數列知識在物理解題中的應用

王惠生

摘 要：物理是中學階段的一門重要學科。數列是中學數學中的重要知識點，在求解物理題目時用途巨大。文章中主要對等差數列、等比數列在物理運動學、動量等問題中的解題應用進行了分析，為數列知識在物理解題中的應用提供了參考建議。

關鍵詞：等差數列；等比數列；物理應用

新課改實施后，各學科之間開始滲透，聯系日益加強。物理、數學是中學階段中的兩門重要學科。兩門學科，具有很多共性，如要求學生具備良好的推算能力、思維能力等。因此中學階段，物理和數學兩門學科的滲透性最強。一般情況下，主要是將數學知識應用到物理解題中來。在運用數學知識求解物理題目時，主要有兩種類型：第一將物理現象、過程等轉換成數學問題進行求解；第二是運用各類數學知識如數列、不等式、幾何等求解物理題目。特別是第二種，在物理解題中應用較為廣泛。

數列是中學數學中的重要知識點。數列是按照一定順序排列的數。數列中每一個數都稱為數列中的項。位于第一位的數則稱為第一項，第二位的稱為第二項，以此類推，位于第n位的數稱為第n項。一般用an表示。等差數列、等比數列、等和數列、前N項和等是數列中的常見類型。在應用數學思想求解物理題目時，數列的應用也較為廣泛。近年來數列應用成為高考的必考點，也是高考熱點。學生在解決物理題目時，除了掌握基本的數學應用思想外，還應重視數列知識在物理解題中的作用。

一、等差數列在物理解題中的應用

等差數列是數列中較為常見的一種數列類型。在一個數列中，如果從第二項開始，每一項和前一項的差是一樣的，則說明該數列是等差數列。每一項和前一項之間的差是常數，該常數是等差數列的公差。

直線運動是物理運動學中的一種。當物體做勻速直線運動時，便可形成等差數列，利用等差數列求和公式解決勻速直線運動相關問題，能夠簡化解題思路和過程，提高解題效率。

例1：將相同的長方形木板整齊的放置在光滑平面上，放置方式如圖1所示。長方形木板重量為1N，木板之間的動摩擦因數是0.3。從上至下，在處于奇數塊的木板左側系上繩子，處于偶數塊的木板右側系上繩子。左右兩邊的繩子分別系于兩側的輕質木桿上，木桿垂直于地面。向兩個木桿1/3處的位置分別施加F1、F2的壓力，當F1=F2=57N時，將疊加在一起的長方形木板按照均勻速度拉開。假設木板側面具有相同的粗糙程度，求長方形木板的數量。

解析：長方形木板放置在光滑平面上，最后一塊木板和平面之間不存在摩擦力。按照均勻速度拉開木板時，第一塊木板和最后一塊木板，側面都會受到動摩擦力，中間的木板兩個側面都會受到與其滑動反反向的摩擦力。

求解時，先將長方形木板從上至下進行編號，并將之按照奇數、偶數分成1組、2組。假設木板接觸面為n（平面接觸面除外），則長方形木板數量為n+1。在水平拉開木板時，接觸的木板之間存在滑動摩擦力，摩擦力大小相同，但方向相反。因此每組木板接受的滑動摩擦力數量是相同的，即為n。從上至下，每組木板均勻拉開時受到的n各摩擦力構成了等差數列，即0.3、0.6、0.9、1.1、1.4…該等差數列中公差為0.3。根據Sn=na1+———d，0.3n+———×0.3=57，整理可得n2+n-380=0，因此（n+20）（n-19）=0，故n1=-20（舍去），n2=19。n+1=20，可求出長方形木板數量為20塊。

上述題目，仔細閱讀、分析題目后可知，拉開木板時所做的運動為均勻速度。每組木板受滑動摩擦力數量相同且方向相反，因此在求解該題時可運用數學思想中的等差數列進行求解。將物理題目轉換成等差數列后，可簡化該題解題步驟，實現題目的解答。

等差數列除了能解決運動學問題外，還能解決動量相關問題。

二、等比數列在物理解題中的應用

等比數列也是數列中較為常見的一種數列類型。在一個數列中，如果從第二項開始，每一項和前一項的比是一樣的，則說明該數列是等比數列。每一項和前一項之間的比是常數，該常數是等差數列的公比。如果公比為1時，則說明該數列為常數列。

物理中的運動學問題、動量問題在求解時，經常用到等比數列。

例2：一小球做自由落體運動，從4.9米高處落下。下落過程中每次彈回的高度是下落時的一半，求小球靜止所花費的時間（不考慮空氣阻力和碰撞時間）。

例3：如圖2所示，平板小車質量m為2kg，小車后面放了一塊質量M為3kg的鐵塊。鐵塊和小車之間的動摩擦因數為μ=0.5。最初，小車和鐵塊在光滑的平面上以v0=3m/s的速度向右位移，直至小車碰到右邊的墻面。假設在極短的時間內小車便會撞到墻，且撞到后小車沒有損失。而碰撞時只有小車碰撞到墻，鐵塊不會撞到墻。求小車撞到墻時所走過的路程有多少。

運用數學思想解決物理問題能夠檢驗學生的數學應用能力，也能對學生物理知識理解能力進行驗證。運用數列對物理問題進行求解，是數學思想在物理解題中最為常見的一種應用方法。在運用數列知識求解物理問題時，學生應對物理問題進行仔細閱讀、理解，找出其中存在的數列關系，從而運用數列知識進行求解。

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