非高斯噪聲下信源數(shù)未知相干信號DOA估計

鐘安琪，郭 瑩

（沈陽工業(yè)大學信息科學與工程學院,沈陽110870）

1 引言

利用處于不同位置的陣列天線接收來自不同方位信號源的信號，并計算信號源的波達方向（direction-of-arrial,DOA），是陣列信號研究中的一個重要課題，目前已取得豐碩成果，在雷達探測、水中聲納、無線通信航空導航和醫(yī)學等領域均有廣泛應用。

波達方向估計中經(jīng)典算法如Capon算法[1]和前向平滑（FOSS）算法[2]等都是在高斯噪聲背景下進行計算的，但在實際中噪聲并不都是完全呈高斯分布的，比如大氣（雷電）噪聲、海洋雜波和地表雜波等，在這些噪聲中存在十分明顯的脈沖尖峰會嚴重降低基于高斯分布假設的算法的性能，所以在這種環(huán)境背景下傳統(tǒng)的高斯分布模型不再適用。通過選擇具有厚重拖尾的分布統(tǒng)計模型如α-穩(wěn)定分布[3]，可以解決在非高斯噪聲下的波達估計問題。針對非高斯噪聲下的相干信號的DOA估計問題，文獻[4]提出了建立前/后平滑低階矩陣來進行DOA估計的FLOM-SS算法。文獻[5]通過將共變矩陣與前后向平滑算法結(jié)合，提出改進的MMUSIC算法。但上述算法均存在一個缺點，就是都要在信源數(shù)目的先驗信息為已知的前提條件下，才能進行有效的DOA估計。在實際環(huán)境中，信源數(shù)的信息通常很難得到，不確切的信源數(shù)可能導致算法的失效，這就構(gòu)成了實際應用中的局限性。

為此，基于 SW（Shapiro-Wilk）檢測[6]，提出一種新的非高斯噪聲下信源數(shù)未知的相干信號DOA估計方法，即采用SW檢測來完成對粗差信號的檢測，再以自適應的方式去除信號中的非高斯脈沖噪聲[7]；之后將除粗差后的數(shù)據(jù)作為新的輸入信號，得到其協(xié)方差矩陣；對協(xié)方差矩陣的每一行進行Toeplitz矩陣的建立，使其秩只與信號的波達方向有關，而不受信號相關性的影響，從而達到去相關的目的；然后根據(jù)其聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)生成無需信源數(shù)目的代價函數(shù)[8]，再通過由代價函數(shù)推導出的一維空間譜搜索來進行DOA估計。

2 信號模型

使用均勻線性陣列來作為DOA估計模型，如圖1所示。

圖1 陣列模型

設定陣列模型是一個陣元數(shù)為(2M+1)的線性均勻陣列,陣源間距為d，有Q（Q≤M+1）個窄帶遠場信號從不同方向即θi(i=1,2,...,Q)發(fā)送到陣列當中，并且θq∈(-90°,90°)和d≤λ/2,λ為信號的波長,λ=2πc/ω0,ω0為入射信號的中心頻率。以中心陣元作為參考陣元，假設入射信號與噪聲分別獨立，前K個信號為相干信號，其它信號獨立不相干，那么第m個陣元所接收到的信號為：

式中si(t)是第i個信號的復包絡，nm(t)是第m個陣元上的噪聲,為振幅衰減因子,并且為了使si(t)到s1(t)之間的相位差不失去一般性，我們假設則有：

其矢量形式為：

式中,S(t)=[s1(t),s2(t),...,sQ(t)]T是Q×1維的入射信號源矢量，且均值為零，彼此獨立。與之相對應的陣列流形為：

3 新算法的提出

3.1 SW檢驗

假設檢驗是分析數(shù)據(jù)樣本數(shù)據(jù)特性的方法之一，是根據(jù)設定的假設條件用樣本數(shù)據(jù)去推斷總體。總的來說，假設檢驗分為五個步驟：

(1)收集數(shù)據(jù)；

(2)定義原假設和備擇假設；

(3)選擇顯著性水平α；

(4)得出檢驗統(tǒng)計量的值及P值；

(5)選擇或拒絕原假設。

所使用的假設檢驗是Shapiro和Wilk在1965年所提出的Shapiro-Wilk檢測即SW檢測，是一種效果明顯且步驟簡單的正態(tài)性檢驗方法[9]。其檢驗統(tǒng)計量為：

式中，χi是樣本中第i個順序統(tǒng)計量（從小到大排列）的值,是樣本平均值，常數(shù)ai由下式得出：

其中 m=(m1,m2,...,mn)T，而(m1,m2,...,mn)是標準正態(tài)分布下獨立同分布隨機變量的順序統(tǒng)計量的期望值；V是順序統(tǒng)計量的協(xié)方差矩陣。W的值在0和1之間，若W的值小于判斷界限值（可通過查表求得），舍棄正態(tài)性假設；反之，則接受正態(tài)性假設。若原假設是樣本符合正態(tài)分布，當其P值（滿足p=P{|Xc|＞Zc},其中Xc是樣本值統(tǒng)計量，Zc是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得到的檢驗統(tǒng)計量值）小于等于顯著性水平α，則拒絕原假設，即測試數(shù)據(jù)不符合正態(tài)分布；反之，如果P值大于α，那么不能拒絕樣本數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的原假設。

輸入快拍數(shù)為300的包含非高斯噪聲的樣本數(shù)據(jù)，且定義其顯著性水平α=0.035，對于非高斯脈沖噪聲的SW檢測結(jié)果如圖2所示，可看出SW檢測能較好地剔除樣本中的非高斯噪聲。

圖2 Shapiro-Wilk檢測結(jié)果

3.2 去除粗差

非高斯脈沖噪聲的性質(zhì)與統(tǒng)計模型中的粗差（outlier）有一定的相似性[10]。因為在重尾分布中出現(xiàn)粗差值的概率，比高斯分布中發(fā)生超過標準偏差的概率更高。即在高斯噪聲模型中，這些較大的值（非高斯脈沖噪聲）不太可能出現(xiàn)，因此可以將非高斯脈沖噪聲認為是粗差，進而可應用假設檢驗理論的相關方法去除幅值相對較大的粗差值，降低非高斯噪聲的脈沖特性對DOA估計性能的負面影響，且相比于FLOM-SS算法和改進的MMUSIC算法，已不需要預知低階矩參數(shù)信息。

因此，當檢測到接收信號的某個樣本為非高斯樣本時，以自適應預處理的方式將其去除，從而保證處理后的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出符合高斯分布的特性，達到抑制非高斯脈沖噪聲的目的。設每一陣元接收到的離散數(shù)據(jù)序列為：

式中N為快拍數(shù)。具體地，對xk的實部和虛部分別進行處理，這里以實部舉例說明，虛部同理可求。

先對其進行排序得：

式中，bu為常數(shù)系數(shù)為剔除m個樣本值余下的樣本信息，為其均值。若W大于判斷界限值，則剩余樣本序列接收高斯分布的假設，否則令m增大，繼續(xù)進行假設檢驗，直至高斯分布假設被接受。該粗差去除過程以自適應方式完成，可描述為圖3所示過程。

圖3 基于SW檢測統(tǒng)計量的處理過程

3.3 信源數(shù)目未知的相干信號DOA估計

根據(jù)文獻[11]構(gòu)建Toeplitz矩陣可得：

選擇(10)中第m行構(gòu)成Toeplitz矩陣得：

式中：

IM+1,m為除了第m個對角線上元素為1，剩下其他的元素都為0的一個(M+1)×(M+1)維矩陣；

Sn=diag{sm,1,...,sm,P}是偽信號協(xié)方差矩陣；

Rm是具有2M+1行的矩陣并具有聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)，由于其前m行和后m行為共軛對稱(由圖1得m=-M,...,0,...,M)，對稱部分具有同樣的統(tǒng)計特性和信息，故此僅對前M行進行Toeplitz變換即可。

根據(jù)文獻[8]的部分理論推導可得到最終的空間譜估計式：

式中有：

在式(14)中max eig{·}代表矩陣的最大特征值；因Rm具有聯(lián)合對角結(jié)構(gòu)，根據(jù)文獻[8]中推導得代價函數(shù)J，因此在確定搜索范圍后，再通過由J生成的新的空間譜估計表達式，用一維搜索來求出譜峰（局部最大值）進而估計出其波達方向，且上式中只需求得最大特征值就可以估計出P(θi)，所以在進行DOA估計時不需要信源數(shù)目的先驗信息。

通過使用Toeplitz矩陣來重新構(gòu)建接收信號的協(xié)方差矩陣，利用其結(jié)構(gòu)特性可解決相干信號問題，即當信源為相干時，造成接收到數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣產(chǎn)生秩的虧損，使得信號子空間維數(shù)小于信號源數(shù)，從而信號子空間混合到噪聲子空間中去，通過式(13)使得滿秩，達到去相干的目的，增大了DOA估計的準確度。

綜上所述，在非高斯噪聲下未知信源數(shù)相干信號波達方向估計方法步驟可總結(jié)為：

(1)設置參考陣元，通過SW檢測統(tǒng)計量預處理自適應地對接收信號除粗差，得到新序列樣本；

(3)選擇R的前(M+1)行并且對每行向量進行Toeplitz變換如式(13)，構(gòu)造新樣本協(xié)方差Rm；

(4)依照式(16)和(17)來構(gòu)建矩陣F和G；

(5)利用式(14)來進行譜峰搜索并確定譜峰位置，得到DOA估計結(jié)果。

4 算法仿真

4.1 非高斯噪聲模型

非高斯噪聲模型采用的是關于零點位置對稱分布的α-穩(wěn)定分布(SαS)。其特征函數(shù)表示為：

式中，α(0＜α≤2)被稱為特征指數(shù)，用于描述拖尾分布的厚重程度，隨著α值的減小，噪聲的脈沖特性增大；γ(γ＞0)為尺度參數(shù)。當α=2 時，α-穩(wěn)定分布變?yōu)楦咚狗植疾⑶姚?類似于高斯分布的方差。當α=1時，α-穩(wěn)定分布變?yōu)榭挛鞣植肌．敠粒?時，α-穩(wěn)定分布噪聲具有厚重的拖尾，變?yōu)槊}沖噪聲。

4.2 性能指標及參數(shù)設置

在仿真實驗中，采用13陣元均勻線性陣列，陣元間距為半波長，信號為遠場窄帶信號,非高斯脈沖噪聲符合SαS分布且α=1.6,因為α-穩(wěn)定分布噪聲中不存在有限的二階矩(即方差不存在),因此通常使用的信噪比定義(信號功率與噪聲功率比的分貝數(shù)值)性能分析也就失效了。故此采用廣義信噪比（Generalized Signal-Noise-Ratio,GSNR）來表示信號與噪聲的相對功率：

定義信源DOA估計的樣本均方誤差根誤差（Root Mean Square Error，RMSE），用來描述算法的估計性能：

4.3 算法性能比較

仿真1：假設陣元數(shù)M=13，快拍數(shù)N=800，信號入射角度為20°和60°且輸入信號為相干信源（使其相關系數(shù)為1)，樣本顯著性水平?=0.025，加入α=1.6、GSNR=5dB的SαS非高斯脈沖噪聲。

將本算法分別與經(jīng)過SW檢測自適應預處理后的CAPON算法、FOSS算法、FLOM-SS算法及改進MMUSIC(Improved MMUSIC,I-MMUSIC)算法進行DOA估計對比。為便于仿真比較，對每個算法的空間譜進行歸一化處理，通過劃分其頻譜的最大值來實現(xiàn)歸一化空間譜。CAPON算法在信源為相干時性能失效，因此在這里用FOSS算法所求得的協(xié)方差矩陣來代替CAPON算法中本身的協(xié)方差矩陣。各算法的對比結(jié)果如圖4。

圖4 信源相干下各算法歸一化空間譜估計比較

由圖4可知，對于非高斯噪聲下相干信源的DOA估計，經(jīng)過SW檢測統(tǒng)計量自適應預處理后，本算法性能優(yōu)于其他算法，且峰值明顯；而CAPON算法、FOSS算法雖然能估計出結(jié)果，但性能效果較為退化。

仿真2：與仿真1的各條件保持不變，使蒙特卡洛試驗次數(shù)為300次，求出各個算法在GSNR由-5dB到20dB下的均方根誤差值，如圖5所示。

圖5 信源相干下各算法均方根誤差與廣義信噪比關系

由仿真2的結(jié)果可以看出，對相干信號做DOA估計時，當GSNR由-5dB增大到5dB時，CAPON算法和FOSS算法浮動較大。10dB之后除FOSS算法，其他算法的均方根誤差逐漸減小趨于穩(wěn)定。本算法在GSNR較小時，均方根誤差相比其他算法均小，整體性能表現(xiàn)最為穩(wěn)定。

仿真3：設定GSNR=10dB，其他條件不變，求出各算法在快拍數(shù)由100次到800次所對應的均方根誤差率，如圖6所示。

圖6 信源相干下各算法均方根誤差與快拍數(shù)關系

由仿真3的結(jié)果可知，本算法的均方根誤差不僅僅在低快拍數(shù)下有優(yōu)于其他算法的性能，且隨著快拍數(shù)的增高，其曲線比FLOM-SS和I-MMUSIC算法的表現(xiàn)都要更加穩(wěn)定。

仿真4：設快拍數(shù)N=400，其他條件同仿真1，求出各個算法在GSNR由-5dB到20dB變化時的成功概率（成功概率判定誤差范圍設定為1.2°），如圖7所示。

由仿真4結(jié)果可知，對于相干信號的DOA估計，本算法性能優(yōu)于其他算法；在0dB到10dB之間，本算法相比于CAPON算法、FOSS算法、FLOMSS算法和I-MMUSIC算法均有更優(yōu)表現(xiàn)；隨著GSNR增加到10dB時，I-MMUSIC算法的DOA估計準確度性下降。FLOM-SS算法性能較FOSS算法更好，而本算法仍比其他算法具有更高精度分辨率及良好的穩(wěn)定性。

圖7 信源相干下各算法成功概率與廣義信噪比關系

仿真5：設定GSNR=5dB，其他條件不變，求出對各算法在快拍數(shù)由100到800次下的均方根誤差率，如圖8所示。

圖8 信源相干下各算法成功概率與快拍數(shù)關系

由圖8得知，在低快拍數(shù)時，本算法對于相干信號的估計有著較高準確度，而隨著快拍數(shù)增加，準確度仍十分穩(wěn)定。

5 結(jié)束語

針對非高斯噪聲下相干信號的DOA估計，提出一種非高斯噪聲下信源數(shù)未知的相干DOA估計方法。結(jié)合SW檢驗統(tǒng)計量的方法，自適應地對混有非高斯噪聲的信號進行預處理,去除粗差值；對預處理后的新樣本序列構(gòu)建Toeplitz矩陣，利用其聯(lián)合對角化結(jié)構(gòu)實現(xiàn)未知信源數(shù)目的相干信號DOA估計。該算法無需噪聲的概率密度函數(shù)或者特征指數(shù)等參數(shù)的選擇，因此不僅僅適用于SαS模型，也適用于其它非高斯混合噪聲模型。大量的計算機仿真實驗結(jié)果表明，與現(xiàn)存一些算法相比，本算法具有較高的精度及穩(wěn)定性，可對非高斯噪聲下信源數(shù)未知的信源進行準確DOA估計。