基于壓縮感知與擴展小波樹的自適應壓縮成像

駱 樂， 陳 錢， 戴慧東， 顧國華， 何偉基

(南京理工大學 電子工程與光電技術學院， 江蘇 南京 210094)

1 引 言

壓縮感知理論[1-2]由于能夠降低成像過程中對傳感器的要求，通過對成像目標的全局少量的采樣，代替?zhèn)鹘y(tǒng)的采樣，在相同采樣率的情況下，可獲得更高的圖像質(zhì)量，已被越來越多地應用于光學成像的各個領域[3-4]。在圖像重構過程中，圖像的重構質(zhì)量只與采樣個數(shù)有關，個別采樣值對重構圖像質(zhì)量的影響極小，所以即使在存在噪聲污染的情況下，仍然可以較大概率恢復出目標圖像，因此基于壓縮感知理論的光學成像可在一定程度上減少噪聲對成像質(zhì)量的影響。然而由于成像壓力從采樣端轉移到了圖像恢復端，隨著圖像尺寸的增大，重構圖像所需的時間呈現(xiàn)指數(shù)增長。如何降低壓縮感知成像算法的復雜度，減少成像時間，通過新的壓縮采樣方式獲得計算量小且質(zhì)量更好的圖像，是壓縮感知理論更好運用于實踐的關鍵所在。

為了解決上述問題，Deutsch、Averbuch和Dekel提出了基于小波樹結構的自適應壓縮采樣方法[5-6]。2013年，A?mann和Bayer將自適應壓縮采樣方法應用于鬼成像技術，提出了壓縮自適應鬼成像方法(Compressive adaptive computational ghost imaging，CCGI)[7]。相比于壓縮感知，這種方法所需采樣次數(shù)更少，圖像重構速度快，適合于任意尺度的圖像恢復[8]。Dai等[9]提出基于擴展小波樹的自適應成像方法(EWT-ACS)，Huo等[10-11]提出的系數(shù)指導下的單像素成像方法(Adaptive single-pixel imaging method based on guided coefficients，GC-ASPI)和基于共享機制與兄弟關系的壓縮自適應鬼成像方法[12](Compressive adaptive ghost imagingviasharing mechanism and fellow relationship,SMFR-CAGI)，進一步挖掘小波樹中各節(jié)點之間的關系，有效提高了對采樣位置預測的準確性，提高了采樣率和圖像重構效果，減少了重構所需時間。然而基于擴展小波樹結構的采樣法，由于直接采樣重要小波，采樣過程中受噪聲影響較大。除此以外，Yu等提出了自適應壓縮鬼成像(Adaptive comprssed ghost imaging, ACGI)方法[13]，該方法結合了CS與CCGI的優(yōu)點，進一步減少了測量次數(shù)，且抗噪性較好。但是ACGI在利用小波樹確定采樣區(qū)域的過程中，每次循環(huán)都需要運用CS重構算法計算小波系數(shù)，計算量大。

針對上述問題，本文在擴展小波樹的框架下，結合CS理論給出了一種基于壓縮感知與擴展小波樹結構的自適應采樣的壓縮采樣成像方法。將自適應成像中點對點采樣獲得目標的低分辨率的圖像方法改為利用數(shù)字微鏡陣列(Digital micro-mirror device,DMD)分區(qū)控制與CS重建，增強了信息獲取的準確性，減少了采樣次數(shù)。運用擴展小波樹對采樣位置進行預測，最后通過小波逆變換完成圖像重構。

2 數(shù)字微鏡陣列分區(qū)控制與小波樹結構

由于單像素相機技術將傳統(tǒng)的并行采樣轉換為串行采樣，增加了采樣時間，圖像重構算法在恢復高分辨率圖像時需要較長的運行時間。相比于高分辨率成像，這種技術更適用于低分辨圖像的獲取。基于小波樹結構的壓縮采樣模型，在采用低分辨圖像后，通過采樣重要小波系數(shù)，再由小波逆變換即可獲得所需圖像。將兩種采樣方法結合可以用于實際中的壓縮采樣與成像。

2.1 基于單像素相機的DMD分區(qū)控制采樣

DMD分區(qū)控制[10,14]是將原先的DMD中的每個微鏡按區(qū)域劃分后，使得相同區(qū)域的微鏡在投影過程中按相同的狀態(tài)進行翻轉。該翻轉過程由編程控制單個靜態(tài)存儲器(SRAM)單元的加載狀態(tài)來實現(xiàn)。由壓縮感知理論的測量矩陣的性質(zhì)，采用二進制隨機測量矩陣，SRAM的加載狀態(tài)由矩陣中的各元素值決定。因此DMD分區(qū)控制本質(zhì)上是將同一區(qū)域的多個微鏡組成一個大的微鏡，降低了原先DMD的分辨率，增強信息獲取的準確性[15]。DMD分區(qū)控制的過程如圖1，引自文獻[14]。

圖1 DMD分區(qū)控制過程，引自文獻[14]。

(1)

由式(1)可知，φi實際上是將φ1i的每個值重復4次后得到的投影矩陣。DMD分區(qū)控制減少了采樣次數(shù)，提高了圖像數(shù)據(jù)獲取的準確度[16]，這種分區(qū)采樣的思想同樣可以用于后期小波樹結構中圖像細節(jié)的采樣。

2.2 擴展小波樹理論

傳統(tǒng)自適應壓縮采樣成像方法由于子系數(shù)實際上只包含了父系數(shù)所含信息的一部分，即使是絕對值較大的重要的父系數(shù)，也有可能對應非重要的子系數(shù)，只通過父子關系來采樣重要父系數(shù)對應的所有子系數(shù)，會造成采樣資源的浪費。基于此，文獻[9]提出了擴展小波樹的概念，不僅考慮小波樹結構中上下層系數(shù)之間的父子關系，同時考慮同層不同高頻子帶中，相同空間位置處的小波系數(shù)之間的兄弟關系[17-19]。圖2給出了擴展小波樹結構中的父子與兄弟關系。其中，不同層間的單箭頭表示父子關系，子帶間的雙向箭頭表示兄弟關系。

圖2 擴展小波樹結構

圖3 單次測量的二進制投影圖像。(a)水平方向;(b)垂直方向;(c)對角方向。

(2)

根據(jù)擴展小波樹結構中小波系數(shù)間的兄弟關系，水平和垂直方向的小波系數(shù)可以寫成兩個DMD測量差值之和，如式(3)：

(3)

其中

(4)

由式(4)可知，每一個測量差值都包含了兩個對應子系數(shù)的信息。如果對角子帶上的父系數(shù)值已知，那么位于相同尺度、相同的空間位置上的水平和垂直方向的小波系數(shù)的兩個差值可以通過計算得到，由此判斷子系數(shù)的重要性。

3 壓縮感知與擴展小波樹理論的自適應壓縮成像方法

基于擴展小波樹的壓縮采樣成像方法[9]，其壓縮采樣過程主要在于對重要小波系數(shù)位置的預測并只采樣重要小波系數(shù)。對于在小波域稀疏或者可壓縮的圖像，大大減少了采樣量。但其低分辨率的粗糙圖像的獲得依舊采用的是點對點的采樣過程，即對低分辨圖像的每個像素進行全采樣。本文中對粗糙圖像的獲取進行了改進，提出了基于壓縮感知與擴展小波樹的壓縮采樣方法。由于壓縮感知方法獲得的僅僅是低分辨率圖像，所需計算量以及重構圖像所需時間很小，并不會因此增加采樣與成像時間。成像方法和流程如下：

基于DMD分區(qū)控制與擴展小波樹結構的壓縮采樣流程如圖4所示。

圖4 基于DMD分區(qū)控制與擴展小波樹的壓縮成像流程圖

由于自然圖像絕大多數(shù)都是可壓縮圖像，不滿足稀疏性，因此利用常用的重構算法很難高質(zhì)量地恢復圖像。因此在低分辨率圖像的重構過程中選用最小化全變分算法(TV minimization scheme based on augmented Lagrangian and alternating direction algorithms，TVAL3)算法，該算法不需要投影矩陣滿足正交性，在重構過程中能夠很好地保留圖像的原有輪廓，重構效果好。

4 實驗測試與分析

為了對成像質(zhì)量進行評估，采用峰值信噪比作為評價指標，其計算表達式如(5)式所示：

(5)

其中：

(6)

實驗選取灰度圖像boat和man作為測試圖像。實驗中獲得粗糙圖像所用的初始采樣率以及獲得最終圖像所用的整體采樣率對最終的成像質(zhì)量有著重要影響。為了更好地確定所選參數(shù)，本文對兩幅圖像的參數(shù)與成像的峰值信噪比進行了統(tǒng)計分析。圖5給出了兩幅圖像的初始粗糙圖像在壓縮感知中的采樣率與成像峰值信噪比的曲線圖，其中采樣所得的粗糙圖像的分辨率為32×32。

圖5 粗糙圖像采樣率與粗糙圖像峰值信噪比關系圖。(a)Boat圖像；(b)Man圖像。

如圖5所示，隨著采樣率的提高，圖像信噪比呈現(xiàn)上升趨勢，即當采樣率達到70%以后，圖像信噪比隨著采樣率的增大，增長速度加快。然而，最終成像除了與初始的粗糙圖像質(zhì)量有關，還與后期的采樣情況有關。圖6給出了當整體采樣率為10%時，最終所成圖像的信噪比與粗糙圖像的采樣率之間的關系。其中橫軸為初始粗糙圖像的采樣率，縱軸為最終圖像的峰值信噪比。

圖6 粗糙圖像采樣率與最終峰值信噪比關系圖。(a)Boat圖像；(b)Man圖像。

如圖6所示，盡管整體采樣率相同，隨著粗糙圖像采樣率的提高，圖像信噪比整體呈現(xiàn)上升趨勢。說明粗糙圖像的質(zhì)量對整體成像質(zhì)量非常重要，因為粗糙圖像的成像情況影響了后期重要小波系數(shù)所在位置的判斷，其判斷的準確性直接決定了整體成像的質(zhì)量。由圖6可知boat和 man這兩幅圖像在粗糙圖像采樣率為0.7～0.8之間時信噪比變化趨緩，達到較高的信噪比。對照圖5，當初始粗糙圖像的信噪比達到30 dB后，再次提高初始粗糙圖像的信噪比對最終成像結果的影響不大。因此選取當粗糙圖像信噪比達到30 dB時的壓縮感知采樣量作為初始采樣參數(shù)，圖7給出了兩幅圖像在給定壓縮感知采樣率分別為0.75時的成像結果，第一列、第二列和第三列分別對應的整體采樣率為3%、5%和10%。成像分辨率為512×512。

圖7中，從視覺角度看，采樣率僅為3%時，4幅圖像就已經(jīng)非常清晰了，只有背景區(qū)域以及局部少量紋理豐富的區(qū)域相對而言較為模糊。為了進一步給出量化評價，表1列出了在不同采樣率下兩幅圖像的信噪比。

圖7 不同采樣率下的成像結果。(a1～a3)Boat圖像整體采樣率為3%、5%、10%;(b1～b3)Man圖像整體采樣率為3%、5%、10%。

表1 不同采樣率下兩幅圖像的信噪比

圖8給出了采樣率與峰值信噪比之間的曲線關系，其中初始粗糙圖像依舊按0.75的采樣率通過壓縮感知重構獲得，信噪比通過多次計算取平均值記錄。

結合表1和圖8可知，隨著采樣率的提高，圖像信噪比整體呈現(xiàn)上升趨勢，其中boat在采樣率達到10%后，信噪比的提高速度變緩，說明對于邊界清晰、紋理變化相對簡單的圖像，在一定的采樣量范圍內(nèi)，少量細節(jié)的增加不影響圖像的成像質(zhì)量。而對于man圖像，在頭發(fā)、頭飾、衣服、背景處均存在較為復雜的紋理，隨著采樣量的提高，不同的紋理區(qū)域的獲得將越來越清晰，因此在采樣率達到某些關鍵值時，圖像信噪比會大幅提高，在個別點處曲線出現(xiàn)的波動主要來源于初始粗糙圖像的成像質(zhì)量的波動。當粗糙圖在重構時出現(xiàn)錯誤，會使得后期小波系數(shù)的采樣出現(xiàn)可能的偏差，尤其在采樣量較大時，這種偏差反而會導致成像質(zhì)量的降低。

為了驗證該算法的有效性，將該算法與壓縮感知中的TVAL3算法以及擴展小波樹算法EWT-ACS結果進行了比較。圖9給出了boat和man圖像在3種不同算法下的成像結果。

圖8 采樣率與信噪比關系圖。(a)Boat圖像；(b)Man圖像。

圖9 3種不同算法下的成像結果。a1～a3為boat圖像在TVAL3、EWT-ACS及本文算法下的結果;b1～b3為man圖像在TVAL3、EWT-ACS及本文算法下的結果；c1～c3為 b1～b3圖像放大后的面部圖像。

圖9中，3種算法的采樣率均設置為10%，圖像boat在3種不同算法下的信噪比分別為：20.167 4，21.932 3，24.801 2 dB；圖像man在3種不同算法下的信噪比分別為：19.392 5，21.680 3，23.976 8 dB。從視覺角度看，TVAL3算法所成圖像較為模糊，但整體輪廓的連續(xù)性高；EWT-ACS及本文算法整體清晰度更高，但均不同程度地存在一定的塊狀馬賽克現(xiàn)象。由于在相同采樣率的條件下，本文算法對細節(jié)的采樣量更大，因此塊狀現(xiàn)象相對不明顯。這點從放大后的man的面部細節(jié)可以看得更加清楚。圖9(c2)中在羽毛處有較多的大的塊狀分布，而圖9(c3)，塊狀分布明顯減小，圖像邊緣的連續(xù)性更高。

為了進一步分析該方法受成像過程中的噪聲影響情況，在實驗中模擬含探測噪聲的采樣過程，對采樣過程添加標準差為25的高斯白噪聲。加噪后的boat圖像如圖10所示，采樣率依舊為10% 。

圖10 不同算法成像結果。(a)添加噪聲后圖像;(b)TVAL3算法結果;(c)EWT-ACS算法結果;(d)本文算法結果。

由圖10可見，3種算法成像過程由于受噪聲影響，圖像質(zhì)量均出現(xiàn)不同程度的下降，(b)～(d)所對應的峰值信噪比分別為20.002 2，17.259 7，20.008 0 dB。其中，EWT-ACS算法受噪聲影響最為嚴重，因為該算法成像過程中，低分辨率的粗糙圖像以及小波系數(shù)由于都是逐點采樣，每次采樣均受到較大的噪聲影響。TVAL3算法一次采集多個點的像素，在相同強度的噪聲下，計算所得的每個像素受噪聲影響降低，因此信噪比反而較高。本文算法在獲得初始粗糙圖像時采用TVAL3算法，受噪聲影響小。

5 結 論

為了在獲取高分辨率圖像的同時減少采樣時間，同時降低圖像重構的計算量，本文從采樣過程出發(fā)，提出了一種基于壓縮感知與擴展小波樹的自適應采樣的壓縮采樣成像方法。實驗中，對算法所需參數(shù)進行了詳細討論，并與壓縮感知算法(TVAL3)和擴展小波樹的壓縮采樣算法(EWT-ACS)的結果進行了比較分析。結果表明，當參數(shù)設置為壓縮感知采樣率0.75，整體采樣率為10%時，由具體量化值可知，圖像boat在3種不同算法下的信噪比分別為：20.167 4，21.932 3，24.801 2 dB；圖像man在3種不同算法下的信噪比分別為：19.392 5 ，21.680 3，23.976 8 dB。本文提出的采樣方法所獲得的圖像效果最好，峰值信噪比最高。

而在模擬含探測噪聲的采樣過程中，對添加高斯白噪聲的boat圖像，本文方法與EWT-ACS方法最終獲得圖像的峰值信噪比分別為17.259 7 dB和20.008 0 dB。因此，當存在噪聲影響時，EWT-ACS方法受噪聲影響嚴重，本文方法由于結合了壓縮感知算法，有較好的抗噪性。