換元法在定積分證明題中的應用

山東濟南職業學院 王 岳

換元積分法是高等數學中常用的求積分的重要方法之一，在不定積分和定積分的計算中都有重要的應用。同樣，在定積分的很多證明題中，也要用到換元的方法才方便解決問題，證明結論。

一、定積分的換元法

定積分的換元法與不定積分不同的是，定積分在換元以后，一定要進行換限，上下限的變化不能忽略；另外，定積分換元后不需要還原，只要求出原函數后利用牛頓萊布尼茨公式把積分值計算出來即可。

二、第一換元法在定積分證明中的應用

定積分的證明題中，很多題目需要證明一個定積分等于另外一個定積分，而且很多被積函數是抽象的函數，沒有給出具體表達式，無法通過計算進行證明。此時，要想證明兩個積分值相等，就得通過換元的方法將其中一個定積分往另一個定積分的形式上進行變形轉換。在這個過程中，如果進行積分變量的換元是關鍵，怎樣換元才能實現向目標定積分的轉換過程，需要我們仔細觀察兩個積分的異同，其中包括被積函數和積分上下限之間的關系，從而將積分變量換成合適的函數，同時對原有的上下限進行轉換，再根據已知條件，逐漸變形實現向目標定積分的轉換。

很多學生在計算定積分時，能熟練應用換元法求解，但在證明題中，卻有些無從下手。把握不好應該如何換元，換哪個量，怎樣選擇換成什么函數。下面，我們通過幾個例題來說明一下換元法在定積分證明題中如何來應用。

分析：本題的基本思路同上題，我們可以根據上下限特點的觀察，選擇與上題相同的換元方法，然后根據換元后的結果，來判斷函數的奇偶性是否和a有關。

分析：對比等式的左右兩邊的定積分，被積函數的自變量發生了變化，表面上看積分上下限并沒有變，但要想從方程左邊入手，證出右邊的形式，只有通過換限來實現，上下限發生變化后，還可以通過交換上下限的位置來實現把上下限換回原樣的效果。

分析：此類證明題，都要通過對比等式的左右兩邊的積分形式，選擇相應的換元方法，實現由左端向右端的轉化。此題等式兩端的定積分中，三角函數名和上下限都沒有變，但是被積函數的形式有所變化，積分前面的系數也有所變化。若想證明方程左邊的定積分與右邊的相等，可以考慮應用第一換元法，根據三角函數名不變這一特點，我們選擇將積分變量 換成。上下限雖然會變化，但是后面通過交換積分上下限的位置，同樣能得到右邊的積分形式。

以上四個例題，都是通過換元的方法進行的證明，他們有很多共性之處：先通過需證明的等式兩端定積分的比較，選定換元的形式，然后根據已知條件和目標積分進行恒等變形，在證明過程中，要特別注意，換元的同時要換限。雖然有些等式兩端的定積分看上去上下限是相同的，但實際上是換元以后又交換了上下限的位置變化得到的，并不是在還原中上下限沒有發生變化，是幾經轉換又變了回去。像這樣上下限能變回去的定積分對換元的形式也是有要求的，這也給我們提供了一定的換元思路。因此，證明定積分的證明題要提高觀察能力，選擇正確的換元形式才能實現準確快速的證明。