高考中坐標系與參數方程選講考點解題探究

林偉城 蘇玉蓉

摘 要：高考是教育事業發展中的重要環節，是對學生知識水平檢驗的重要方式，坐標系和參數方程作為高考中的重點題型，需要進一步進行研究和探索，在數學教學開展的過程中，參數方程是一大難點，教師想要讓學生充分掌握參數方程和坐標系的解題方式，就要在教學過程中加強對其重點難點的講解。本文主要對參數方程和坐標系之間的轉化、動點軌跡的參數方程、曲線的參數方程求兩曲線的交點等題型的解題方式進行了闡述，希望能夠為高中的坐標系和參數方程的考點教學提供幫助。

關鍵詞：坐標系；參數方程；解題探究

當前我國的教育發展開始面臨著重要改革，但應試教育依然是我國的主要測評形式，想要全面提高學生的數學水平，就要明確高考的主要考點，開展針對性教學，課堂教學的主要目標是讓學生能夠做到根據已經掌握的數學相關知識點，自主的進行問題的分析和解答。近年來，坐標系和參數方程成了高考的選做題之一，值得引起教師和教育工作者的關注，很多教師也開始將其作為重要教學內容來展開教學，為學生的高考成績提供保障。

一、 參數方程與直角坐標方程的轉化

考點：通過曲線的參數方程對曲線的類型進行判斷

例題：在極坐標系中，O為極點，半徑為2的圓C的圓心的極坐標為（2，π3）。

（1） 求圓C的極坐標方程；

（2） 在以極點O為原點，以極軸為x軸正半軸建立的直角坐標系中，直線l的參數方程為x=1+12t

y=-2+32t（t為參數），直線l與圓C相交于A，B兩點，已知定點M（1，-2），求|MA|·|MB|。

解析：本題主要考察的是極坐標方程和直角坐標系方程的轉換，在進行解題的過程中我們要先對題中所給的條件進行分析，將可能用的知識點進行確定，在進行問題的解答時要對方程間的關系進行確定，同時注意參數t的變化，了解其變化的范圍。（1）設P（P，θ）是圓上任意一點，則在等腰三角形COP中，OC=2，OP=P，∠COP=|θ-π3|，而12|OP|=|OC|cos∠COP 所以，P=4cos（θ-π3）即為所求的圓C的極坐標方程。極坐標方程的求解過程中要對P點進行確認，根據條件可知三角形COP為等腰三角形，確定兩條邊的關系，求出∠COP。

圓C的直角坐標方程為（x-1）2+（y-3）2=4，即：x2+y2-2x-23y=0，將直線l的參數方程x=1+12t

y=-2+32t（t為參數）代入圓C的方程得：t2-（3+23）t+3+43=0，其兩根t1，t2滿足t1·t2=3+43，所以，|MA|·|MB|=|t1·t2|=3+43。本題在解答過程中要注意直線方程l的變化，我們需要做的就是消除方程中的參數，但這一過程中要注意方程中的變量取值，要與參數進行相對應，而且在進行參數消除的過程中所采取的方式也要根據方程的特點來進行調整，常用的消除參數方法有：代入消除，這是本題的解題手法，代入消除參數，可以通過加減或者乘除，除此之外還有換元法，用代數或者是三角換元來進行消除等。

二、 動點軌跡的參數方程

考點：動點軌跡的極坐標方程和參數方程

例題 在平面直角坐標系xOy中，已知定點F（1，0），點P在y軸上運動，點M在x軸上，點N為平面內的動點，且滿足PM·PF=0，PM+PN=0

（1） 求動點N的軌跡C的方程；

（2） 設點Q是直線l：x=-1上任意一點，過點Q作軌跡C的兩條切線QS，QT，切點分別為S，T，設切線QS，QT的斜率分別為k1，k2，直線QF的斜率為k0，求證：k1+k2=2k0。

解析：想要解答這類題型，要對題目的類型進行判斷，一般來講分為以下幾點方式，按照基本動點求解知識進行建系設點，列出等式進行化簡；如果是動點圍繞已知曲線的動點進行運動，可以將轉化后的已知動點的坐標帶入到曲線方程，求出軌跡方程；還可以通過動點的運動規律的研究，找出與之相匹配的曲線定義來求出軌跡方程，在求兩條曲線的交點的軌跡方程的過程中，要選出一個合適的參數，進行含參數等式的求解，再消除掉參數，求出軌跡方程。

（1） 設點N（x，y），M（a，0），P（0，b）由PM+PN=0可知，點P是MN的中點，

所以a+x2=0

0+y2=b即a=-x

b=y2所以點M（-x，0），P（0，y2），所以PM=（-x，-y2），PF=（1，-y2）。分由PM·PF=0，可得-x+y24，即y2=4x。所以動點N的軌跡C的方程為y2=4x。

在進行解題的過程中，得到題中要求的是動點軌跡的方程，首先我們要先設出動點的坐標，N、M、P在對三個坐標建立起等量關系，得出結論P為NM的中點，再求出M、P的實際坐標值，將三點之間的關系盡量明確，這時再進行等量關系的化簡，然后確定取值的范圍。

（2） 設點Q（-1，t），由于過點Q的直線y-t=k（x+1）與軌跡C：y2=4x相切，建立方程y2=4x，y-t=k（x+1）整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0，則Δ=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，化簡得k2+tk-1=0顯然，k1，k2是關于k的方程k2+tk-1=0的兩個根，所以k1+k2=-t又k0=-t2，故k1+k2=2k0所以命題得證。題中的第二小題主要是證明三角線的斜率關系，解答過程中要對坐標的關系進行明確，先設點Q，再根據所得的方程列出方程式，然后化簡求證。

再根據軌跡方程來求坐標的過程中通常使用兩種方式，如果是參數方程，可以將參數方程變為直角坐標系方程，然后繪制出圖像，得到坐標，還可以將方程在坐標系上表現出來，得到坐標。

三、 曲線的參數方程求兩曲線的交點

考點：曲線的參數方程求兩曲線的交點

例題 已知兩曲線參數方程分別x=5cosθ，y=sinθ（0≤θ<π）和x=54t2，y=t，t∈R它們的交點坐標為

解析：x=5cosθ，y=sinθ表示橢圓x25+y2=1（-5

還有一種題型是通過參數方程或者極坐標方程來求兩點之間的距離，在解答這類題型時我們經常采用余弦定理，余弦定理的運用就等于知道了三角形的兩邊長，并且還能知道兩邊的夾角，很容易求出第三邊，再將題中的參數方程轉化為直角坐標方程進行問題的解答。

四、 總結

綜上所述，想要順利地進行解題，首先要對基礎知識有一定掌握，這樣才能根據題意來明確知識點，同時坐標系和參數方程的求解經常會使用到，直角坐標系的轉換，教師要在教學過程中對這一基礎知識進行反復的講解，來加深學生的記憶。數學是一門邏輯性很強的學科，想要學好數學就要具有很強的邏輯思維和獨立思考能力，在遇到問題時，能夠將題中所給的已知條件進行系統化的分析，避免將出現條件遺漏，具有較清晰的思維來進行問題流程的制定。

參考文獻：

[1]王琦.圓錐曲線參數方程在高中數學解題中的應用[J].科學大眾（科學教育），2017（01）：28.

[2]張丹丹，林若蘭.近幾年高考坐標系與參數方程試題分類及解法[J].遵義師范學院學報，2014，16（06）：122-124.

[3]段鵬碩，劉根友，龔有亮，郝曉光，王娜子.空間坐標系變換的函數梯度描述方法[J].測繪學報，2014，43（10）：1005-1012.

[4]張軍海，胡文亮，谷寶慶，李仁杰.斜角坐標系量化圖形的數學基礎研究[J].河北師范大學學報，1999（01）：128-132+136.

作者簡介：

林偉城，福建省莆田市，莆田第二中學；

蘇玉蓉，福建省莆田市，莆田第一中學。