基于voronoi圖的鋁模支撐穩定計算

摘 要：鋁模板的支撐穩定性計算對鋁模設計至關重要。鋁模支撐的抗壓力和它支撐的范圍息息相關。本文討論采用 voronoi 圖方法生成桿件的二維劃分多邊形，作為支撐桿的作用域，用于計算支撐所受到的恒荷載。最后，計算得到支撐桿的抗壓力，和規范中的設計值比較以判斷是否合規。實驗證明我們的算法是可行的。

關鍵詞：voronoi圖 鋁模板 支撐體系

1.引言

在歐美發達國家，一些質量要求高的高層建筑普遍采用鋁模板，而在國內，鋁模板已經逐漸被使用，它必將要代替木模板、鋼模板成為主要的模板型式[2]。在鋁模板體系的設計中，結合早拆模技術，設計計算除了要滿足強度、剛度的要求外，對于鋁模的支撐體系還要重點考慮支撐的穩定計算[4]，[5]。

voronoi 圖由俄羅斯數學家 Voronoi 于 1908 年提出的，又叫泰森多邊形或Dirichlet圖。該模型在計算幾何學科中的重要地位，由于其根據點集劃分的區域到點的距離最近的特點，其在地理學、氣象學、結晶學、航天、核物理學、機器人等領域具有廣泛的應用。它是由一組由連接兩鄰點直線的垂直平分線組成的連續多邊形組成，這一模型有著實際的物理意義，voronoi 圖反映了自然界普遍存在的一種現象。

據此本文將 voronoi圖運用于鋁模支撐體系的穩定計算。本文的主要工作是，首先，將voronoi圖進行改進以使之適用于表達支撐桿和支撐桿作用域的關系，其次，提出分而治之的辦法，以桿件為單位來對支撐的作用范圍進行劃分，最后，驗證用voronoi圖劃分的多邊形來計算支撐穩定性的算法是有效的。

2. 形成V多邊形

算法以voronoi圖中的散點（vertices）和邊界（border）作為輸入。第一部分介紹如何利用vertices生成非限制voronoi圖，第二部分介紹如何利用border生成限制性voronoi圖，第三部分介紹線性的voronoi圖。

最終的結果是對border的劃分（partition），這就是voronoi多邊形，簡稱V多邊形。

2.1非限制性 voronoi 圖

本文采用的是Delaunay三角剖分算法來實現非限制的Voronoi圖。具體步驟如下：

形成凸殼

這里采用的是最優的求凸殼算法即格雷厄姆方法 [1]，其中的主要依據是凸邊的定義，凸多邊形的各頂點必在該多邊形的任意一條邊的同一側。

對凸殼進行三角化劃分

根據（1）中得到的凸殼鏈表對包絡體進行三角劃分，。劃分準則為：三點不共線且三角形中不包含其他凸殼點。

向凸殼內添加內部點

遍歷Vertices，對每個非凸點，遍歷已構成的三角形，如果該點在當前三角形中；對當前點構建新三角形，以當前點為頂點，分裂為新的三角形。

對三角形邊進行拓撲劃分

主要是對新三角形局部優化，其準則是：將兩個具有共同邊的三角形合成一個多邊形，以最大空圓準則作檢查，看其第四個頂點是否在三角形的外接圓之內？如果在，修正對角線即將對角線對調，即完成局部優化過程的處理。對已構網的三角形的每條邊進行屬性編輯，三角形三個點按逆時針連線。

形成成對應的Voronoi圖

求每個三角形的外接圓心，所有三角形的邊是有向邊，兩個點A，B，如果存在AB和BA邊，則說明該邊的度數為2，度數為1的邊是凸殼的邊；度數為2邊上，兩個三角形的外接圓心可以連線形成V邊，度數為1的邊和他所在圓心的連線，和三角形的三條邊的中點形成射線也是V邊。

這里產生的voronoi是對整個XoY平面的一個劃分（partition）。接下來我們要把他們的作用域根據border進行限制。

2.2 限制性 voronoi 圖

根據我們算法的需要，這里要對voronoi 圖的邊界進行劃分。

（1）根據2.1第（5）中生成的射線，以及連線對border的邊線進行求交并去除在多邊形外的線，參照[3]；

（2）針對vertices中的每個散點Vertex做如下動作；

（3）根據2.1（5）中描述的關系，將所有和Vertex相關的V邊找出；

（4）如果是邊界，要根據起始，終止兩個點將找出邊界上的線；

（5）根據這些線段，組成逆時針方向的多邊形，因為有Vertex作為參考，是否逆時針很容易判斷，這樣就形成了以Vertex為內點的多邊形我們稱之為V多邊形。

由上面討論可以知道我們的V多邊形的特點是：

（1）每個Vertex都有一個V多邊形；

（2）每個V多邊形內點到該Vertex距離短于到其它Vertex距離；

（3）多邊形邊界上的點到生成此邊界的Vertex距離相等。

2.3 共線 voronoi 圖

通過上述討論我們知道，只有在節點能組成三角形的情況下才能生成V多邊形。然而在一些特殊情況下我們的支撐桿并不總能拍成三角形，比如梁的支撐。這時，我們對2.2的算法做些調整就可以適用了。

將所有的節點聯想生成直線，并根據線的方向排序；

兩個相鄰邊的中垂線就形成了多段線的劃分（partition）；

對已有的邊界進行求交，并形成多邊形就形成了V多邊形了。

注意這里形成的多邊形，也是滿足2.2中敘述的V多邊形的特點的。

3.實驗

在實驗過程中給，我們支撐桿抽象為voronoi圖中的散點（vertices），將支撐的作用范圍作為voronoi圖的邊界（border）。

我們利用 vertices生成非限制性 voronoi 圖，然后border對非限制性 voronoi 圖進行剪裁，生成符合真實情況的限制性 voronoi 圖并進行了分組，從而生成了對邊界的多邊形區域的劃分。

本文采用分而治之的辦法來處理復雜的支撐問題。即以桿件為單位對其中的支撐做穩定性計算。

3.1 板的劃分

輸入為一個板時，找出和該板相關的支撐桿，開始計算其V多變形，具體過程如下：

（1）得到板的支撐的有效支持范圍：和板支座最近的支撐到該支座的中線的連線形成封閉多段線為支撐的有效支持范圍border；

（2）將板的所有支撐點作為vertices；

（3）將vertices，border作為輸入，根據2.2得到相應的V多邊形。

3.2 梁的劃分

當輸入是梁時，其V多邊形的形成過程如下：

（1）以此梁作為支座的板剩下部分，作為該梁的一部分，即多個多邊形合并在一起；

（2）跟梁兩邊的支座到最近的支撐的距離將梁的兩邊去掉，得到了相應的border；

（3）將梁的所有支撐點作為vertices；

（4）將vertices，border作為輸入，根據2.3得到相應的V多邊形。

3.3計算的結果

立桿的承載力和穩定性：板模板支撐的立桿承載力根據軸心受壓構件計算其軸向荷載極限值；根據 JGJ162—2008 建筑施工模板安全技術規范規定按照工具式鋼管立桿受壓穩定性計算其受壓穩定性；受壓穩定性公式為[5]：

（1）

其中，計算桿件的軸心壓力設計值N根據相關的V多邊形算出，以板為例

板支撐：N=1.2X（G1K*AV + G2K*VV + G3K*VV）+1.4*（Q1K*AV） （2）

其中，AV為V多邊形的面積，VV為V多邊形的體積。

根據（1）中的計算結果我們就可以知道桿件內的某個立桿是否合規。我們舉某塊板的某幾個支撐作為說明，如下圖：

圖1的voronoi 多邊形反映了撐頭的支撐作用域，圖2說明撐頭的軸力的計算結果。從計算結果可以看出，用voronoi圖表示撐頭的作用域有一定的合理性。

4. 結論

本文提出了用voronoi圖作為支撐桿的作用域的劃分的方法，比較符合實際工程情況；從實驗的結果來看這種表示方式也是有效的。計算得出了沒有支撐桿所受到的軸力，可以給模板的設計，排布者一個參考。

參考文獻：

[1] Graham， R. lo， An Efficient Algorithm for Determining the Convex Hull of a Finite Planar Set， Info. Proc. lett. ， 1972： 132-133.

[2] 仇銘華. 鋁模板技術在北美超高層建筑綠色施工中的應用[J]. 施工技術，2013（14）：122-123.

[3] 劉英偉， 張洋. 基于 voronoi 圖的材料初始組織的生成. 哈爾濱工程大學學報， Jun.2018： Vol039 No.6

[4] 羅 雯. 鋁模支撐系統數值模擬與計算. 經濟·管理·綜述Jan.2018

[5] 祝冰青. 鋁模板支撐體系的計算與應用. 山西建筑， Apr. 2015： Vol.41 No.12

作者簡介：丘衍航（1982-），男，碩士研究生，主要研究方向：BIM，鋁模板設計。

基金項目：中國建筑科學研究院應用技術研究課題“基于BIM技術的鋁模板施工智能設計軟件研究與開發”（項目編號：20160120330730035）