基于壓縮感知的相關干涉儀測向算法

茍曉鳴 孫中森 唐懷玉 單中堯 李永慶

(中國電波傳播研究所,青島 266107)

引 言

自20世紀80年代以來,相關干涉儀測向技術被廣泛應用于無線電監(jiān)測系統(tǒng)中,相比傳統(tǒng)的相位干涉儀,有助于消除設備有關的誤差和場地的影響[1-3],其基本原理如下:相關干涉儀測量天線陣列中的參考天線單元與其他天線單元收到的信號之間的相位差異,構成復值矢量,稱為校準矢量. 在測向系統(tǒng)校準過程中會記錄不同入射角度和頻率信號對應的校準矢量形成數(shù)據(jù)庫. 在進行測向時通過尋找測量矢量與校準矢量數(shù)據(jù)庫之間的最佳匹配以確定入射角度. 匹配過程通常利用計算矢量相關系數(shù)來實現(xiàn),相關系數(shù)最大處即為入射角度. 當校準矢量所選取的角度和/或頻率步進較大時,還需進行插值運算以提高估計精度.

相關干涉儀測向信號處理的數(shù)學問題是利用測量矢量恢復出含有各個入射角度匹配程度的矢量(稱為匹配度矢量),具有如下兩個特征:1)欠定性(underdetermined):測量矢量長度遠小于匹配度矢量. 2)稀疏性(sparse):在理論上,匹配度矢量只有數(shù)個非零元素,對應真實的入射角度. 壓縮感知(compressive sensing, CS)是解決欠定稀疏問題的數(shù)學工具之一,近年來被廣泛應用于各類信號和圖像處理問題[4-6]. 本文基于CS原理提出一種相關干涉儀測向信號處理算法,第1節(jié)將用矩陣代數(shù)的形式介紹相關干涉儀信號處理的數(shù)學模型,第2節(jié)將介紹經(jīng)典相關干涉儀信號處理算法,第3節(jié)將介紹本文提出的算法,第4節(jié)則給出計算機仿真實例來驗證算法的性能.

1 數(shù)學模型

以雙通道相關干涉儀為例建立信號處理數(shù)學模型.假設測向天線是由N個天線單元構成的圓陣,其中N號天線單元作為參考陣元,1～N-1號天線單元作為選通陣元.在某一頻點上,天線接收到了M個同頻信號sm(t)(m=1,2,…,M),令第n(n=1,2,…,N-1)號天線單元的復值輸出為xn(t),則有

(1)

式中:vn(t)為第n個天線單元的噪聲;φn,m為第n個天線單元接收的第m個信號與參考陣元之間的相位差;j表示虛部單位. 本文假設在該頻點上不存在多徑傳播的信號,即M個同頻信號之間相互獨立;各個天線單元的噪聲為空間白噪聲(spatially white noise),即各個噪聲之間相互獨立;噪聲來源為元器件噪聲、背景噪聲等等,與信號之間相互獨立. 選通陣元與參考陣元輸出的復相關為

(2)

y=[y1,…,yN-1]T

(3)

假設在該頻點上建立的測向數(shù)據(jù)庫矩陣為A,即

A=[a1,…,aQ]

(4)

式中:Q為測向數(shù)據(jù)庫角度個數(shù);a1,a2,…,aQ為各個角度上的校準矢量;ω為校準相位差. 當不存在誤差且建庫角度足夠密集時,矩陣B應為矩陣A的一個子集,于是相關干涉儀測向信號處理可以用下面的線性方程來表示:

y=Ax.

(5)

y=Ax+r.

(6)

式中,r表示殘差矢量,服從零均值分布.

2 經(jīng)典相關干涉儀信號處理算法

為了計算測量矢量與數(shù)據(jù)庫之間的匹配度,經(jīng)典方法利用下式計算相關度作為x的估計:

c=AHy=AHAx+AHr.

(7)

式(7)是測量矢量y的空域離散傅里葉變換的結果,(·)H表示共軛轉置.

通過計算矢量c的每個元素的幅度或者幅度的平方,得到譜線,然后視情況進行插值操作,譜最大值對應的角度即為信號入射角度.

因為天線單元個數(shù)通常遠遠小于測向數(shù)據(jù)庫角度個數(shù)(具體分析詳見第3章),即

rank{A}≤min{N-1,L}=N-1?Q,

(8)

所以,

rank{AHA}≤rank{A}?Q,

(9)

故,

E{c}=AHAx+E{AHr}=AHAx‖/x.

(10)

式中,‖/表示不平行. 因此c既不是x的無偏估計,也不是無偏估計的共線向量.

當某一頻點上只有一個信號時,矢量x僅有一個非零元素,不妨令其來自于第q1個校準方向,則有

(11)

于是,

(12)

(13)

這表明,當只有一個信號入射時,矢量c可以正確指示入射方向.

當存在多個信號時,不妨令其來自于第qm個校準方向,其中m=1,2,…,M,則有

(14)

由式(14)可知,第qm個校準方向的譜值為

(15)

式中,c=[c1,…,cQ]T. 由式(15)可知,不能保證E{cqm}為局部極值,即存在多個信號時,矢量c不能正確指示信號方向.

3 基于CS的相關干涉儀信號處理算法

對于典型的相關干涉儀系統(tǒng)來說,天線陣列通常含有5個或者9個天線單元,而校準入射角度的個數(shù)則有上百個,例如,當步進分別為1°和2°時,分別有360和180個. 這意味著,對于多達360或者180個未知數(shù),分別只有4個或者8個方程. 這說明式(6)是一個欠定問題. 同時,這些未知數(shù)中大部分都是零. 由于具有相同頻率、相同時隙的信號只有少數(shù)幾個,矢量x應該只有少數(shù)幾個非零元素(對應信號的入射角度). 這說明式(6)是一個稀疏問題.

鑒于式(6)是一個欠定、稀疏問題,本文提出利用CS數(shù)學工具對式(6)進行求解. CS的經(jīng)典形式是基于矢量x的l0范數(shù)(即非零元素個數(shù))約束設計的,該范數(shù)是理論上最好的稀疏性約束,其對應的數(shù)學問題如下[4]:

(16)

式中,‖·‖0表示l0范數(shù);‖·‖F(xiàn)表示Frobenius范數(shù);β表示殘差容限;C表示復數(shù)域. 然而,式(16)是NP-hard問題,不易求解. 通常采用凸松弛(convex relaxation)技術,將l0范數(shù)替換為l1范數(shù)(即所有元素的幅度之和)進行求解,其對應的數(shù)學問題如下[4]:

(17)

式中,‖·‖1表示l1范數(shù). 由于l1范數(shù)中幅度較大的元素影響偏大,所以可以采用再加權(reweighted)技術來逼近理想的l0范數(shù). 首先將式(17)轉化為實數(shù)域問題:

(18)

式中:

(19)

(20)

(21)

Re(·)表示實部;Im(·)表示虛部;R表示實數(shù)域.

(22)

式中,w∈R2Q×1為加權矢量. 設計加權矢量迭代過程如下[7-8]:

1) 初始化

利用式(7)設置加權矢量初始值,即

(23)

式中:ε為小的正常數(shù),以避免分母為零或者過于接近零;sgn(·)為符號函數(shù),即

(24)

2) 迭代更新

(25)

式中:(·)(i)為第i次迭代的結果;

(26)

式(25)中的優(yōu)化問題可以利用壓縮感知計算軟件求解,例如CVX[9].

3) 迭代停止

達到最大迭代次數(shù),或者兩次迭代之間的代價函數(shù)差距小于預設的門限,則迭代停止.

在迭代完成之后,通過計算矢量x的每個元素的幅度或者幅度的平方,得到譜線,然后視情況進行插值操作,譜極大值對應的角度即為信號入射角度.

本文以雙通道相關干涉儀為例,提出了基于壓縮感知的相關干涉儀信號處理算法. 因為從信號處理的角度來看,多通道和雙通道相關干涉儀只在獲取復值相關矢量y的流程上有區(qū)別,而本文方法的輸入即為復值相關矢量y,所以本文方法對于多通道相關干涉儀也是適用的,不再贅述.

本文方法能夠同時估計的同頻信號個數(shù)受到了天線陣列中天線單元個數(shù)N的限制. 由于復相關矢量y的長度為N-1,所以按照子空間原理,本文方法能夠同時估計的同頻信號個數(shù)最多為N-2個.

4 計算機仿真

假設相關干涉儀天線陣列由5個天線單元組成;接收通道有兩個,其一連接5號天線單元,其二通過開關矩陣連接1～4號天線單元,天線半徑為750 mm,測向數(shù)據(jù)庫角度個數(shù)為360,角度步進為1°,譜線未進行插值操作.

圖1分別以700 MHz頻點和1 400 MHz頻點為例,給出了當存在一個入射方向為60°、信噪比為20 dB的信號時,經(jīng)典方法(虛線)和本文方法(實線)的測向譜線. 從圖中可以看出,當只有一個入射信號時,經(jīng)典方法和本文方法均可以正確指示信號方向.

圖2分別以700 MHz頻點和1 400 MHz頻點為例,給出了當存在三個入射方向分別為60°、180°和300°,信噪比均為20 dB的信號時,經(jīng)典方法(虛線)和本文方法(實線)的測向譜線. 從圖中可以看出,當只有多個入射信號時,本文方法可以正確指示出三個同頻信號的入射方向,符合第3節(jié)中關于最大同頻信號個數(shù)的分析,即N-2=3個同頻信號,而經(jīng)典方法失效了.

(a) 700 MHz頻點(a) 700 MHz

(b) 1 400 MHz頻點(b) 1 400 MHz圖1 存在一個同頻信號時,經(jīng)典方法和本文方法譜圖對比Fig.1 Spectra of conventional and proposed methods in the presence of one signal which has exclusive use of the frequency

(a) 700 MHz頻點(a) 700 MHz

(b) 1 400 MHz頻點(b) 1 400 MHz圖2 存在三個同頻信號時,經(jīng)典方法和本文方法譜圖對比Fig.2 Spectra of conventional and proposed methods in the presence of three signals which share the same frequency

由以上仿真實驗可以看出,本文方法兼具異頻信號測向和同頻信號測向的能力.

接下來考察測向算法的精度,仿真中假設數(shù)據(jù)接收通道在被校準后仍存在不超過±5°的隨機誤差. 表1給出了3 000次獨立重復實驗統(tǒng)計出的測向誤差,其中,當存在多個同頻信號時,測向誤差給出了多個測向誤差的均值.

表1 測向誤差統(tǒng)計表Tab.1 Direction-finding accuracy

由表1可以看出,當頻點上只存在一個信號時,本文方法與經(jīng)典方法的測向精度類似;當頻點上存在多個信號時,經(jīng)典方法已經(jīng)失效,而本文方法仍可正確測向,只不過測向精度有所下降.

5 結 論

本文利用CS數(shù)學工具進行相關干涉儀測向的信號處理,提出了一種高精度測向算法,解決了經(jīng)典方法不能對多個同頻信號進行測向的問題. 需要指出的是,本文方法涉及的數(shù)學運算邏輯復雜、運算量較大,下一步需要從算法工程化的角度做進一步的研究.