基于廣義復合多尺度排列熵與PCA的滾動軸承故障診斷方法

鄭近德， 劉 濤， 孟 瑞， 劉慶運

(安徽工業大學 機械工程學院，安徽 馬鞍山 243032)

由于機械系統的復雜性，設備在運轉的過程中不可避免地會出現摩擦、振動、負載和沖擊等，振動信號往往表現為一定的非線性和非平穩性。許多非線性分析的方法，如分形，近似熵，樣本熵，排列熵和多尺度排列熵等因能夠提取隱藏在振動信號中線性分析方法無法提取的非線性故障特征而在故障診斷中得到了越來越多的應用[1]。如石博強等[2]研究了旋轉機械故障信號的的分形特征；胥永剛等[3-4]將近似熵應用于機械故障診斷，將其與分形維數進行了對比；Yan等[5]將排列熵應用于機械系統的振動信號的特征提取和狀態監測，結果表明排列熵能夠有效地檢測滾動軸承振動信號的動態變化和表征不同狀態下的工況特征；鄭近德等[6-7]提出一種自適應多尺度排列熵的滾動軸承故障診斷方法，并將多尺度排列熵(Multiscale Permutation Entropy, MPE)應用于滾動軸承故障特征提取與診斷等。

然而，研究發現，MPE還存在如下缺陷：①基于粗粒化方式定義的多尺度計算方法依賴于時間序列的長度。由于每個粗粒化序列的長度等于原信號長度除以尺度因子，因此，熵值的偏差會隨著粗粒化序列長度減小而增大[8]；②粗粒化過程將一個時間序列分割為等長的非重疊的片段再計算每一個片段內所有數據點的均值。只采用了數據的均值這單一特征得到原始信號不同尺度的序列，不可避免地會造成許多潛在有用信息的丟失[9]。對此，本文采用復合多尺度的方法以克服傳統粗粒化方式的不足，同時將粗粒化過程中一階矩(均值)推廣到二階矩(方差)，實現時間序列的粗粒化，由此得到了廣義復合多尺度排列熵(Generalized Composite Multiscale Permutation Entropy，GCMPE)。

正常滾動軸承振動是隨機振動，當滾動軸承發生故障時，振動信號的隨機性和動力學行為發生改變。由于背景噪聲及機械系統的復雜性，振動信號中與故障有關的特征信息往往分布在不同的時間尺度，振動信號的隨機性和動力學行為改變也發生在不同尺度。因此，對振動信號進行GCMPE分析能夠有效的提取滾動軸承故障特征。在提取滾動軸承的振動信號的GCMPE后，采用主元分析(Principal Component Analysis，PCA)降低特征值維數[10]。為了實現故障診斷智能化，將適合小樣本分類的支持向量機(Support Vector Machine，SVM)用于故障模式的自動識別[11-12]，提出了一種基于GCMPE，PCA與SVM的滾動軸承故障診斷方法。將提出的方法應用于實驗數據分析，結果表明了論文方法的有效性和優越性。

1 多尺度排列熵算法

1.1 排列熵算法

考慮時間序列{x(i),i=1, 2, …,N}，對其進行相空間重構，得到：X(1),X(2), …,X(N-(m-1)λ)；這里X(i)={x(i),x(i+λ), …，x(i+(m-1)λ)}，i=1,2,…，N-(m-1)λ,m是嵌入維數，λ是時間延遲。

將X(i)中的m個元素按照升序重新排列：

X(i)={x(i+(j1-1)λ)≤x(i+(j2-1)λ)≤…≤x(i+(jm-1)λ)};

若有：x(i+(ji1-1)λ)=x(i+(ji2-1)λ)，則按j值的大小進行排序，即當jk1

(1)

注意到當Pg=1/m!時，Hp(m)達到最大值ln(m!)，通過ln(m!)將Hp(m)歸一化

Hp=Hp(m)/ln(m!)

(2)

Hp的取值范圍是0≤Hp≤1。Hp值的大小表示時間序列的復雜和隨機程度。Hp越大，說明時間序列越隨機，反之，則說明時間序列越規則。

1.2 多尺度排列熵

PE只能分析時間序列單一尺度的隨機性和動力學突變行為，為了分析時間序列在不同尺度下的隨機性和動力學突變行為，有學者提出了多尺度排列熵(MPE)，計算步驟如下[13]。

(3)

式中:τ為尺度因子。τ=1時粗粒化序列即為原時間序列；τ>1時原始序列被分割成長度為[N/τ]([·]表示取整)的粗粒化序列。

(2) 計算每個粗粒化序列的PE，即

MPE(X,τ,m,λ)=PE(y(τ),m,λ)

(4)

2 廣義復合多尺度排列熵

GCMPE的計算步驟如下：

(5)

(3) 再將τ個PE值的均值視為原時間序列在尺度因子τ的PE值，即

(6)

式(6)得到的PE值畫成尺度因子的函數，稱為復合多尺度排列熵分析(GCMPE)。MPE算法中粗粒化序列都只考慮了一種粗粒化方式，不可避免地會遺漏很多重要信息。GCMPE不僅綜合了同一尺度下多個粗粒化序列的信息，且將一階矩推廣到二階矩(方差)，理論上GCMPE要優于MPE方法。GCMPE與MPE類似，都是衡量時間序列隨機性和檢測動力學突變行為的方法，與單一尺度的PE不同，GCMPE和MPE從多個尺度對時間序列進行分析。如果一個時間序列的GCMPE(或MPE)在大部分尺度上比另一個時間序列PE值大，這說明前者比后者的隨機性更強，發生動力學突變行為的概率更高。

最后，GCMPE的取值與嵌入維數m，時間延遲λ和尺度因子τ的選擇有關。m太小重構的向量中包含太少的狀態，算法失去意義和有效性，不能準確檢測時間序列的動力學突變；但是m過大相空間的重構將會均勻化時間序列，此時不僅計算耗時，而且也無法反映序列的細微變化，因此，嵌入維數m一般取值4～7[14]。時間延遲λ對PE計算的影響較小，一般λ=1。尺度因子τ的最大值τm的選取沒有一定的標準，一般選擇τm≥10。GCMPE的計算流程，如圖1所示。

3 參數選擇與對比分析

為了研究參數對GCMPE分析結果的影響，不失一般性，考慮隨機信號白噪聲和1/f噪聲。與白噪聲相比，1/f噪聲功率譜更為復雜，包含了更多模式信息。因此，在大部分尺度上1/f噪聲的PE應比白噪聲大。為了對比，將MPE中粗粒化方式采用廣義粗粒化而未采用復合平均的方式得到的MPE方法，稱為廣義多尺度排列熵(Generalized Multiscale Permutation Entropy，GMPE)。即在GCMPE的計算步驟(2)中，對于尺度因子τ，只計算廣義粗粒化序列中k=1的粗粒化序列的PE值，并將其作為時間序列在該尺度因子下的PE值。

為了研究嵌入維數m對計算結果的影響，以數據點數為4 096的白噪聲和1/f噪聲為例，二者的波形及頻譜如圖2所示。依據文獻[14]，在m=4, 5, 6, 7的條件下，分別采用MPE，GMPE和GCMPE對兩種噪聲進行分析，結果分別如圖3和圖4所示，其中時間延遲λ=1，最大尺度因子τm=25。

圖1 GCMPE的計算流程圖Fig.1 The flowchart of GCMPE

由圖3和圖4可以得出，首先，在相同的嵌入維數的情況下，白噪聲和1/f噪聲的MPE，GMPE和GCMPE值比較接近；但隨著尺度因子的增大，MPE和GMPE的PE值波動和偏差增大，而GCMPE則變化趨勢比較平緩，波動較小，對比結果體現了GCMPE的優越性。其次，嵌入維數m較小時(4和5)，PE值的變化不明顯，無法體現進行多尺度分析的優勢。而m較大時，重構過程將會均勻化時間序列，無法反映序列的細微變化，m越大越無法區別結構相近的時間序列。且由圖5白噪聲和1/f噪聲的GCMPE對比，可以看出，m=7時GCMPE無法區分白噪聲和1/f噪聲。因此，一般取m=6。

圖2 白噪聲與1/f噪聲波形及頻譜Fig.2 Waveforms and spectrum of white noise and 1/f noise

圖3 不同嵌入維數下1/f噪聲的MPE，GMPE和GMPE對比Fig.3 MPE, GMPE and GCMPE of 1/f noise under different embedding dimensions

圖4 白噪聲在不同嵌入維數下的MPE，GMPE和GMPE對比Fig.4 MPE, GMPE and GCMPE of white noise under different embedding dimensions

為了研究數據長度對GCMPE分析結果的影響，分別計算長度N為1 024，2 048， 3 072，4 096，5 120，6 144，7 168和8 192的白噪聲信號，結果如圖5所示，其中m=6，λ=1。由圖6可以發現，當尺度因子小于等于10時，長度大于等于3 072的白噪聲的PE值的相對誤差在10%以下，最短粗粒化序列的長度約為300。當尺度因子等于20時，長度大于等于4 096的白噪聲的PE值的相對誤差在10%以下，此時粗粒化序列的長度約為200。為了減少誤差，時間序列的長度應滿足N≥200τm。最后，一般λ對GCMPE的影響很小。綜上，選擇嵌入維數m=6，λ=1，時間序列長度N≥200τm。

圖5 不同嵌入維數計算的白噪聲和1/f噪聲GCMPE對比Fig.5 GCMPEs of white and 1/f noises estimated under different embedding dimensions

圖6 白噪聲在不同數據長度下的GCMPE對比Fig.6 GCMPE of white noise under different lengths

4 基于GCMPE，PCA與SVM的滾動軸承故障診斷方法

4.1 故障診斷方法

論文將GCMPE應用于滾動軸承故障振動信號故障特征的提取，提出了一種基于GCMPE，PCA與SVM的滾動軸承故障診斷方法，步驟如下：

(1) 假設滾動軸承包含K類狀態，每一類樣本數目分別為M1，M2, …,MK；計算每一類每一個樣本振動信號的GCMPE，得到K個故障特征集。

(2) 采用PCA對K個故障特征集進行降維處理，前q(q<τm)個主元作為原始特征集的敏感故障特征。

(3) 將K個故障特征集的每一個故障特征子集分為2Mk/3個訓練樣本和Mk/3測試樣本，k=1, 2, …,K。

(4) 將訓練樣本輸入到基于SVM的K類故障分類器，對其進行訓練。其中基于SVM的K類故障分類器采用偏二叉樹建立。

(5) 采用測試樣本對多故障分類器進行測試，依據分類器輸出結果判斷滾動軸承的狀態。

4.2 試驗數據驗證

試驗數據采用美國Case Western Reserve University的滾動軸承試驗數據。測試軸承為6205-2RS深溝球軸承，采用電火花技術在軸承上布置單點故障，故障直徑為0.533 4 mm，深度為0.279 4 mm，主軸轉速為1 730 r/min，采樣頻率為12 kHz，采集到滾動體故障(Ball element，BE)、正常(Norm)、外圈故障(Outer Race，OR)和內圈故障(Inner Race fault，IR)四種狀態軸承的振動加速度信號，每種狀態取29組數據樣本，每個樣本點數為4 096，四種振動信號的波形，如圖7所示。

上述四種滾動軸承故障類型的數據，每種狀態取29個樣本，共116個樣本。計算每一個樣本的GCMPE，每種狀態所有29個數據樣本的均值和標準差如圖8所示。由圖中可以看出，每一類樣本的標準差非常小，即單個樣本的GCMPE偏離均值較小，這說明GCMPE的計算較穩定。在尺度因子等于1時，正常滾動軸承的PE值較小，小于其它三類故障軸承振動信號的PE值；由此可見，PE適合滾動軸承的故障檢測。此種情況下，若要區分正常與故障軸承，取PE閾值0.75即能夠有效的檢測軸承是否發生故障。但是仔細觀察發現，單一尺度PE雖然能夠檢測有無故障，若要進一步識別故障位置則需要更多的信息。從圖8中也易發現，四種狀態軸承振動信號在不同的尺度因子下的PE值明顯不同。當考慮單一尺度的PE時，四者的大小關系是：PEIR>PEOR>PEB>PENorm；但考慮多尺度時，這種關系不再成立。例如當4≤τ≤16時，PEB>PENorm>PEOR>PEIR；這說明單一尺度的PE值并不能完整地反映故障的全部信息，其它多個尺度也包含重要故障特征信息。當17≤τ≤25時，四種狀態振動信號的GCMPE非常接近，區別不大，與實際相符。綜上，GCMPE能夠有效地反映滾動軸承振動信號的故障特征。

圖7 滾動軸承振動信號時域波形Fig.7 Waveforms of vibration signal of rolling bearing

圖8 滾動軸承四種狀態振動信號的GCMPEFig.8 GCMPEs of vibration signals of rolling bearing under four different states

采用PCA對得到的GCMPE特征值進行特征降維，輸出結果如圖9所示，其中PCA降維子空間維數為5。由圖中可以看出，不同狀態的各類數據都能夠區分得較為明顯，正常樣本和各類故障樣本區分比較明顯，而且每一類的各個樣本的特征相對比較集中。最后，從每一類狀態樣本集中隨機選擇19個樣本，每一類剩余的10個樣本作為測試樣本。將每一類樣本降維后的前兩個主元特征作為敏感故障特征輸入到基于SVM的多故障分類器進行訓練，SVM程序參見文獻[15]，參數采用默認設置。將測試樣本輸入到已訓練好的分類器進行測試，40個測試樣本都得到了正確分類，故障識別率為100%，這說明了論文方法的有效性。

為了對比，計算所有樣本MPE，再采用PCA進行降維處理，對得到的故障特征輸入到基于SVM的多故障分類器。經過同樣的訓練過程，測試樣本的輸入結果也為100%。這說明MPE也能夠有效的提取滾動軸承的故障特征信息。但在分類之前，將PCA降維處理的結果輸出，如圖10所示。由圖中可以看出，雖然基于MPE的PCA能夠有效的區分四種狀態，但將其與圖9對比可以發現，基于MPE的PCA輸出結果每一類各個樣本的特征比較分散，聚類效果明顯不如基于GCMPE方法。因此，GCMPE和MPE雖然都能有效地提取機械故障的特征信息，實現滾動軸承故障診斷，但與MPE相比，基于GCMPE的PCA降維處理后的主元分布更集中，聚類效果更好。上述對比分析結果表明，GCMPE不僅能夠有效地提取滾動軸承故障特征，而且故障診斷效果優于MPE方法。

圖9 基于GCMPE的PCA聚類結果Fig.9 Outputs of features based on GCMPE and PCA

圖10 基于MPE的PCA聚類結果Fig.10 Output of samples based on MPE and PCA

5 結 論

(1) 在排列熵的基礎上，發展了廣義復合多尺度排列熵(GCMPE)，研究了GCMPE參數選擇及影響，給出了GCMPE參數選擇標準。通過分析噪聲信號，將GCMPE與MPE進行了對比，結果表明GCMPE得到穩定值的一致性更好。

(2) 將GCMPE應用于滾動軸承試驗數據分析，結果表明，GCMPE能夠有效地區分滾動軸承故障類型，且區分效果要優于MPE。

(3) 提出了一種基于GCMPE，主元分析和支持向量機的滾動軸承故障診斷方法，試驗數據分析結果驗證了方法的有效性和優越性。