基于確定學習理論和Lempel-Ziv復雜度的非線性系統動態特征提取

王乾 王聰

非線性系統特征提取是智能系統、模式識別、故障診斷和生物醫學工程等領域的基礎和關鍵問題.在實際對象中,系統產生的信號本質上都是非線性非平穩的,如何從這些非線性非平穩信號中得到有效的特征描述是研究者關心的主要研究方向之一[1?2].早期的信號處理方法如時域分析(均值、方差等)、頻域分析(傅里葉分析),雖然簡單方便,但是只對平穩和線性的信號有作用[3?4].隨著技術的發展,一些適用于非線性非平穩信號的時頻分析方法被提出[5?7],例如短時傅里葉變換、Wigner-Ville分布、小波變換、Hilbert-Huang變換、局部均值分解等.一些研究者同時提出了能用于刻畫系統非線性程度的動力學不變量特征指標[8?10],例如Lyapunov指數、熵及LZ復雜度等.

盡管上述非線性系統特征提取方法取得了一定進展,但它們是基于系統的狀態軌跡[11]對系統進行特征提取和分析,提取的特征容易丟失系統內在的動態信息,導致很難識別出系統潛在的、早期的微弱信號特征,不能對系統產生的非線性非平穩信號進行充分的特征表達[12?14].因此,如何從原始系統信號中得到既包含系統狀態信息又包含系統動態信息的數據,并對這些數據進行特征表達是一個新的研究重點和難點.對此,確定學習理論提供了一個有前途的方向.

確定學習理論可用于對非平穩環境下的時變或動力學模式進行準確建模和快速識別[15?16].確定學習運用自適應控制和非線性動力學系統的概念與方法,研究未知動態環境下的知識獲取、表達、存儲和再利用等問題.針對產生周期或回歸軌跡的非線性動力學系統,通過選擇局部徑向基函數(Radial basis function,RBF)神經網絡作為參數化的模型結構,確定學習理論可以對其未知的系統動態進行局部準確建模/辨識,將系統狀態軌跡帶入動力學建模結果中,可得到系統的動力學軌跡,以時不變且空間分布的方式進行表達,并以常值存儲在RBF神經網絡中.這種表達方式包含了系統狀態軌跡和系統內在動力學的全部信息[17?20].

本文從動力學軌跡這一新角度對非線性系統進行特征提取和分析.1)上述非線性系統特征提取方法中,由于LZ復雜度是一種非概率的復雜性測量方法且較容易實施[21?24],本文使用LZ復雜度對上述系統動力學軌跡進行特征表達.LZ復雜度反映了一個數據序列隨著序列長度的增加出現新模式的速率,可定量分析復雜數據序列的有序性.通常,復雜度值越大代表越復雜、無序、不規則的動態系統,復雜度值越小代表動態系統越規則、有序.在LZ復雜度算法的基礎上,本文提出時空LZ復雜度.時空LZ復雜度包含時間LZ復雜度(Temporal-LZ complexity,TLZC)和空間LZ復雜度(Saptio-LZ complexity,SLZC)兩個指標,指標值的大小和數據序列的復雜程度成正比例關系[25].因此,時空LZ復雜度可以在時域和空間域上對系統動力學軌跡的復雜程度進行分析.2)將系統的動力學軌跡用時空LZ復雜度特征指標定量表達后,可對其敏感性進行分析.敏感性分析能反映出非線性動力學系統的狀態或行為相對于系統參數變化的敏感程度.Savageau提出參數敏感度可作為評價和比較生化系統性能的標準[26].Wu等闡述了局部敏感度[27]、全局敏感度[28]和目標敏感度[29]的概念,并給出了具體的計算過程,其中目標敏感度表示系統的某一性能指標對于系統參數變化的敏感程度[30].由于可將時空LZ復雜度特征指標作為系統不同參數/狀態的目標函數,本文選擇目標敏感度對動態特征提取方法進行敏感性分析,定量評價該方法相對系統狀態變化的敏感程度.3)結合經典的非線性動力學系統(Rossler系統)進行數值仿真,結果表明,相比于狀態軌跡,從動力學軌跡中提取的特征可以更加敏感地反映出非線性動力學系統的周期、倍周期及混沌狀態.4)使用時空LZ復雜度對低速軸流壓氣機旋轉失速過程進行動態特征表達,動力學軌跡的TLZC和SLZC指標能更加明顯地顯示出系統從失速前進入旋轉失速初始擾動的過程.本文提出的動態特征提取方法的優點是從系統內在動態的角度對原系統進行更好的表達.

本文安排如下:第1節為預備知識,簡要介紹確定學習理論和Lempel-Ziv復雜度算法;第2節闡述了動態特征提取的過程;第3節對動態特征提取方法進行敏感度分析;第4節和第5節分別通過數值仿真和實驗分析驗證本文所提方法的有效性;第6節對本文工作進行總結.

1 預備知識

1.1 確定學習理論

確定學習理論運用自適應控制和非線性動力學系統的概念與方法,對產生周期或回歸軌跡的非線性動力學系統,其未知系統動態可被局部準確建模/辨識和快速識別[15?16].其基本要素包括:1)使用 RBF神經網絡;2)周期或回歸的系統軌跡可滿足部分持續激勵條件;3)在系統軌跡的鄰域內實現對非線性系統動態的局部準確神經網絡建模/辨識;4)所學的知識以時不變且空間分布的方式進行表達,以常值神經網絡權值的方式進行存儲.

考慮如下的非線性動態系統

其中,x=[x1,···,xN]T∈RN是可測量的系統狀態,p是系統的常值參數向量(通常不同的p可以產生不同的系統動態行為),F(x;p)=[f1(x;p),···,fN(x;p)]T表示光滑未知的系統動態,fi(x;p)是未知的連續非線性函數.始于初值x0的系統軌跡記為φζ(x0),假設系統(1)狀態x保持一致有界,如x(t)∈?∈RN,其中?是一個緊集,且系統軌跡φζ(x0)是回歸軌跡[21].

確定學習理論采用如下動態RBF神經網絡對非線性系統(1)的未知系統動態F(x;p)進行辨識:

文獻[16]指出,對于非線性動力學系統(1)產生的周期軌跡或更一般的回歸軌跡,結合辨識模型(2)和權值更新律(3),RBF神經網絡中沿著回歸軌跡的神經元函數構成的子向量可以滿足部分PE條件,即靠近軌跡φζ(x0)的神經網絡回歸向量Sζ滿足PE條件.這個部分PE條件可以使得辨識誤差系統滿足指數穩定,進而在沿周期或回歸軌跡的局部區域實現對非線性系統動態的準確神經網絡逼近.

基于確定學習機制[16],通過式(4)對非線性系統的未知動態進行局部準確辨識后,可將隨時間變化的動態模式以時不變且空間分布的方式有效地表達.這種表達方式是一種包含全部狀態和動態信息的全息表達方法[26?27].

1.2 Lempel-Ziv復雜度算法

復雜度算法最初由Kolmogorov提出[31],但是并沒有給出具體的計算過程.隨后 Lempel和 Ziv在數學上給出了嚴謹的證明和可行的計算過程,使得復雜度算法得以在實際中應用,在以后的文獻中把這種復雜度算法統一稱為 Lempel-Ziv復雜度(LZ復雜度)[27].LZ復雜度反映了一個數據序列隨著序列長度的增加出現新模式的速率,其值越大代表數據序列越復雜.在計算LZ復雜度之前,任何一個數據序列y(i)(i=1,···,n,n=length(y(i)))需要轉換成0-1二值符號序列u(i)(i=1,···,n).

其中,yave表示數據序列y(i)的平均值.

在復雜度計算過程中,從左到右對符號序列u(i)進行掃描,每次有新子串出現時,其復雜度值c(n)增加1,計算過程參見文獻[32?33].

為了使得到的復雜度值適用于不同數據長度,c(n)需要進行歸一化處理.如果序列的長度為n,在0-1符號集中不同符號的個數為2,已有文獻表明復雜度c(n)的上界為[10,34]

那么,復雜度c(n)可以通過b(n)進行歸一化

通常,將歸一化的復雜度C記為LZ復雜度的值.

注1.文獻[21]證明了當n足夠大時,歸一化式(7)成立.然而,文獻[35?36]表明,如果數據序列比較小時,歸一化的復雜度值C可能大于1.為了削弱數據序列長度的限制,文獻[25]和文獻[34]分別給出了一個經驗值n≥3600及n≥6000時,歸一化的復雜度值C可在[0,1]區間內.如文獻[37?38]所述,本文選取數據序列的長度為n=104,詳見附錄A.

如文獻[21]所述的Lempel-Ziv復雜度算法中粗?；^程,數據序列y(i)經過二值粗?；^程被轉換為0-1符號序列(Binary coarse-graining LZC,BLZC).然而,文獻[39]表明BLZC可能丟失非線性系統一些有用的信息.為了解決這個問題,多種多值粗?；?Multi-valued coarse-graining LZC,MLZC)過程被陸續提出[40?41].然而,多值粗粒化機制中的粗?；潭刃枰獠咳斯じ深A,憑借經驗進行選擇.本文提出一種新的多值粗?；^程— 極值粗?；?Extremum coarse-graining LZC,ELZC):找到數據序列y(i)所有的極值點(包括極大值和極小值),進行升序排列記為E(j)(j=1,···,l,l=length(E)),并記β={0,1,···,l?1}代表符號集.那么,非線性動力學數據序列y(i)可通過如下極值粗?；^程轉化為符號序列u(i)(u(i)∈{β(1),β(2),···,β(l)}).

基于上述極值粗粒化機制,復雜度計算過程中的粗粒化過程不僅解決了二值粗?；赡軄G失一些有用信息的問題,其粗粒化程度還可以根據信號自身進行選擇,避免了憑借經驗進行選擇的外部干預影響.二值粗粒化、多值粗?；蜆O值粗粒化過程的對比效果見附錄A.

2 動態特征提取

本節基于確定學習理論和時空Lempel-Ziv復雜度算法提出動態特征提取新方法.

首先,通過確定學習理論,非線性系統(1)的未知動態F(x,p)可以通過式(4)進行準確地建模/辨識.由于辨識得到的系統動力學以常值的形式存儲在RBF神經網絡中,因此可將其作為有限的數據序列進行分析.

其次,在LZ復雜度算法的基礎上,提出了時空LZ復雜度對非線性動力學數據序列進行分析.時空LZ復雜度包含時間復雜度TLZC和空間復雜度SLZC兩個指標,可以從時間域和空間域上刻畫系統的復雜程度.

時間復雜度TLZC的計算過程如下[33,35]:

步驟1.非線性動力學數據序列Y=[y1,···,yN]T需要轉換為新的符號數據序列U=[u1,···,uN]T.根據第1.2節中的極值粗?；瘷C制,對非線性動力學數據序列yk(i)(k=1,···,N,i=1,···,n,n=length(yk(i)))找到其所有的極值點(包括極大值和極小值),進行升序排列記為Ek(j)(j=1,···,l,l=length(Ek)),并記βk={0,1,···,l?1}代表符號集.那么,通過式(8)可將數據序列yk(i)轉化為符號序列uk(i)(uk(i)∈{βk(1),βk(2),···,βk(l)}).

步驟2.對每個符號序列uk(i),其復雜度ck(n)初始值置為1,并令P={uk(1)},Q={uk(2)},PQ={uk(1),uk(2)}及PQπ=uk(1)(P和Q代表符號序列uk的兩個子數據序列,PQ是P和Q的結合,PQπ表示PQ刪除最后一個字符,v(PQπ)代表PQπ所有不同的子數據序列).

步驟3.在計算過程中,當P={uk(1),uk(2),···,uk(r)}和Q={uk(r+1)}時,PQπ={uk(1),uk(2),···,uk(r)}. 如果Q屬于v(PQπ),更新Q為{uk(r+1),uk(r+2)}.如果不屬于,則更新P和Q為P={uk(1),uk(2),···,uk(r+1)},Q=Qk(r+2),同時,其復雜度值加1:ck(n)=ck(n)+1.

步驟4.重復步驟2和步驟3,直到Q為最后一個字符.

步驟5.每個數據序列uk的歸一化復雜度可以通過下式獲得.

其中,k=1,···,N,n是數據序列yk的長度,lk是第k個符號集中不同字符的個數.

基于上述步驟1～5,非線性系統動力學軌跡的時間復雜度TLZC為

其中,RMS(·)是均方根值函數.TLZC值可以從時域的角度對非線性動力學系統的復雜度進行度量.

空間復雜度SLZC是從系統動力學軌跡數據序列方向導數的角度進行計算.

步驟1.非線性系統動力學數據序列Y的方向導數可以通過下式進行近似計算[42],并記為數據序列Z.

步驟2.每個方向導數序列Zk的歸一化復雜度值SCk的計算過程可類似于時間復雜度的步驟1和步驟5.

其中,m=n?1是每個方向導數序列的長度,lk是第k個符號集中不同字符的個數.那么,其相應的空間復雜度SLZC為

方向導數數據序列反映了系統動力學軌跡在空間上的變化速率[42?43],相應的空間復雜度值SLZC可以作為對非線性動力學系統在空間域上的復雜度度量.

3 動態特征提取方法的敏感度分析

使用時空LZ復雜度對系統的動力學軌跡進行特征表達后,可通過敏感度分析評價提出方法的性能.目標敏感度可以反映出系統的某一性能指標相對于系統參數變化的敏感程度[30].由于時間復雜度TLZC和空間復雜度SLZC是系統的復雜性表達,因此可用目標敏感度對時空LZ復雜度性能指標進行分析.數學上,相對目標敏感度系數為[26]

其中,C和p分別是狀態軌跡/動力學軌跡復雜度和系統參數,η是系統的目標敏感度系數.相對的意思是對復雜度和系統參數分別進行歸一化.由于系統的性能指標和參數值可能在一個很大的區間內變化,所以經常使用歸一化的復雜度值對系統的性能進行比較.

在實際計算中,目標敏感度系數可使用有限差分法進行近似[26].

其中,?C和?p分別是狀態軌跡/動力學軌跡復雜度和系統參數在一個小區間內的差值.為了較合適地比較系統的狀態軌跡和動力學軌跡復雜度指標的敏感性,需使用相同的歸一化尺度.同時,在比較時使用敏感度系數η的絕對值.|η|的值越大,相應的性能指標對系統參數的變化越敏感.

4 數值仿真

基于上述敏感度分析,使用經典的非線性動力學系統—Rossler系統[44]驗證提出方法的有效性.

其中,x=[x1,x2,x3]T∈R3是可測量的系統狀態向量,p=[p1,p2,p3]T是系統常值參數向量,f1(x;p)=?x2?x3,f2(x;p)=x1+p1x3,f3(x;p)=p2+x3(x1?p3)是系統的未知動態.第1.1節已表明,系統的未知動態f1(x;p),f2(x;p),f3(x;p)可以被確定學習理論準確地建模/辨識,過程參見文獻[15?16].

根據文獻[45],固定參數p1=p2=0.2,變化參數p3,Rossler系統(17)可以產生不同的狀態.例如,選擇參數p3的變化范圍為2.6～4.38,步長為0.01,系統將產生倍周期分岔過程:單周期(p3=2.6～2.8),2倍周期(p3=2.81～3.82),4倍周期(p3=3.83～4.12),8 倍周期 (p3=4.13～4.18),···,混沌狀態(p3=4.22～4.38).圖1顯示了Rossler系統狀態x1的倍周期分岔過程.

微分方程組(17)可以通過四階Runge-Kutta進行求解(時間步長設置為0.01,系統狀態序列的大小取為104,與注1一致).系統的狀態軌跡和相應的動力學軌跡如圖2所示.本文選取單周期(p3=2.7),4倍周期(p3=3.96)和混沌狀態(p3=4.28)進行對比圖示.

圖1 Rossler系統狀態x1的倍周期分岔過程Fig.1 The period-doubling bifurcation diagram of the statex1of the Rossler system

從圖2可以看出,系統的動力學軌跡和狀態軌跡的形狀相一致.下面使用時空LZ復雜度分別對系統的狀態軌跡和動力學軌跡進行分析.其時間復雜度指標TLZC如圖3所示,空間復雜度指標SLZC如圖4所示.圖3和圖4中M代表狀態軌跡的復雜度指標曲線,代表動力學軌跡的復雜度指標曲線.

在對時間復雜度和空間復雜度兩個性能指標進行敏感度分析之前,計算系統不同狀態區間的復雜度值算術平均,用該算術平均值表示系統不同狀態的復雜度值.系統狀態軌跡和動力學軌跡的時空LZ復雜度(TLZC和SLZC)的敏感度系數可根據敏感度系數式(16)得到.為了對系統不同狀態變化進行詳細的敏感度對比分析,本文分別計算了單周期～2倍周期、2倍周期～4倍周期、4倍周期～8倍周期和8倍周期～混沌狀態的敏感度系數,結果如表1所示.η1表示系統狀態軌跡的敏感度系數,η2表示系統動力學軌跡的敏感度系數.

表1 Rossler系統的敏感度系數Table 1 The sensitivity coefficients of the Rossler system

圖2 Rossler系統的狀態軌跡和動力學軌跡圖Fig.2 The state trajectory and dynamics trajectory of the Rossler system

圖3 系統的狀態軌跡和動力學軌跡時間復雜度指標圖Fig.3 The TLZC indices of state trajectory and dynamics trajectory of the Rossler system

圖4 系統的狀態軌跡和動力學軌跡空間復雜度指標圖Fig.4 The SLZC indices of state trajectory and dynamics trajectory of the Rossler system

從表1可以看出,在時域和空間域上,動力學軌跡的復雜度性能指標相比于狀態軌跡的復雜度指標,對系統狀態變化時的敏感度系數整體上都要大一些.當系統從單周期到2倍周期變化時,動力學軌跡的TLZC和SLZC指標敏感度系數分別為0.0229和0.0268,相比于狀態軌跡的TLZC和SLZC指標敏感度系數0.0018和0.0247有所增加,雖然不很明顯,但也能區分出系統的不同狀態,與圖3和圖4中的復雜度指標曲線相一致.隨著系統狀態的不斷變化,系統動力學軌跡的復雜度指標敏感度系數越來越大,特別是系統從8倍周期狀態變化到混沌狀態時,動力學軌跡的TLZC和SLZC指標敏感度系數(2.2767,1.3192)明顯大于狀態軌跡的TLZC和SLZC指標敏感度系數(1.4589,0.9603).從上述分析可以得出,基于動力學軌跡的復雜度特征表達可以更敏感地反映出系統的周期、倍周期和混沌狀態.

除了使用時空LZ復雜度在時域和空間域上對非線性動力學系統進行復雜程度分析,本文使用時頻分析方法(Hilbert-Huang變換)對上述Rossler系統(17)進行分析,以對比系統狀態和系統動態在頻譜上的分布情況.Hilbert-Huang變換方法于1998年提出,用于分析非線性非平穩的信號,主要包含兩個過程:經驗模態分解(Empirical mode decomposition,EMD)和Hilbert譜分析[1].對信號進行Hilbert-Huang變換后,得到的結果包含模態分解圖、Hilbert譜圖和Hilbert邊際譜圖.模態分解圖表示原始信號經 EMD得到的本征模態函數(Intrinsic mode function,IMF),即各個頻率成份;Hilbert譜圖表示信號能量在頻率和時間軸上的分布情況;Hilbert邊際譜圖表示信號的幅值在整個頻率段內隨頻率的變化情況.選取上述Rossler系統(17)的2倍周期為例,使用Hilbert-Huang變換對其系統狀態x1和系統動態f1(x,3.3)進行分析,得到的模態分解圖、Hilbert譜圖和Hilbert邊際譜圖分別如圖5～7所示.

圖5 Rossler系統2倍周期模態分解圖Fig.5 The EMD of period-2 of Rossler system

圖6 Rossler系統2倍周期Hilbert譜圖Fig.6 The Hilbert spectrum of period-2 of Rossler system

圖7 Rossler系統2倍周期Hilbert邊際譜圖Fig.7 The Hilbert marginal spectrum of period-2 of Rossler system

從圖5可以看出,Hilbert-Huang變換可以對系統狀態和動態進行很好地分解,都包含一個高頻成份、一個低頻成份和一個均值非零的低強度剩余信號,即分解誤差.

從圖6的Hilbert譜圖可以看出,系統狀態的譜圖(圖6(a))和系統動態的譜圖(圖6(b))頻率成份是一致的,都包含兩個主要的頻率成份.高頻成份從0.09Hz～0.15Hz之間變化,低頻成份主要集中在0.055Hz.但是,對照系統動態的模態分解圖5(b)和Hilbert譜圖6(b),分解得到的系統動態的高頻成份和低頻成份相比于系統狀態的模態分解圖5(a)和譜圖6(a),其周期性要弱一些,表明系統內在動態變化會較狀態更明顯,這與系統的Hilbert邊際譜圖相對應,如圖7所示.系統狀態和動態的邊際譜圖可以很清晰顯示出系統的能量或頻率成份主要分布在0.055Hz的低頻成份和0.1Hz附近的高頻成份上.但是,相比于系統狀態的邊際譜圖7(a),系統動態的邊際譜圖7(b)的高頻成份分布有稍微大一些的波動,能量分布平坦一些,說明系統內在動態的變化較明顯.

通過上述分析,從信號的模態分解圖、Hilbert譜圖和邊際譜圖可以看出,系統狀態和系統動態在頻譜上的分布雖然有微小差別,但是基本相一致.頻譜分析方法和復雜度表征方法是從不同的角度對系統的非線性非平穩信號進行分析.頻譜分析方法給出的是信號的頻譜分布,頻譜分布主要是將信號從時域轉換到頻域,對其頻率特性和能量分布進行分析;而LZ復雜度特征分析給出的是非線性系統確定的復雜程度,并且可以從時間和空間的角度上,對系統狀態和動態的復雜度特征進行明顯區分.因此,結合圖3和圖4可得,LZ復雜度分析方法可以敏感地反映出系統的不同狀態.相對于頻譜分析,復雜度量化指標對系統的特征表達更為直觀,并且可以在更大程度上對系統的不同狀態進行區分.

5 實驗分析

基于文中提出的動態特征提取方法,對渦輪風扇發動機中的旋轉失速過程進行動態特征表達,從實驗分析上驗證提出方法的可行性和有效性.

渦輪風扇發動機是目前世界上軍用和大型民用飛機最常用的動力裝置,最主要的特點是在高亞音速/超音速飛行條件下具有很高的效率.軸流壓氣機是渦扇發動機的核心部件之一,當代大型航空渦扇發動機的發展方向是追求更高的單級壓比和更少的級數.單級壓比的提高,引起流動分離,導致發動機內部產生不穩定流動問題,例如旋轉失速和喘振等.喘振和旋轉失速都是發動機內流的系統性失穩,它們限定了發動機的穩定工作區域,在系統喘振發生的最初,總是伴有壓氣機的旋轉失速,旋轉失速被認為是喘振先兆.旋轉失速檢測已經成為壓氣機研究領域中重要且困難的問題.軸流壓氣機旋轉失速和喘振發生過程可以分為四個階段,1)失速前階段;2)旋轉失速初始擾動階段;3)完全失速階段;4)喘振階段.各階段詳細描述可參見文獻[46].

關于旋轉失速的建模,Moore和Greitzer從壓氣機轉子和靜子的整體性質出發,在流體擬定常和壓氣機半激盤等假設下,推導出一組描述壓氣機整體流場特性的偏微分方程(Partial differential equation,PDE),并在此基礎上得到一個由三階常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)組描述的Moore-Greitzer模型.由于旋轉失速是由偏微分方程描述的無限維分布參數系統產生的復雜動態現象,其無限維特性意味著任何基于有限狀態測量的建模都是有限維近似建模.在Moore和Greitzer推導的偏微分方程基礎上,Paduano和Mansoux等利用離散傅里葉變換及其逆變換推導出一個高階ODE周向離散化Mansoux模型.

其中,φ=[φ1,φ2,···,φM]T是壓氣機周向上的M個測量點的流量,是壓氣機的平均壓力增長,其他參數參見文獻[19].

該Mansoux模型是一個描述旋轉失速過程的有限維ODE系統,能夠定量描述多種壓氣機旋轉失速的發展過程,并可以在一定精度內產生與壓氣機試驗臺失速初始擾動相似的仿真結果,其系統狀態可以看作是在壓氣機周向均勻布置2N+1(N為8的倍數)個流量傳感器和在壓氣機入口和出口布置2個壓力傳感器獲取的流量和壓力信號.基于此,本節對高階Mansoux模型進行研究和分析,對其系統動態進行建模和辨識,并提取出系統的動態時空復雜度特征.

通過確定學習理論,可對壓氣機失速前和旋轉失速初始擾動的內在系統動態進行準確地建模和辨識,并將辨識得到的系統動力學軌跡以常值RBF神經網絡的形式進行保存,可用于對壓氣機旋轉失速前和失速初始擾動的狀態和動力學軌跡進行動態特征提取和對比分析，詳細過程見文獻[19].軸流壓氣機失速前和失速初始擾動過程如圖8所示.

當系統從失速前階段(825轉～875轉)進入到旋轉失速初始擾動階段(876轉～925轉)時,對系統的狀態軌跡和通過確定學習理論得到的動力學軌跡使用時空LZ復雜度指標進行特征表達,在計算具體復雜度時,采用步長為5轉,在整個間隔內計算出21個時間點的復雜度,系統各個階段狀態軌跡和動力學軌跡的時間復雜度指標TLZC如圖9所示,空間復雜度指標SLZC如圖10所示.

圖8 系統從失速前進入到旋轉失速初始擾動階段的過程Fig.8 Time evolution of the first flow state before rotating stall

從圖9(a)和圖9(b)可以看出,當系統從失速前進入到旋轉失速初始擾動階段時,系統動力學軌跡的時間復雜度指標TLZC變化的幅度為0.1921?0.1681=0.024,比系統狀態軌跡的變化幅度0.2472?0.2284=0.019要大一些,說明從動力學軌跡更加能敏感反映出系統的狀態變化.圖10(a)和圖10(b)的系統空間復雜度指標中也有相同的結果.

結合圖9(a)、圖9(b)和圖10(a)、圖10(b)系統狀態軌跡和動力學軌跡的時空LZ復雜度,根據文中的敏感度系數式(16),系統狀態軌跡和動力學軌跡的時間復雜度TLZC指標和空間復雜度SLZC指標相對系統參數變化的敏感度系數見表2,其中η1表示系統狀態軌跡的敏感度系數,η2表示系統動力學軌跡的敏感度系數.

從表2中敏感度系數結果可以看出,通過確定學習理論對軸流壓氣機旋轉失速過程進行準確地建模和辨識,提取出系統的動態特征復雜度指標,相比于狀態軌跡復雜度指標,動力學軌跡可以更加敏感地反映系統從失速前到初始擾動過程的變化.此外,從時空復雜度特征指標圖可以看出,在剛進入旋轉失速初始擾動時(875轉),系統動力學軌跡的時空復雜度指標有明顯的改變,這與文獻[19]的檢測時間(當發生旋轉失速時,可在885轉檢測出)相對應,從而驗證了本文提出方法的可行性和優越性.

圖9 失速前到旋轉失速初始擾動階段狀態、動力學軌跡的時間復雜度TLZCFig.9 The TLZC index of the system state and dynamics trajectory before rotating stall

表2 失速前到初始擾動過程的時空復雜度指標敏感度系數Table 2 The sensitivity coefficients of the normal system to stall precursors

6 結論

本文提出了一個新的非線性系統動態特征提取方法.通過確定學習理論和時空LZ復雜度算法,實現了對非線性動力學系統從時域和空間域的角度進行動態特征提取.從Rossler系統狀態軌跡和動力學軌跡的時間復雜度TLZC及空間復雜度SLZC指標對比結果以及頻譜分布可以看出,與傳統的時頻分析方法和基于狀態軌跡的復雜度特征提取方法相比,本文提出的新的動態特征提取方法可以更加敏感地反映出非線性動力學系統的周期、倍周期及混沌狀態,其優點是從系統內在動力學的角度對原系統進行更好的表達.數值仿真和實驗分析雖然驗證了本方法的有效性,未來還需要對實際應用(例如航空發動機微小故障診斷等領域)進行進一步驗證.

圖10 失速前到旋轉失速初始擾動階段狀態、動力學軌跡的空間復雜度SLZCFig.10 The SLZC index of the system state and dynamics trajectory before rotating stall

附錄A

為了驗證極值粗?；^程的有效性以及數據序列長度對歸一化復雜度的影響,選取一個高斯分布的隨機序列作為例子進行說明[34,36].隨機數據序列代表了大部分的混沌過程,其歸一化復雜度接近1.在計算復雜度的過程中,采用50組不同的隨機數據序列,然后對復雜度值求取算數平均.經過二值粗粒化BLZC、多值粗?；疢LZC(多值粗粒化中l選取6[36,47])和極值粗?；疎LZC過程后,歸一化復雜度結果如圖A1所示,實線代表經過BLZC的復雜度值,虛線代表經過MLZC的復雜度值,點線代表經過ELZC的復雜度值.

圖A1 隨機數據序列的歸一化復雜度Fig.A1 The normalized Lempel-Ziv complexity of random sequence

從圖A1可以看出,隨機數據序列經過二值粗?；疊LZC過程后,其歸一化的復雜度值都大于1,與文獻[34?36]表述一致.同樣,在數據序列的長度較小時,經過多值粗?；疢LZC過程的歸一化復雜度值也大于1.而經過極值粗?；疎LZC過程得到的歸一化復雜度值都小于1.此外,三個指標曲線中,當數據序列的長度為大于104時,歸一化的復雜度值將趨于穩定.因此,本文選取的數據序列長度104.這個例子顯示MLZC和ELZC都可以對數據序列進行較好處理,不同的是ELZC的粗?；潭瓤梢愿鶕盘栕陨磉M行選擇,而MLZC需要外部干預,憑借經驗進行選擇[40?42].