激光光束的傅里葉分析實驗模擬：基于SeeLight和MATLAB平臺

劉雋宇

（山東省青島第二中學，山東青島，266100）

0 引言

信號的傅里葉分析的目的是在頻域研究信號的特征，其中傅里葉分析的原理是任何連續測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。傅里葉分析方法不僅應用于電力工程、通信和控制領域中，而且在力學、光學、量子物理和各種線性系統等許多有關數學、物理、和工程技術領域中得到廣泛而普遍的應用。

在激光領域，激光諧振器發出的基模諧振腔的橫截面振幅分布，在通常情況下遵守高斯函數，此類光束稱高斯光束。而由于高斯光束在激光應用中存在諸多限制，因此人們致力于探索性能更優的光束，如艾里光束等無衍射光束。2007年，艾里光束首先由 Christodoulides 研究組實驗實現，實驗現象表明：艾里光束除了具有無衍射和自愈特性外, 還具有自彎曲傳輸的奇異特性[1]。艾里光束的實現以及其奇異的特性因此很快引起了研究人員的廣泛關注，人們紛紛開始研究艾里光束在各種介質下的傳輸特性。

隨著對激光研究的深入，人們不止在時域關注激光的性質，通過頻域上的觀察，可以研究激光的單色性等性質。為了研究激光光束的頻譜特性，采用傅里葉分析的方法可以方便快捷地獲得光束在頻域上的頻率組成，為之后的性質研究打下基礎。

1 理論研究

1.1 高斯光束實驗理論

1.1.1 高斯光束

激光的橫截面振幅分布滿足高斯分布的光束稱為高斯光束，這里假設高斯光束沿著z軸傳輸，束腰中心在坐標原點位置，那么z=0平面上的交叉功率譜為[2]：

其中，ω為角頻率，0S (ω)為源光譜，0w為高斯光束的腰斑半徑。

1.1.2 透鏡的傅里葉變換性質

如圖1所示，入射的光束首先沿直線傳播，在遇到透鏡之前經過一個衍射屏，產生了衍射光場。實驗現象表明：當這個光場中包含很多不同的頻率成分時，凸透鏡的會聚作用使得衍射光場中擁有相同空間頻率的光波成分將會聚集到透鏡的像方焦平面上（如圖1中的光線1和2，光線3和4的空間頻率相同，它們經過透鏡后分別會聚到A、B兩點）。此時，在透鏡的像方焦平面上安放一個觀察屏，屏上顯現的是衍射波場的空間頻率分布，這種變換就是從空域到頻域的變換，即光場的傅立葉變換。按此理論來說，當光場包含的頻率成分較少或者只有一種頻率時，映在觀察屏的空間頻率少量的點或者只有一個點。透鏡像方焦平面上的光波復振幅分布 E (xf, yf)表達式如下（其中 T (u ,v)是t(x,y)的傅里葉變換）[2]

圖1 透鏡的傅里葉變換性質

1.2 艾里光束實驗理論

在量子力學框架下, 薛定諤方程被用來描述粒子和波的運動, 一維形式的薛定諤方程描述為[1]:

而在光學領域, 傍軸近似下光束的線性傳輸行為遵循以下衍射方程[1]:

其中,Ai表示艾里函數,s=x/ x0是歸一化無量綱橫向坐標,ξ=z/k x02為歸一化傳輸距離, x0為選取的橫坐標常量。

由于艾里光束攜帶無窮大的能量而不能收束,因此滿足（5）式形式的艾里光束在現實中是不存在的，此艾里光束稱之為無限能量艾里光束。然而，我們可以通過數學的方法對艾里光束進行“截趾”，在（5）式的入射光場上乘以一個指數衰減項exp(αs)(α>0為指數衰減因子)。以該新的光場為初始解形式,重新求解傍軸衍射方程,可得[1]：

由此表明遵循此式的艾里光束可以實際存在，稱之為有限能量艾里光束。

類似地，我們還可以寫出二維的艾里函數解[1]：

研究表明艾里光束在長距離、復雜的介質中具有優良的傳輸特性[3]，因此作為對比，我們可以分析其頻域上的表現與高斯光束的不同，并分析由此造成的特性上的差異。而由于二維艾里光束是在兩個維度上描述的光強分布，因此我們下一部分采用二維艾里光束進行模擬。

2 模擬仿真

2.1 基于SeeLight平臺的高斯光束的傅里葉分析

實驗條件：根據理論部分的描述，我們知道可以通過透鏡模擬光場的傅里葉變換。根據圖1的原理，基于Seelight光學系統虛擬仿真實驗平臺，放置實驗裝置如下圖2所示。

圖2 基于SeeLight平臺的高斯傅里葉分析模擬圖

運用控制變量法，分別改變波長，束腰半徑，傳輸距離，透鏡焦距的實驗條件，依次得到仿真圖像。

（1）實驗1：當高斯光束的束腰半徑較小時，焦距對結果的影響分析實驗

實驗條件：波長550nm 束腰半徑0.01cm 傳輸距離20cm透鏡焦距從15cm 依次以5cm的間隔遞增。

實驗現象：

圖3 高斯光束經過透鏡后的圖像

實驗結論：通過SeelLight的模擬，得到三個透鏡焦距依次為15cm,20cm,25cm的振幅圖像(如圖3(a),(b),(c)所示。三幅圖都表現出單一頻點的特性，符合單一波長的高斯光束經過傅里葉變換后的幅頻特性，不同之處是從三幅圖中可以看出，隨著焦距的增大，最后得到的圖像上頻點的直徑也隨之增大，這符合透鏡成像的原理。

（2）實驗2：高斯光束的束腰半徑較大時，焦距對結果的影響分析實驗

實驗條件：波長550nm 束腰半徑0.04cm 傳輸距離20cm透鏡焦距從15cm 依次以5cm的間隔遞增。

實驗現象：

實驗結論：增大束腰半徑從0.01cm到0.04cm，得到三幅幅度的圖像(如圖4(a),(b),(c)所示，通過對比可以發現，三幅圖都表現出了除中心光點以外的橫縱軸亮線，符合單一波長高斯光束經過傅里葉變換后的幅頻特性。通過與實驗1的對比，我們可以看出，束腰半徑增大時，通過透鏡變換后越能體現高斯光束頻譜特性的更多細節。

圖4 高斯光束經過透鏡后的圖像

（3）實驗3：波長對結果的影響分析實驗

實驗條件：波長550nm束腰半徑0.04cm傳輸距離20cm透鏡焦距25cm和波長632.5nm束腰半徑0.04cm傳輸距離20cm透鏡焦距25cm。

實驗現象：

圖5 高斯光束經過透鏡后的圖像

實驗結論：從圖5(a),(b)中可以看到，波長變長時的圖像相比550nm，光斑大小沒有變化，幅值稍微變小。根據傅里葉變換公式可以知道，傅里葉變換后的像函數與e^ (-iwt)有關，那么波長變長意味著w變小，-w則增大，e^ (-iwt)的實部和虛部在波動，但是 abs(e^ (-iwt))卻保持恒定的值不變，因此單個波長改變，并不會影響傅里葉變換后的光強分布，只是幅值大小會稍微受影響。

2.2 基于MATLAB平臺的艾里光束的傅里葉分析

通過MATLAB編程模擬艾里光束[4～5]，并使用自帶的二維離散傅里葉變換函數fft2()對模擬的艾里光束進行傅里葉變換，在此基礎上，通過改變衰減系數，觀察不同實驗條件下的實驗現象。

（1）實驗1：衰減系數較小時的分析實驗

實驗條件：衰減系數0.01，傳播3000米。

實驗現象：

圖6 艾里光束圖像

實驗結論：從圖6(a),(b),(c)可以看出，艾里光束在傳播一段距離后，其光束整體發生了偏移，這驗證了艾里光束的自加速特性。從圖6(c)艾里光束經過傅里葉變換后的圖像可以看到，艾里光束的頻譜圖與高斯光束的有相似之處，如有相似的十字亮線以及中間亮斑，不同的是由于艾里光束除了主瓣以外，有多個旁瓣，這些旁瓣的存在在頻譜圖上的表現是產生了中心亮點以外的小亮點。

（2）實驗2：衰減系數偏小時的分析實驗

實驗條件：衰減系數0.1，傳播3000米。

實驗現象：

圖7 艾里光束圖像

實驗結論：當衰減系數增大時，艾里光束傳輸時的衰減增大，可以看到傳輸3000米以后圖7(b)的光強圖像艾里光束光強減弱，并且出現旁瓣間隔不清的現象。這直接導致其頻譜圖中心以外的亮點分布的區域范圍變小，表明艾里光束頻譜圖頻點在減少。

（3）實驗3：衰減系數較大時的分析實驗

實驗條件：衰減系數1，傳播3000米。

實驗現象：

圖8 艾里光束圖像

實驗結論：當衰減系數增大到1時，傳輸3000米后發現其光強圖像變為圖8(b)的形式，即變為類高斯光束，對其進行傅里葉變換，得出圖8(c)只有一個亮點的圖像，表面圖8(b)的頻譜圖只有一個頻點。

通過以上三個實驗對比，可以發現，隨著艾里光束衰減系數的增大，傳輸同等距離時，衰減系數小的艾里光束在傳輸過程中衰減小，旁瓣清晰，隨著衰減系數的增大，艾里光束的衰減也在增大，當其為1時，可見旁瓣已經全部衰減，只留下主瓣光束，艾里光束變為類高斯光束。

3 結語

本文對高斯光束和艾里光束進行了理論分析和實驗模擬。在高斯光束部分的實驗中，驗證了符合單一波長高斯光束經過傅里葉變換后的歸一化后的幅頻特性以及高斯波束傅里葉變換時不受波長影響的特性，發現隨著焦距的增大，最后得到的圖像上頻點的直徑也隨之增大，且其他條件不變，增大束腰半徑，可得到更多的頻譜細節。在艾里光束部分的實驗中，驗證了艾里光束的自加速特性，發現艾里光束的頻譜圖與高斯光束的有相似之處，如有相似的十字亮線以及中間亮斑，不同的是由于艾里光束除了主瓣以外，有多個旁瓣，這些旁瓣的存在在頻譜圖上的表現是產生了中心亮點以外的小亮點；隨著艾里光束的衰減系數增大，其頻譜圖頻點在減少，當衰減系數增大至1時，其頻譜圖只有一個頻點。