掌握一種方法 解決一類問題

摘 要：本人對此進(jìn)行思考?xì)w納，這類問題往往會出現(xiàn)在菱形、正方形、拋物線、圓的對稱圖形中，只要我們掌握解題的方法與技巧，善于總結(jié)歸納，靈活應(yīng)變，這類習(xí)題會迎刃而解，才能在中考中取得一個理想的分?jǐn)?shù)。

關(guān)鍵詞：最短路徑問題；掌握方法；解決問題

我所帶初中數(shù)學(xué)已經(jīng)二十多年了，送走了一屆又一屆初中畢業(yè)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，總遇到最短路徑問題，感到束手無策。學(xué)生在閱讀問題時要么題干太長不知題意，要么干脆放棄不管。因此對于此類問題造成了失分現(xiàn)象。最短路徑問題是生活中的實(shí)際問題，在修路、鋪管道的時候，可以起到節(jié)約人力、物力、財力的作用，同時它又與我們的數(shù)學(xué)知識聯(lián)系密切。下面，就有關(guān)最短路徑問題淺談解題方法與技巧。

一、 最短距離證明過程

下面我就來證明路徑最短問題，其最基礎(chǔ)的模型又可稱為“將軍飲馬”問題。

已知：如圖1，在直線L的同側(cè)有A、B兩點(diǎn)，在直線L上找一點(diǎn)O，使得AO+OB為路徑最短并證明。

圖1

證明：過A做直線L的對稱點(diǎn)A1，連接A1B交L于O點(diǎn)，O點(diǎn)即為所求。則AO+OB為路徑最短。

因?yàn)橹本€L為AA1的中垂線，根據(jù)中垂線或者軸對稱的性質(zhì)可知，L上任意一點(diǎn)到線段AA1兩端點(diǎn)距離相等，即有OA=OA1、O1A=O1A1；然后利用兩點(diǎn)之間線段最短原則，可得最短路徑。注意這里的兩點(diǎn)之間線段最短，也可以利用三角形兩邊之和大于第三邊這一性質(zhì)來解釋。

二、 例題應(yīng)用

圖2

例1 如圖2，MN是半徑為1的⊙的直徑，點(diǎn)A在⊙上，∠AMN=30°，B是弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動點(diǎn)，則PA+PB的最小值為 。

解：過點(diǎn)B作MN的對稱點(diǎn)B′，交⊙O于點(diǎn)B′，連接AB′，交MN于點(diǎn)P。根據(jù)前面的定理可知，則AB′與MN的交點(diǎn)P即為PA+PB值的最小時的點(diǎn)，PA+PB的最小值=AB′

∵∠AMN=30°

∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°

∵點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，

∴∠BON=30°

又∵由對稱性知，∠B′ON=∠BON=30°

∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°

∴△AOB′是等腰直角三角形

∴AB′=AO2+OB′2=2

即PA+PB的最小值=2

圖3

例2 如圖3，在邊長為2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上一動點(diǎn)，則EF+BF的最小值為 。

解：連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF。

∵四邊形ABCD是菱形。

∴AC，BD互相垂直平分。

∴點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為D。

∴FD=FB。

∴FE+FB=FE+FD≥DE。

又∴只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)M時，取等號（兩點(diǎn)之間線段最短）。

∵在△ABD中，AD=AB、∠DAB=60°

∴△ABD是等邊三角形。

又∵E為AB的中點(diǎn)。

∴DE⊥AB。

∴AE=12AD=1

∴DE=AD2-AE2=3

∴EF+BF的最小值為3。

三、 總結(jié)方法

對于最短路徑問題，首先，要選出恰當(dāng)?shù)囊粋€點(diǎn)作出關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另外一個點(diǎn)，所連的線段與對稱軸的交點(diǎn)，就是我們在對稱軸上所求的動點(diǎn)位置，然后連接這兩個點(diǎn)與所求動點(diǎn)的線段的和，就是最短距離。最后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，計(jì)算出這兩點(diǎn)與動點(diǎn)之間距離的長度。作圖方法可簡單的總結(jié)為“垂直、延長、相等、連接”法，可找到動點(diǎn)位置。按此方法解決最短路徑問題。

四、 結(jié)語

總之，最短路徑問題出現(xiàn)在不同數(shù)學(xué)情境中，只要我們認(rèn)真分析，會發(fā)現(xiàn)習(xí)題形變而質(zhì)不實(shí)，換湯不換藥。利用上述解題思路與技巧，靈活處理問題，這類習(xí)題容易被學(xué)生掌握，我們的數(shù)學(xué)成績定會有所提高。

作者簡介：

潘貴勞，甘肅省平?jīng)鍪校f浪縣第三中學(xué)。