Majorana零模式的電導與低壓振蕩散粒噪聲?

顏志猛 王靜 郭健宏

(首都師范大學物理系,北京 100048)

1 引 言

在凝聚態系統中尋找并探測Majorana零能量模式(Majorana zero modes,MZM)引起了人們的極大興趣[1,2].MZM是自身的反粒子,滿足非阿貝爾交換統計性[3,4].通常的電子可以等價地看成一對MZM的線性組合,因此每對MZM可構成一個量子比特.而MZM作為“半個電子”,其交換會改變由成對MZM構成的量子態,可實現拓撲量子計算[5].作為非阿貝爾任意子,MZM的存在受拓撲保護,局域的環境干擾無法湮滅掉一個非局域的MZM,因此能有效地抵擋環境的退相干影響[6].

實現基于MZM的拓撲量子計算首先必須要有合適的材料體系,并測量體系是否具有非阿貝爾拓撲相,即需要確認MZM的存在.由InSb或InAs納米線與s-波超導體構成的異質結構,結合超導電性、強自旋-軌道作用以及磁場能夠實現拓撲超導態,產生MZM[7?9].該異質結構易于調制和操控MZM,被廣泛用于目前的實驗中[10?17].實驗上,零偏壓附近出現的反常電導峰被認為是MZM存在的可能證據[10?17].其他理論方案包括直接測量MZM的非阿貝爾統計性[18]、反常4π周期約瑟夫森效應[5]、自旋流關聯函數[19]以及直接測量隧穿過MZM的電子噪聲譜[20]等.但是,其他非拓撲的物理機制,比如,無序[21]、Kondo效應[22],特別是Andreev束縛態[23]都能產生類似的零偏壓電導峰.并且,由于MZM是超導體的零能量模式,對電磁測量不敏感,以及超導體相位的脆弱性,使得實驗上難以明確地證明MZM存在,還需要其他實驗證據進一步甄別.

理論上提出將量子點(quantum dot,QD)與納米線耦合,利用隧穿過QD的電子探測MZM[24?31].零溫時,QD與MZM耦合使得零偏壓處的電導峰減小1/2[24].大偏壓極限下,電流與噪聲能夠證明QD-納米線結構中存在MZM[25].Chen等[26]研究了類似模型在零溫且有限偏壓時的零頻散粒噪聲.大偏壓極限下,零頻全計數統計辦法可探測相同結構中的MZM[27].Shang等[28]研究了MZM與雙量子點耦合的Aharonov-Bohm干涉儀中的電導.Gong等[29?31]研究了量子點鏈式結構與MZM耦合的微分電導.諸多方案主要探討了零偏壓附近的反常電導峰[24,26,29?31],以及零溫或大偏壓極限的噪聲譜[25,27].最近,實驗上成功地將QD與InAs納米線制備在一起,利用QD的微分電導譜觀測到Andreev束縛態合并形成的MZM[15].

實驗證據促使我們思考:既然MZM導致零偏壓附近出現反常電導峰,那么(零)低偏壓區的散粒噪聲能否揭示MZM?為此本文考慮圖1所示的QD-MZM耦合系統,采用主方程方法[32]研究了一般情況(有限溫度與偏壓以及有限頻率)的散粒噪聲.研究發現,MZM導致穩態電流差呈反對稱,在零偏壓處顯示反常電導峰,表明存在MZM.但是,當QD與電極對稱耦合時,電流差則無法區分MZM.而此時散粒噪聲在低偏壓區呈相干振蕩,并在零頻處顯著增強.當QD與電極非對稱耦合時,MZM使電子由反聚束到聚束輸運,亞泊松噪聲增強為超泊松噪聲.穩態電流差結合低壓振蕩的散粒噪聲能夠證明MZM是否存在.

2 模型與理論方法

2.1 模 型

考慮QD與納米線耦合的裝置,如圖1所示.當s-波超導體與具有強自旋-軌道作用的半導體納米線接觸,并施加較強的磁場,滿足時,納米線形成拓撲超導態,在其兩端產生MZM,分別表示為γ1,γ2,滿足Z是Zeeman劈裂能,與外磁場強度B成正比;μ與?分別為納米線的化學勢和鄰近效應引起納米線中的超導帶隙.QD與近鄰γ1耦合,并處于強庫侖阻塞區.整個系統的哈密頓量可寫作:

這里Hl描述左、右兩個金屬電極,其中為電極電子的產生(湮滅)算符,電子波矢量與能量分別為k與εαk.Ht描述QD與電極間的隧穿耦合,耦合強度為tαk,設tαk～tα與狀態無關,假定電極的電子態密度ρα為常數,則電子隧穿率或能級線寬為Γα=2πρα|tα|2,單電子在QD與納米線之間隧穿的時間約為1/Γα.Hs描述QD與MZM的耦合[24?27],其中d?(d)表示QD的電子產生(湮滅)算符;εD為有無電子占據的能量差,實驗上可通過柵極電壓調節該單電子能級;εM～exp(?L/ξ)為MZM的分裂能,反映MZM波函數之間的重疊程度,L為納米線的有效長度,ξ是超導相干長度;QD與近鄰MZM的耦合強度為λ,一般地λ與QD-MZM的自旋有關.如果QD電子在磁場中的Zeeman劈裂能Es?Γα且εD>0,則QD中自旋向下的電子能級(=εD+Es)將遠大于費米能級,因此可以忽略自旋向下的電子輸運.較大的Zeeman劈裂能同時也可抑制電子自旋的Kondo效應.本文考慮無自旋電子,λ取作實數.

圖1 QD與MZM耦合結構,其中QD與近鄰MZM耦合,并與電極構成測量回路;取超導體化學勢為能量參考零點,左右電極的化學勢分別取作μL(R)=e(V0±V/2)(e為電荷電量)Fig.1.Schematic setup of a QD coupled to MZM.The QD is tunnel coupled to the nearest one of the MZM which are located at the two ends of the nanowire.The QD is connected to the electrodes,which forms a closed detection circuit.Choosing the chemical potential of the superconductor as the zero-energy reference,the chemical potentials of the left and right leads locate then atμL(R)=e(V0±V/2),respectively(with e the electron charge).

引入Dirac費米子f,表示納米線中非局域電子的能級:滿足反對易關系占據數為則哈密頓量Hs可寫為

其中λ1=λ或λ1=0分別標記QD與MZM耦合,或QD與通常Dirac費米子的隧穿.λ1=λ時Hs表明非局域的nf態是電子與空穴的等權疊加態,nf=0→nf=1既表示電子從QD到納米線的正常隧穿(～df?),又描述納米線釋放一對電子分別占據QD與nf態而導致系統電子數不守恒的過程(～f?d?).Hs在QD-MZM的直積表象|nD,nf?中分塊對角化,nD與nf取0或1,分別表示QD或非局域費米能級上的電子占據,其中QD-MZM系統總電子數的宇稱守恒,{|0,1?,|1,0?}構成奇宇稱子空間,{|1,1?,|0,0?}構成偶宇稱子空間,分別對應Hs分塊對角化的部分.當εM=0時,奇、偶宇稱子空間彼此等價;而εM=0會破壞這種宇稱簡并性.奇(偶)宇稱子空間的本征態)為

本征能量Eo±(Ee±)分別為

2.2 理論方法

本文利用粒子數表象中的主方程描述體系的動力學[32].根據左電極發射出的電子數nL和右電極收集到的電子數nR,把系統狀態劃分成多重粒子數空間.將電極視為“環境”,中間QD-MZM系統用約化密度矩陣ρ(t)描述.設QD與電極耦合較弱,將ρ(t)的運動方程展開至Γα的二階項,忽略系統能級的Lamb移位后,得到粒子數表象中的主方程:

(5)式中(L?R)表示將花括號中各項的L指標替換為R,即得到右電極對系統的耗散作用.劉維爾超算符L定義為描述系統的相干演化.費米函數描述電極的電子分布,其中μα為化學勢;為Boltzmann常數,T為溫度,并假定兩個電極溫度相同;f對電子數求和后可得并滿足:

其中L0ρ描述在電極影響下QD-MZM系統的非幺正性演化,左右電極粒子數不變化;Jα±ρ分別表示電子從QD-MZM系統隧穿進α電極以及電子從α電極隧穿進QD-MZM的量子跳躍過程.

由于超導體使系統的電子數不守恒(∝df,d?f?), 故引入兩個獨立的計數變量χα(α=L,R),分別統計左、右電極隧穿電子數的變化,從而計算電極的電流.利用二維傅里葉變換

將方程(5)寫作

(7)式中各超算符的具體形式在|nD,nf?表象中容易得到.利用(7)式可方便地計算穩態輸運電流與散粒噪聲.為此,引入累積生成函數G(χL,χR,t),

其中透射電子分布函數Tr表示對QD-MZM系統求平均.

利用G(χL,χR,t),求出各階累積函數

其中,nα(t)為t時刻α電極發射或收集的電子數算符,可由(5)式對α電極的電子計數得到.在實際求解中,常利用拉普拉斯變換:

其中,1表示單位矩陣,ρst表示系統的穩態密度矩陣, 滿足并設t=0時. 對(10)式分別計算相應計數變量χα的一階與二階偏微商,可得到穩態電流以及散粒噪聲.

2.3 電流與散粒噪聲

利用“跳躍算符”Jα±可得到流經相應電極的穩態電流為

QD-MZM系統的約化密度矩陣ρ(t)的演化方程可寫成矢量方程,ρst表示列矢量|?0??,相應的左矢為行矢量滿足因此元素1,0分別作用在ρst的對角元與非對角元上.超算符A的穩態平均值為則(11)式可簡潔地表達為

其次,利用MacDonald噪聲公式[33,34]:

以及二階累積,可以證明(13)式中第二項?nα(t)?=Iαt, 恰好與第一項展開中的一部分相抵消.因此對第一項進行拉普拉斯變換后,即可得到散粒噪聲

其中,符號表示對后面的代數多項式取實部.

3 模擬與討論

利用(7),(12)以及(14)式可以方便地研究系統的電流與散粒噪聲.以下分別研究電流與噪聲隨耦合強度Γα、分裂能εM以及溫度T的變化情況.取~=kB=e=1,并以eΓL為能量基本單位.

3.1 電 流

由于左、右電極的電流不守恒,定義兩極的電流差為

圖2顯示了在不同隧穿率Γα下電流差?I隨偏壓V的變化.作為比較,圖2給出了沒有MZM的情況(λ1=0).沒有MZM時,電子在QD與通常的費米子能級之間隧穿,系統的電子數守恒,?I=0且不隨Γα變化,在V=0處電子沒有足夠的能量隧穿進QD,電導為零.當納米線進入拓撲超導區(λ1=λ),納米線吸收來自QD和nf態的一對電子或者釋放一對電子分別占據QD和nf態.當ΓL=ΓR時,?I=0,說明QD與電極對稱耦合時僅用電流或微分電導無法區分是否存在MZM.通過調節QD柵極電壓,改變左、右隧穿結的透射率Γα,兩極電流不再守恒,電流差相對于?I=0呈非對稱變化(圖2(a)).

圖2 不同隧穿率Γα下發射極與收集極電流差及其微分電導隨偏壓V的變化 (a)電流差;(b)相應的微分電導;其他參數"D=0;"M=0:1ΓL;λ1= λ =2ΓL;T=0:1ΓLFig.2.Differences between the steady-state currents and the differential conductances:(a)Current differences between the steady-state source and drain for different QD-MZM coupling values;(b)the differential conductances.Other parameters are"D=0;"M=0:1ΓL;λ1= λ =2ΓL;T=0:1ΓL.

在V=0處,只有MZM組成的零能量電子參與傳導,因此出現零偏壓電導峰.微分電導d?I/dV可進一步說明電流差的臺階位置與非對稱的物理原因(圖2(b)),以正向偏壓為例.電流臺階即電流產生跳變的位置由費米分布決定.當發射極的費米能級與系統不同宇稱能級間的Rabi頻率共振時,在處出現電導峰.QD與右電極耦合越強(ΓR?ΓL),右電極越容易收集電子(包括超導體釋放到QD上的電子),導致電流差增大且?I>0,零偏壓電導峰較高;反之,當ΓR?ΓL時左電極發射的電子容易隧穿進QD與納米線,在二者間相干振蕩,由于時間尺度1/ΓR?1/λ,電子不易隧穿進右電極,很容易被超導體吸收,而同時超導體釋放到QD上的電子也難以被收集,使得右電極在～1/ΓR內收集與左極在～1/ΓL內發射出的電子數的絕對差值減小,電流差變小且?I<0,零偏壓電導峰降低.

下面重點研究非對稱耦合ΓL=ΓR時的電流差.MZM之間的分裂能εM對電流有重要影響.實驗上通過調節納米線的柵極陣列,改變回路納米線的有效長度,從而改變分裂能[10,14].理論[35]與實驗[14]證明,εM隨納米線長度的增加呈指數衰減.對長度約1μm的納米線,εM大約為0—50μeV.當Zeeman磁場介于拓撲平庸相與非平庸相的臨界值附近時εM～0[35].圖3顯示εM對電流差?I的影響.隨著εM增大,電流差逐漸減小,臺階向大電壓區移動,即分裂能的增大抑制電流差.這是因為εM=0時,MZM波函數之間沒有交疊,奇、偶宇稱完全等價,當QD能級與εM共振時電子易于被超導體成對吸收和釋放(～2λ),右電極收集的電子數顯著增多,電流差較大;通過調節納米線的柵極陣列,改變納米線的有效長度,使得MZM波函數的重疊增大.隨著εM增大,奇、偶宇稱的對稱性受到破壞,QD與能級εM間的失諧量增大,引起奇偶宇稱能量的分裂變大,電子不易被超導體成對吸收或發射,導致電流差減小,同時處的臺階向大偏壓區移動.

圖3 MZM分裂能"M對電流差的影響(其他參數"D=0,λ = λ1=2ΓL;ΓR=2ΓL;T=0:1ΓL)Fig.3. Current differences between the steady-state source and drain for different energy splitting"Mvalues.Other parameters are"D=0;λ = λ1=2ΓL,ΓR=2ΓL,T=0:1ΓL.

圖4顯示QD-MZM的耦合強度λ對電流差的影響.與εM類似,QD-MZM的耦合強度λ既影響電流差的大小,又改變臺階的位置.但是,與圖3中εM顯著不同的是,雖然電流差臺階隨λ增大向大偏壓區移動,但是電流差卻隨λ增大而增大.這是因為QD-MZM的耦合增強使得超導體更易于成對吸收或釋放電子,在1/λ?1/ΓR時間內右電極收集的電子數顯著增加,兩極間電流差增大.

圖4 耦合強度λ對電流差的影響(其他參數"M=0:1ΓL;"D=0;ΓR=2ΓL;T=0:1ΓL)Fig.4.Current difference between the steady-state source and drain for different coupling λ values.Other parameters are"M=0:1ΓL;"D=0;ΓR=2ΓL;T=0:1ΓL.

圖5 溫度對電流差及其微分電導的影響 (a)電流差;(b)相應的微分電導;其他參數"M=0:1ΓL,"D=0,λ1= λ =2ΓL,ΓR=2ΓLFig.5.Current differences between the steady-state source and drain and the differential conductances for different temperature T values.Other parameters are"M=0:1ΓL;"D=0;λ1= λ =2ΓL;ΓR=2ΓL.

圖5給出了溫度對電流差的影響.溫度引起的熱漲落反映在電極電子的費米分布中.溫度較低時,?I-V曲線存在明顯的臺階且臺階陡峭.隨著溫度升高,費米面附近越來越多的電子參與輸運,熱漲落引起的電荷隧穿增強,導致電流差臺階逐漸變得平緩.但是,每個臺階的位置以及平臺所代表的飽和電流差皆不變(圖5(a)).V=0時,MZM導致的零偏壓電導峰隨溫度升高而逐漸降低,并逐漸展寬(圖5(b)).而沒有MZM的庫侖相互作用多能級系統中,V=0時電流(電導)為零[36,37].

3.2 散粒噪聲

MZM耦合電子的散粒噪聲不同于普通QD情形.散粒噪聲能進一步表征MZM.下文重點研究對稱耦合(ΓL=ΓR)的散粒噪聲.

圖6顯示了有無MZM時的散粒噪聲. 有MZM耦合時,噪聲譜呈現“相干振蕩”,表明在納米線兩端存在能量較低的MZM,與線內連續高能激發態之間存在能隙,因此納米線兩端的MZM與QD發生耦合,電子在QD與納米線之間相干隧穿.說明MZM是分立局域的狀態.其次,盡管噪聲譜都呈振蕩形式,但是MZM導致零頻噪聲顯著增強(圖6(b)),尤其是在低偏壓區MZM使得零能量電子可以傳導,因此低壓散粒噪聲依然呈相干振蕩.相反,沒有MZM時,V～0附近的電子沒有足夠的能量而無法傳導,致使低壓噪聲為零(圖6(a)).比較低偏壓(圖6(c))與大偏壓(圖6(d))的噪聲譜可見,低壓振蕩的散粒噪聲是大偏壓極限[25,27]無法揭示的.因此,零頻噪聲的顯著增強以及低壓相干振蕩的散粒噪聲能夠證明存在MZM.

進一步,研究不同耦合時的噪聲譜.首先,考慮MZM分裂能對噪聲的影響,見圖7.隨著εM的增大,零頻噪聲減小并由峰逐漸變成谷.由(3)和(4)式知,當εD與超導體化學勢共振時,奇偶宇稱空間等價,相應能量的Rabi分裂相等.εM～0時,電子在QD-納米線之間相干振蕩的頻率約為2λ,SR(ω)在頻率ω ?±2λ處顯現噪聲谷.隨著εM的增大,電子在QD-納米線之間相干振蕩頻率變大,噪聲譜振蕩越發明顯(圖7(c)),谷的位置發生輕微移動(圖7(d)).但是,εM的變化對大偏壓區噪聲臺階的位置與高度沒有影響(圖7(d)).

圖6 散粒噪聲 (a)沒有MZM(λ1=0);(b)存在MZM(λ1=λ);(c)零電壓V=0時有無MZM的噪聲;(d)大偏壓V=10ΓL 時有無MZM的噪聲;其他參數"M=0:1ΓL;"D=0;λ1= λ =2ΓL;ΓL= ΓR;T=0:1ΓLFig.6.Shot noise:(a)Without MZM(λ1=0);(b)with MZM(λ1= λ);(c)V=0;(d)V=10ΓL.Other parameters are"M=0:1ΓL;"D=0;λ1= λ =2ΓL;ΓL= ΓR;T=0:1ΓL.

圖7 分裂能"M對散粒噪聲的影響 (a)"M=0:1ΓL;(b)"M=1:0ΓL;(c)"M=2:0ΓL;(d)V=0與V=10ΓL極限情況;其他參數"D=0;λ1= λ =2ΓL;ΓL= ΓR;T=0:1ΓLFig.7.Finite-frequency shot noise for different splitting energy"Mvalues:(a)"M=0:1ΓL;(b)"M=1:0ΓL;(c)"M=2:0ΓL;(d)V=0 and V=10ΓL.Other parameters are"D=0;λ1= λ =2ΓL;ΓL= ΓR;T=0:1ΓL.

圖8 耦合強度λ對散粒噪聲的影響 (a)λ=ΓL;(b)λ=3ΓL;(c)V=0時λ的影響;(d)大偏壓V=12ΓL時λ的影響;其他參數"D=0;"M=0:1ΓL;ΓL= ΓR;T=0:1ΓLFig.8.Finite-frequency shot noise for different coupling λ values:(a)λ = ΓL;(b)λ =3ΓL;(c)V=0;(d)V=12ΓL.Other parameters are"D=0;"M=0:1ΓL;ΓL= ΓR;T=0:1ΓL.

圖9 系統與電極耦合強度Γα對散粒噪聲的影響 (a)ΓR=0:5ΓL;(b)ΓR=ΓL;(c)ΓR=2:0ΓL;(d)ΓR=3:0ΓL;其他參數"D=0;"M=0:1ΓL;λ1= λ =2ΓL;T=0:1ΓLFig.9.Finite-frequency shot noise for different coupling Γα values:(a)ΓR=0:5ΓL;(b)ΓR= ΓL;(c)ΓR=2:0ΓL;(d) ΓR=3:0ΓL.Other parameters are"D=0;"M=0:1ΓL;λ1= λ =2ΓL;T=0:1ΓL.

圖8顯示QD-MZM耦合強度λ對噪聲的影響.噪聲譜依然呈相干振蕩,由于εD=0且εM～0,噪聲谷出現在ω?±2λ.但是與圖7明顯不同的是,由于λ增大,電子在QD-納米線間相干振蕩的頻率加快,導致零頻噪聲增大,特別是低偏壓V～0附近SR(0)增大尤為顯著(圖8(c)和圖8(d)).零頻噪聲峰展寬明顯,噪聲谷逐漸向高頻端移動.而在偏壓區,噪聲臺階隨λ增大而逐漸向大偏壓區移動,直至大偏壓極限下高頻端SR(ω)→1.

實驗上調節柵極電壓可以改變Γα,從而改變電子在QD上的停留時間,因此QD與電極非對稱耦合ΓL=ΓR也會影響電流及其噪聲.圖9顯示,隨著耦合強度ΓR的逐漸增大,噪聲譜呈現顯著的非對稱相干振蕩,零頻噪聲逐漸增強.當ΓL?ΓR且ΓR<λ時,電子在QD與納米線之間相干隧穿,容易被超導體成對吸收或釋放,但右電極不易收集電子,導致收集極電流減小,噪聲降低;而當ΓL?ΓR且ΓR>λ時,電子能以較快時間隧穿進右電極,導致收集極電流增大,噪聲增強.特別是,調節ΓR可使散粒噪聲逐漸由亞泊松噪聲(SR(ω)<1)變化為超泊松噪聲(SR(ω)>1),說明在MZM耦合下電子由反聚束到聚束輸運.而Γα的變化并不影響偏壓區噪聲臺階的位置.

4 結 論

本文利用主方程方法研究了QD-MZM混合結構中的穩態電流以及散粒噪聲.MZM導致兩極電流不守恒,電流差呈非對稱性,并在零偏壓附近有明顯的反常電導峰,表明存在MZM.但是,QD與電極對稱耦合時,電流差無法區分系統中是否存在MZM.而對稱耦合時電子的散粒噪聲譜在零偏壓或低偏壓區呈現“相干振蕩”,且零頻噪聲顯著增強.沒有MZM的結構中低壓散粒噪聲則為零.進一步發現,當QD與電極非對稱耦合時,MZM使電子由反聚束到聚束輸運,亞泊松噪聲增強為超泊松噪聲.低壓振蕩的散粒噪聲彌補了QD與電極對稱耦合時電流差無法區分MZM的缺陷.因此,穩態電流差結合低壓振蕩的散粒噪聲可以表征系統中是否存在MZM,有助于進一步利用輸運方法明確觀測固態結構中的MZM特征.