CT系統參數標定及圖像重建模型

高雅倩

摘 要：當今，CT系統被廣泛應用于醫療與工業生產中。精確的幾何參數標定和準確的圖像重建方法是CT系統研究課題中的重要任務。本文以2017年高教社杯全國大學生數學建模競賽A題為例，依據Radon變換和最小二乘方法，經過坐標變換，建立優化模型求解出系統的旋轉中心、初始角度和探測器間距。基于所求參數，采用濾波反投影算法，通過平移及旋轉修正完成圖像的重建。

關鍵詞：CT系統 參數標定 圖像重建 Radon變換 濾波反投影算法

中圖分類號：TP39 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）04（c）-0088-03

1972年Hounsfield研制出第一臺CT機。40多年來，CT技術在其掃描方式、成像視野、重建速度、重建圖像質量以及應用領域等方面都得到了飛速發展 [1]。

在實際應用中，CT系統的參數由于安裝不當等原因會產生一定的誤差，由誤差引入的幾何偽影極大地影響重建圖像的質量。本文借助結構已知的模板，依據CT系統的成像原理，建立數學模型求系統參數的精確值，再將計算結果作為已知條件，把“取投影”→“反投影重建”→“重建后的圖像”這一過程看作一個輸入原像，輸出重建圖像的成像系統[2]，建立反投影圖像重建模型來反演出介質的形狀和坐標系中的位置。

1 模型的建立與求解

1.1 基本假設

假設一：假設X射線由單一能量的光子組成。

假設二：假設X射線源焦點的物理尺度可以忽略，可視為理想的幾何點。

假設三：假設探測器單元的物理尺度可以忽略，可視為理想的幾何點。

假設四：假設CT系統每次旋轉的角度是均勻的。

1.2 CT成像原理與Radon變換

本文給出的CT系統是從初始位置起，掃描完一個指定層面后，系統轉過一個角度（一般為1°），然后對同一指定層面進行掃描，如此進行下去直到掃描系統與初始位置成180°的位置。CT系統的旋轉示意圖及坐標系如圖1、圖2。

由于我們的模型是以正方形托盤來建立坐標系的，因此必須對Radon逆變換后的結果做旋轉校正，將介質在坐標系中旋轉角度φ0。同時，依據坐標變換做一逆向變換，也就是將介質的幾何中心平移到坐標系的中心處。

計算可得，兩介質的幾何特征和坐標位置如圖5。

如圖5中，實心點是旋轉中心在像素坐標下的位置，空心點代表系統的幾何中心。

2 結語

本文通過最小二乘方法搜索最優解，得到精確度較高的旋轉中心坐標和初始旋轉角度值，有利于提高重建圖像的質量。相比直接反投影算法，濾波反投影算法重構圖像會更加清晰，沒有陰影。這種算法經過一定的變換也可以推廣到扇束CT和錐束CT的圖像重建中。

參考文獻

[1] 池明輝.錐束工業CT系統幾何參數誤差校正算法研究[D].重慶：重慶大學，2015.

[2] 范慧赟.CT圖像濾波反投影重建算法的研究[D].西安：西北工業大學，2007.

[3] 張曉瑞.基于Radon變換的濾波反投影重建算法研究[J].電腦知識與技術，2016，27（1）：259-261.

[4] 李想.CT圖像的應用研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學，2004.

[5] 張朝宗，郭志平，張朋，等.工業CT技術和原理[M].北京：科學出版社，2009.

[6] Herman GT.Fundamentals of computerized tomography：image reconstruction from projections[M].New York：Springer Verlag，2009.

[7] 張朋，張慧滔，趙云松.X射線CT成像的數學模型及其有關問題[J].數學建模及其應用，2012，1（1）：1-12.