用形式數理的手法 剖析“式數型”易錯試題的錯誤根源

摘 要： 本文中，“式”指數學概念的符號表達式；“數”指數值或數的范圍。在高中數學教學中，時常會遇到一些因“式的結構”和“數的范圍”不同而導致答案相近但絕不相同的試題。由于這些試題主要涉及式數的轉化，姑且命之名為“式數型”試題。

關鍵詞： “式數型”；易錯試題；形式數理

在“式數型”試題中，由于式的抽象性和數的廣泛性，造成此類試題的錯因往往十分隱匿，極難察覺。實際教學中發現，學生們遇到這些試題時，不但容易做錯，而且很難從思維根本上糾正過來，因而導致一錯再錯者，屢見不鮮。

為了解決這個問題，我嘗試從“式”與“形”“數”與“理”的關系著手，剖析此類題型的形理根源，以圖徹底糾正思維根本上的錯誤。

在數學中，“形”為“式”的外顯，“式”為“形”的抽象，形式互相表里；“理”為“數”的次序，“數”為“理”的度量，數理相輔而成。對于一個具體的“式數型”試題而言，從“形式”“數理”角度剖析，往往更容易抓到問題的本質，甚有“射人先射馬，擒賊先擒王”之意味。

下面，略舉平時教學中常見的兩個“式數型”易錯試題為例，試用形式數理的手法剖析其導致易錯的根本原因。

【例1】 已知函數f（x）=x2+（m-2）x+5-m的兩個根均大于2，求m的取值范圍。

問題剖析： 本題屬于一元二次方程中根與系數的問題，解決方法大致分兩種：一種方法是從“形”的角度入手，利用一元二次函數的圖像，通過數形結合，觀察出與問題等價的關于m的不等式組，進而求解；另一種方法是從“式”的角度出發，利用韋達定理和基本不等式的性質處理。

錯解： 法一：從式的角度常見的錯解

解：∵x1>2，x2>2，故 x1+x2>4x1x2>4 ②Δ≥0 ，即 2-m>45-m>4（m-2）2-4（5-m）≥0 ， 解得m∈（-∞，-4]。

事實上，從式的角度的正確解法為：

解：∵x1>2，x2>2，∴x1-2>0，x2-2>0，

故 x1-2+x2-2>0（x1-2）·（x2-2）>0 ①Δ≥0 ，即 2-m>45-m-2×（2-m）+4>0（m-2）2-4（5-m）≥0 ， 即 m<-2m>-5m≤-4或m≥4 ，

解得m∈（-5，-4]。

法二：從形的角度再看此題。

解：設f（x）=0的兩個根為x1，x2（x1

f（2）>0 2-m 2 >2Δ≥0 ，即 4+2·（m-2）+5-m>0m<-2（m-2）2-4·（5-m）≥0 ，即 m>-5m<-2m≤-4或m≥4 ， 解得m∈（-5，-4]。

綜上可以看到，錯解中m∈（-∞，-4]，而正確答案當是m∈（-5，-4]，錯解的范圍擴大了，這是啥原因造成的呢？

錯因究底： 比較從式的角度求解的兩種解法可以發現，兩者的區別僅僅在于①式（x1-2）·（x2-2）>0與②式x1x2>4在式結構上的不同。

可以看到，①式（x1-2）·（x2-2）>0展開即是x1x2-4+[8-2（x1+x2）]>0，而②式x1x2>4即x1x2-4>0。前者比后者多了一個式結構8-2（x1+x2），正因為這個不同，導致了兩種解答結果的差異。

然而，式是抽象的，不如形有直觀。從式的結構比較，固然簡單直接，但正因為其抽象性，導致許多學生無法徹底理解，下次做類似題還會犯同樣的錯誤。由于“形”為“式”的外顯，下面再從“形”的角度著手，利用平面區域的圖像，展示兩者之間的本質差異。

在①式（x1-2）·（x2-2）>0與②式x1x2>4中，令x1=x，x2=y，則①式變為（x-2）·（y-2）>0，即y> 2x-4 x-2 （x>2）；②式變為xy>4，即y> 4 x 。

把它們圖形畫在同一個坐標系中，則①式表示的平面區域為直角∠DAC的右展區域；②式表示射線AD與曲線AB組合的右展區域。如下圖：

在平面區域上，可以看到，②式比①式多了區域BAC往右邊的平面區域，這就是導致第②式中m范圍擴大的根本原因！

【例2】 設集合 x x+1 x+a <2 的解集為P，若1P，則實數a的取值范圍為 。

A. [-1，1] B. [-1，0]

C. [-1，0） D. （-1，0]

問題剖析： 此題以集合為載體，考查含參數分式不等式的解法和集合的基本性質。

錯解： 解法一：由 x+1 x+a <2，即 -x+1-2a x+a <0，故（x+2a-1）（x+a）>0。

∵（x+2a-1）（x+a）=0的根為x1=1-2a，x2=-a。

（1）當1-2a=-a時，即a=1時，不等式解集為{x|x≠-1}，此時1∈P，舍去；

（2）當a<1時，不等式解集為{x|x<-a或x>1-2a}，要1P，則 -a≤11≤1-2aa<1 ，解得-1≤a≤0；

（3）當a>1時，不等式解集為{x|x<1-2a或x>-a}，要1P，則 1-2a≤11≤-aa>1 ，解得a∈。

綜上得，不等式解集為a∈[-1，0]，從而選B。

這種解法從正面出發，利用分類討論的思想方法處理，邏輯嚴整，條理清晰，然而難免小題大做，耗時耗力，得不償失。

于是，有學生提出新的解法，如下：

解法二：∵1P，故1是 x+1 x+a ≥2中解集，則 1 1+a ≥1，即-1

解法二利用的是補集思想，從反面著手，簡明扼要。但是這兩種的解法答案竟然不一樣！那個解法是正確的？

有學生補充說，兩種解法的差距就在于a能否取到-1。

他說：“我們可以直接取a=-1驗證，則原不等式為 x+1 x-1 <2，即 x-3 x-1 >0，解得{x|x<1或x>3}，滿足1P，故還是應當選擇B。”

但是，解法二本身已經是一個完整的解法，不需要另外取a=-1來補充。

這下問題就出來了！

那就是a=-1到底能不能取得到？

其實，解法一是正確的，答案選B，即a是可以取得到-1的，理由如下：

錯因究底： 我們假設P= x x+1 x+a <2 ，Q= x x+1 x+a ≥2 ，則可知兩者的并集為P∪Q并不是全體實數集 R ，而是P∪Q= R -{-a}。解法二的錯誤根源就是在這里：將本試題的全集當作全體實數集，而忽略了元素-a的特異性。

其實，我們只要對1是否屬于集合Q和{-a}分兩種情況討論，即可輕松解決這個疑惑。

1. 若1∈Q且1≠-a，則 1+1 1+a ≥2，即-1

2. 若1Q且1=-a，則a=-1。

綜上所述，不等式解集為a∈[-1，0]。

由此可見，此題第二個解答的錯誤根源在于問題討論基礎的“數的范圍”擴大了。

當然，“式數型”試題很多，導致解答錯誤的原因也有很多。但是，就試題本身而言，這種因為“式的結構”和“數的范圍”不同而導致的錯解，確實不能等閑看待。在教學中，需要用形式數理的手法，通過“形”的直觀和“理”的次序，透視“式”的抽象與“數”的廣泛，轉抽象到直觀，化疏闊為條理，讓學生不但知其然，還能知其所以然。這樣，才能從根源上徹底糾正一錯再錯的現象。

作者簡介：

劉冠西，貴州省銅仁市，銅仁二中。