深度學習下的“概念課教學”—以“一元二次方程”一課的教學為例

河北省井陘縣教師進修學校 梁彥軍

深度學習是一種基于理解的學習，它強調學習者批判性地學習新思想和知識，把它們納入原有的認知結構中，將已有的知識遷移到新的情境中，從而幫助決策、解決問題。

深度學習鼓勵學習者積極地探索、反思和創造，而不是反復記憶，深度學習意味著理解和批判、聯系與構建、比較與反思、遷移與應用。

在初中數學教學中，概念課教學是個重點。學生在學習的過程中，對教材出現的新概念 ，不可能是“無根之木”。因此，只有準確把握學生的學習起點，引導學生在原有認知起點上對新的概念進行同化與遷移才是有效的。基于自己多年的理解，現以“一元二次方程”這一節課為切入點進行解讀。

一、設計理念

“一元二次方程”是人教版九年級一節重要的概念課，它在初中數學中占有重要地位。從知識的發展來看，它是一元一次方程、方程組及不等式知識的延續和深化，也是今后學生學習可化為一元二次方程的方程、二次函數等知識的基礎。

學生之前已經學習了一元一次方程、整式、分式和二次根式，從知識結構上看他們已經具備了繼續探究一元二次方程的基礎，這個階段的學生自主探究和合作交流的能力很強，并且他們比較、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。

因此本節課的設計是引導學生通過豐富的實例和數學活動思考，實現對“一元二次方程”這一數學概念的自主化“生長”，引導學生進一步體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效的數學模型，感受一元二次方程在本章所具有的重要地位。

二、教學過程設計

1.建立概念

第一步：創設問題情境

問題一：學校打算在校門口擺一個長8m，寬5m的矩形花壇，中央長方形圖案的面積為18m2，四周擺放紅色鮮花的花邊寬度相同，那么花邊有多寬？

教師：設花邊的寬x m，根據題意，請你列出方程。

問題二：國慶期間，學校要組織 “慶國慶籃球聯賽”，安排了單循環比賽15場，你知道共有多少班級報名參加此項比賽嗎？

教師：設報名參加比賽的班級為x個，根據題意，請你列出方程。

問題三：小明正在張貼國慶宣傳畫，一個長為3米的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離是2.4米，若梯子頂端下滑0.4米，那么梯子的底端滑動多少米？

教師：設梯子的底端滑動x米，根據題意，請你列出方程。

（設計意圖：通過一系列實例把實際問題抽象成數學模型——方程）

第二步：分化各個刺激模式的共同屬性，抽象各個刺激模式的本質屬性

教師板書：

教師：將以上三個方程進行化簡，并按x的降冪排列。（2x2-13x+11=0，x2-x-30=0，x2+3.6x-1.76=0）

問題：觀察這些方程，它們是一元一次方程嗎？是二元一次方程嗎？是分式方程嗎？請說明理由。

追問：它們在形式上有何共同點？

學生通過觀察思考小組交流后說出自己的觀點。

第三步：對比是與非，確認關鍵屬性

判斷下面幾個方程是否為一元二次方程，并說明理由。

（1）2x-1=0 （4）2x2+x=0

（2）x-2y=0 （5）2x2-1=0

（3）x2-x+5=0 （6）2x2=0

（1）（2）都不是，利用反例確認概念的三個關鍵屬性；（3）是，同時具有三個關鍵屬性。（4）（5）（6）通過變換概念的非本質特征而突出其本質特征。

（深度學習是理解性的學習，在批判的基礎上理解知識）

第四步：歸納概括，生成新概念

教師：你能嘗試用自己的語言給一元二次方程下個定義嗎？（用“如果……，那么…… ”的形式）

學生用語言描述出一元二次方程的定義。

第五步 用數學語言和符號表示概念

（學生說，教師板書）如果方程是只含有一個未知數的整式方程，并且可化為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）的形式，那么我們把它叫作一元二次方程。

教師：一元二次方程的定義中哪些是本質屬性？

學生回答：只含有一個未知數、整式方程、可化為ax2+bx+c=0（a≠0）。

教師：把ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項，一次項和常數項，a，b分別稱為二次項系數和一次項系數。

2.變式訓練

練習1：把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項系數，一次項系數和常數項。

（1）3x2=5x-1 （2）（x+2）（x-1）=6 （3）4-7x2=0

練習 2：關于x的方程（m2-1）x2+（m -1）x -2=0。（1）當m滿足什么條件時，是一元二次方程？（2）當 m滿足什么條件時，是一元一次方程？

（深度學習意味著能結合已有的知識經驗，經過同化或順應，理解概念，并在此基礎上，將該知識納入原有知識結構中）

練習 3：請同學們將下列方程合理進行分類。方程、整式方程、分式方程、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程。

學生小組合作，讓學生用不同形式展示（集合、方框、大括號等）。

（建立前后概念有意義的聯系，在頭腦中形成清晰正確的概念網絡。深度學習關注知識之間的聯系，是在聯系的基礎上建構體系）

3.問題解決

（1）從前有個醉漢拿著竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框寬4尺，豎著比門框高2尺。另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少，剛好進去了。你知道竹竿有多長嗎？列出方程，指出它的二次項系數、一次項系數和常數項。

（2）觀察等式：102+112+122=132+142。有什么特點？你還能找到符合這一特征的等式嗎？請說明你的解題思路。

（深度學習是在內化的基礎上遷移運用，最終目標是運用已有知識解決新情境中的問題）

4.回顧反思

（1）通過本節課的學習，在知識上你有哪些收獲？

（2）在研究這些問題時，我們經歷了怎樣的過程 ？

（3）本節課的學習經歷，對你以后的數學學習有哪些啟示 ？

5.對數學概念課教學的思考

“歸納”與“演繹”相結合，進行數學概念的教學。

概念形成—讓學生通過自己的實踐，抽象出事物的共同本質特征。（合情推理）

概念同化—讓學生接受已有的概念。（演繹推理）

三、教學反思

課堂教學中“用歸納的方法建立概念，用演繹的方法印證并拓展概念”，旨在展現一個由“概念形成”與“概念同化”組成的有序的數學概念研究過程，讓學生感悟一般的數學概念的建立過程。

深度學習是過程性的學習，是在過程的基礎上體驗感悟。對概念、原理的理解一定是基于其形成過程，在經歷知識發生發展的過程中感悟知識的本質內涵以及所蘊含的數學思想。