共面（相交或平行），同時與分支中所有移動副軸線垂直，因此約束螺旋只有1個，即通過2個交點P1和P2的約束力螺旋＄r1；UPU分支約束力偶的方向與分支所有轉動副軸線垂直，因此約束力偶不存在。UPU分支具有1個過轉動副軸線交點P1、P2的約束力，且其分布在中間對稱平面內。

由于機構分支采取對稱布置，故對平臺所施加的約束力＄ri（i=1，2，3）相互交錯，且位于中間對稱平面內，見圖3。

圖3 約束力矢量圖Fig.3 Vector diagram of the constraining screws

3個約束力＄ri（i=1，2，3）限制了動平臺沿對稱平面方向的2個移動自由度和對稱平面法線方向的轉動自由度，機構具有3個自由度，即在對稱面上的2個轉動自由度和沿對稱面法線方向上的1個移動自由度。

1.3 自由度數的驗證

根據修正Kutzbach?Grubler公式［12］來計算自由度：

式中，d為機構的階數；n為機構的構件數；g為機構的運動副數；fi為第i個運動副的自由度數；v為機構的冗余約束數；ξ為機構的局部自由度數。

該機構公共約束個數為0，機構的階數d為6；機構構件數目n為8；運動副個數為9，其中6個U副具有2個自由度，3個移動副具有1個自由度；機構冗余約束v的個數為0；局部自由度ξ為0。因此，機構自由度為

2 機構自由度的非瞬時性分析

利用單葉雙曲面的相關性質證明當機構發生運動后，該機構始終關于中間平面對稱，且其自由度始終為2R1T，即自由度具有非瞬時性。

2.1 單頁雙曲面的性質

如圖4所示，直線l繞與它不共面的直線k旋轉而成的曲面稱為單葉雙曲面。這種由一族直線所構成的曲面稱為直紋曲面，而構成直紋曲面的那族直線稱為直紋曲面的一族直母線。單葉雙曲面的兩族母線具有如下特性：①單葉雙曲面上異族的任意兩條直母線必共面（相交或平行），而同族的任意兩條直母線必為異面直線；②單葉雙曲面上的任意母線與主軸線的距離相同，與主軸線的夾角相同；③與主軸線距離和夾角相同的直線為同一單葉雙曲面的直母線。

圖4 單葉雙曲面示意圖Fig.4 Schematic diagram of single leaf hyperboloid

2.2 機構在任意位形下的對稱性分析

首先，討論分支的對稱性。如圖5所示，在初始位形下，每個分支的 U12、U22轉動副軸線 l1、l2關于中間對稱平面S1對稱，且相交于平面S1上一點P2，移動副軸線lp垂直于平面S1。當機構發生轉動或移動時，U12、U22轉動副之間只發生沿移動副軸線lp方向的移動，所以機構位形發生變化時，這兩個轉動副將始終關于一個分支平面對稱，相交于平面上一點移動副軸線lp始終與該平面保持垂直狀態。

圖5 分支對稱平面Fig.5 Branch symmetric plane

其次，討論動定平臺的對稱性。在初始位形下，動定平臺關于平面S2對稱，見圖6。分支與定動平臺連接的轉動副的軸線l3、l4關于平面S2對稱，相交于平面上P2點，且l3、l4到平面S2上任意直線k的距離和夾角相同。

圖6 動定平臺旋轉前后的位形Fig.6 The position of the moving and fixed platform before and after rotation

同理，與動定平臺相連的另外2個分支上的2組轉動副軸線也是彼此相交的。機構轉動后，由于動定平臺結構上鏡面對稱，而且固連其上的3個分支的U11、U21轉動副的3對軸線彼此相交，因此動定平臺關于某一平面對稱，該平面由3對軸線的交點確定，且該平面相當于原中間對稱平面繞直線k轉動θ/2。

此外，當動平臺發生沿對稱平面法線方向移動時，動定平臺關于中間平面對稱，其正確性顯而易見，在此不再贅述。

圖7 3-UPU并聯機構Fig.7 3-UPU parallel mechanism

最后，討論機構的對稱性。如圖7所示，由于每個分支中的U1、U2副的中心點（U副兩個轉動副軸線的交點）始終關于分支對稱平面S1（或）對稱，也始終關于動定平臺對稱平面S（2或）對稱，且兩點間的對稱平面只有1個，所以2個對稱平面S1（或）、S（2或）為同一平面S。因此，機構在任意位形下，均存在1個中間對稱平面S，且每個分支的上下2組U副轉動副的軸線始終對稱且相交于中間對稱平面S上的P1、P2點，移動副的軸線始終垂直于中間對稱平面S。

2.3 機構自由度非瞬時性

根據前述分析，在初始位形下，機構的每個分支均存在1個約束力，分布在中間對稱平面S內且通過2個運動副的交點。3個約束力均交錯分布在中間對稱平面內且通過各分支的2個運動副交點，限制了動平臺沿平面S上的2個移動自由度和對稱平面法線方向上的轉動自由度，使得機構只具有繞中間對稱平面內直線轉動自由度與垂直于中間對稱平面移動自由度。動平臺發生上述3種運動后，由前述論證可知，機構的3個約束力仍分布在中間對稱平面內且通過各分支的2個運動副交點，因此，機構自由度是非瞬時的。

3 機構連續轉動特性分析

3.1 機構連續轉軸位置確定

初始位形下，該機構可以繞中間對稱平面S內任意一條直線做瞬時轉動，且機構發生轉動后仍關于某一中間平面S′對稱，仍然具有繞平面S′上任意直線做瞬時轉動的能力；機構轉動前后，轉動軸線始終位于對稱平面內，所以可以繞對稱平面內同一條直線連續轉動。同理，轉動后的中間對稱平面內所有直線均作為機構繼續轉動的連續轉軸。

信號參數如表1所示。在這個信號中,基波、2次諧波和3次諧波附近都存在一個間諧波,如果直接使用加窗插值FFT算法進行處理,上述分量將難以被區分出來,計算結果誤差會很大。為了避免這種情況,在計算信號參數前使用本文方法來處理待測信號。

此外，由于機構動平臺沿著對稱平面S的法線移動后，動定平臺的姿態均未改變，移動前后機構對稱平面S仍相互平行，故約束力仍位于移動后的機構對稱平面內，動平臺仍可沿著該方向移動，即機構的移動也是連續的。

綜上，該機構的運動特性為：動平臺可以繞機構中間對稱平面上的任意一條直線連續轉動，或沿垂直于中間對稱平面方向連續移動。當動平臺轉動或移動后，動平臺仍可繞著新的中間對稱平面內的任意一條直線轉動或沿垂直于新的中間對稱平面的方向移動。所以該機構對稱平面上的任一直線皆為連續轉軸。

3.2 連續轉動的仿真驗證

采用SolidWorks建立機構仿真模型，驗證其可在任意位形下繞中間對稱平面上的任一直線做連續轉動。

在初始位形下，如圖8所示，選取中間對稱平面內任一直線k1作為轉動軸線，并在此軸線處搭建1個分別與動定平臺固連的中間轉動副，在其上添加旋轉馬達，驅動動平臺繞該軸線連續轉動一定角度θ1（取θ1=20°）。提取3個移動副的位置參數數據，并作為驅動添加到機構的3個移動副中，見圖9；動平臺中心點P運動到P′點軌跡是一段繞所選軸線的圓弧，所以在初始位形下該機構可以在移動副驅動下繞中間對稱平面內任一直線做連續轉動。

圖8 初始位形下以中間轉動副驅動機構Fig.8 The mechanism driving by middle rotational pair under the initial position

圖9 初始位形下以移動副驅動機構Fig.9 The mechanism driving by prismatic pair under the initial position

同理，在動平臺運動后，重復上述過程，驅動動平臺繞新對稱平面內任意軸線k2旋轉一定角度θ2（本文取θ2=20°），見圖10。如圖11所示，動平臺中心點P′運動到P″點，經驗證其軌跡為一段繞所選軸線的圓弧，所以在任意位形下該機構可以在移動副驅動下繞中間對稱平面內任一直線做連續轉動。根據上述仿真結果，該機構可實現連續轉動。

圖10 轉動后以中間轉動副驅動機構Fig.10 The mechanism driving by middle rotational pair after rotation

圖11 轉動后以移動副驅動機構Fig.11 The mechanism driving by prismatic pair after rotation

4 機構運動學反解及工作空間分析

4.1 機構運動學反解分析

4.1.1 轉動角度分析

如圖12所示，初始位形下，O、O1分別為定平臺、動平臺中心點，O2為平面S2上的一點，OO2、O1O2分別與中間對稱平面S2的夾角相同且設為α。假設動平臺繞平面S2內一條直線k轉動β角時，平面S2轉動了γ角，因OO2和O1O2與中間對稱平面的夾角仍然相同，可得

因此，在動平臺旋轉過程中，動平臺繞轉軸轉過角度是中間對稱平面S繞轉軸轉過角度的2倍。

圖12 機構轉動角度關系圖Fig.12 The relation chart of rotation angle

4.1.2 位置反解

如圖13所示，在動定平臺和中間對稱平面上分別建立坐標系，其中，A1、A2、A3為與定平臺相連U1副的中心點，a1、a2、a3為與動平臺相連U2副中心點。定系OXYZ的原點O在定平臺中心，X軸垂直于A1A3指向A2方向，Z軸垂直于定平臺且指向上方，Y軸按照右手定則確定；動系O1X1Y1Z1在動平臺上的布置與定系OXYZ在定平臺上的布置相同；與中間對稱平面S固定的坐標系O2X2Y2Z2的各個軸線在初始位形下與定平臺各坐標軸平行。

圖13 機構的坐標系Fig.13 The coordinate system of the mechanism

由于動定平臺關于中間對稱平面對稱，動平臺運動時定系坐標原點O到動系坐標原點O1的向量始終為中間對稱平面的法向量，因此當動平臺中心點O1已知時，中間對稱平面的姿態也可以確定。平面S的姿態矩陣可以采用繞著坐標系O2X2Y2Z2旋轉的xyz型歐拉角（α，β，γ）來表示。受機構的約束力的限制，平面S只能繞著X2、Y2軸轉動，不能繞著Z2軸轉動，故γ=0，因此平面S的姿態矩陣T′為

當已知動平臺中心點O1在定系中的坐標(x,y,z)T時，中間對稱平面的單位法向量為

結合平面S的姿態矩陣T′，可得

求解式（7）可得

由轉角分析可知，動平臺轉動角度為中間對稱平面轉動角度的2倍，動平臺的姿態矩陣T可以表示為

其中，姿態角α、β為動平臺姿態角的1/2，而動平臺姿態角的范圍是(-π,π)，則α、β取值范圍是(-π/2,π/2)。

當已知動平臺中心點O1在定系中的坐標時，可得到動平臺的姿態矩陣，動系中任意一點P在定系中的坐標P(0)即為

式中，P(1)為任意一點P在動系中的坐標。

從而可解得動平臺U2副中心點在定系中的坐所以可以求得該機構的反解即各移動副的長度

4.2 機構工作空間分析

為了更方便應用，機構采用懸吊方式，定平臺固定于橫梁上，并改進機構布置，擴大了移動副的移動范圍及U副的轉角范圍，見圖14。以電動缸作為機構的P副，制作了實驗樣機，見圖15。

圖14 改進的機構簡圖Fig.14 Improved mechanism diagram

圖15 改進后機構實驗樣機Fig.15 Improved experimental prototype

采用動平臺中心點O1在定系中的位置坐標(x,y,z)能達到的范圍來表示其工作空間。設機構的結構參數及輸入參數范圍：定平臺3個U副中心間的距離a=414 mm；移動副的移動范圍為0～300 mm；當移動副處于零值時，機構動定平臺的中心距離為290 mm；U副的轉角范圍是在母線與中心線夾角為60°的圓錐形范圍內（由于初始位形下P副所在連桿軸線垂直于定平臺，故P副軸線的轉角范圍也是與初始位形成60°的圓錐）。機構各分支始終相互平行，不存在分支干涉，只考慮桿長及轉角限制。通過MATLAB編程，繪制機構的工作空間見圖16。

圖16 3-UPU機構工作空間Fig.16 Workspace of 3-UPU parallel mechanism

由圖16可知，3-UPU機構的工作空間外形近似呈對稱六面體形狀。Z方向的范圍與P副的移動范圍相同。在垂直于Z軸的平面上，沿著分支方向的可達范圍最大。在Z為350～450 mm的范圍內工作空間較大，且在垂直于Z軸的平面內沿著各方向的變動較小。由上述分析可知，該機構的工作空間相對較大，且呈對稱分布，具有較好的應用價值。

5 結論

（1）本文提出了一種新型3-UPU并聯機構，由全等的動定平臺和3條對稱布置的UPU分支組成。該機構的動定平臺始終關于1個中間平面對稱，每個分支中的2個U副與動定平臺傾斜布置，分支呈空間對稱結構，且2對轉動軸線始終相交于中間對稱平面上的2個點。

（2）該機構受到共面的3個約束力作用，具有在對稱面內的2個轉動自由度和沿垂直對稱面方向的移動自由度，它是2R1T并聯機構。機構中間對稱平面內任一直線均為機構的連續轉軸，機構沿對稱平面法線方向的移動也是連續運動。

（3）本文推導了該機構的運動學反解公式，并分析了該機構的工作空間。該機構的工作空間較大，運動性能良好，具有很好的應用前景。