在解決問題教學中根植模型思想

曾國山

摘 要：數學思想不同于外顯的基本知識和基本技能，它是內隱的，隱藏在數學知識中，需要教師在課堂教學中去挖掘。由于學生的年齡特點和知識經驗積累較少，教師要善于挖掘、提煉蘊藏于教材知識、技能中的數學思想，讓數學思想在課堂教學中顯現出來，注重讓學生經歷感悟、體會、發現、創造等過程，感悟數學思想。以義務教育教科書六年級上冊《分數除法》例7“解決問題”的課堂教學為例，談談如何在課堂教學中根植數學模型思想。

關鍵詞：數學；模型；思想

一、在活動中體驗模型思想

杜威指出，教學的基本原則是“做中學”。他提出：以活動教學代替課堂講授，以兒童親身經歷代替書本知識，以學生的主動活動代替教師的主導。因此，課堂教學中要真正落實數學教學就是數學活動的教學。在《分數除法》例7“解決問題”的教學中，通過創設不同的問題情境，引導學生在提出問題、發現問題、分析問題、解決問題過程中，采用說一說、想一想、猜一猜、算一算、比一比等活動，讓學生經歷數學學習的全過程，真真切切地在具體的學習活動中體驗模型思想。

二、在探索中感悟模型思想

（一）創設情境，遷移模型

師：同學們，為了方便大家出行，施工隊正在修一條720米的道路。（課件出示）甲隊單獨修12天能完成，乙隊單獨修18天能完成。讓學生說一說從中知道哪些數學信息？

通過創設有效的具體情境，讓學生找出已知條件，說出工作總量和工作時間這兩種量，幫助學生激發已有的認知，再引導學生進一步找出隱含的條件，即工作效率。從而回顧工作總量、工作時間和工作效率三者之間的數量關系：工作時間×工作效率=工作總量、工作總量÷工作效率=工作時間、工作總量÷工作時間=工作效率，促進學習的正向遷移，初步感知三種數量之間關系的數學模型，為學習新知做好鋪墊。

（二）猜想驗證，遷移模型

1.猜想

課件出示：修一條720米的道路，甲隊單獨修12天完成，乙隊單獨修18天完成，如果兩隊合修，多少天能完成？

（1）理解：“合修”是什么意思？

（2）猜想：猜一猜兩個隊一起修路，大約幾天能修完？（學生猜測并說一說理由。）

（3）驗證：學生獨立完成。

（4）匯報：720÷（720÷12+720÷18）=7.2（天），并讓學生說說每一步表示的意義。

教師先引導學生理解題意，通過學生交流，讓學生知道“合修”就是要求出甲乙兩隊的工效之和；再進行猜想“幾天能完成”，在猜測中預測結果，理解結果的合理性，提高學生參與學習的熱情。學生通過計算加以驗證，在獨立計算中，運用已有“工作總量÷工作效率=工作時間”的數學模型解決帶有具體工作總量的實際問題。

2.對比

課件出示例題7：修一條道路，一隊單獨修12天完成，二隊單獨修要18天完成。如果兩隊合修，多少天能修完？

（1）觀察：從以上條件，我們可以獲得什么信息？

（2）對比：課件同時出示情境問題和例7，引導學生進行對比，發現道路總長（工作總量）未知。

（3）思考：①要知道合修的時間，需要知道什么？②現在道路總長未知，該怎么辦？

（4）假設：（預設36米、180米、360米等。引導學生考慮采用12和18的公倍數會便于計算）。

學生通過觀察、討論，知道要求合修的時間，就必須知道工作總量和工作效率；再引導學生進行對比，發現道路全長未知，進一步引導學生思考：該怎么辦？運用知識遷移，得出用假設法把抽象的問題具體化，如果道路總長是已知的，這個問題就轉化成以前學過的舊知識了，使得復雜的數量關系簡單化。

3.驗證，辨析各種解法

（1）嘗試：選擇其中一個數據，解決問題。

（2）匯報：指名說說自己的解決方案并板書。教師再次引導幾位學生說出假設的具體數量，然后馬上說出答案，并提問：為什么老師能根據你們的不同假設這么快地說出答案呢？

（3）觀察：引導學生仔細觀察，發現：無論道路總長假設多少，它們的計算結果都一樣。

（4）討論：為什么假設不同的數據，計算出的結果卻都一樣？

大膽放手讓學生自主探究，不同的學生假設的長度不一樣，體現了解決問題方法的多樣化和開放性。再進行結果的驗證和辨析，既是學生自主探究的有效方法，又讓學生體驗發散性思維。另外，因為學生的認知基礎不同，允許驗證的方法多樣化，對于正確的答案都能給予肯定，讓學生享受成功的喜悅。

4.建模，策略優化

（3）小結：這道題沒有給出具體的工作總量，我們可以把工作總量看作單位“1”。用工作總量除以工作效率之和，即可求得兩隊合修所需的工作時間。

教師引導學生觀察，發現這里的“36”“720”和“1”都表示工作總量，用工作總量除以兩隊的工作效率之和，即可求得兩隊合修所需的工作時間。

在探究過程中，引導學生發現并思考問題中工作總量的數據發生變化而計算結果不變的原因，“變中有不變”即“工作總量變了，工作時間還是不變”，引導學生分析此類工程問題的特點，充分體驗解決不帶具體數量的工程問題與帶有具體數量的數學模型同樣適用，讓學生自主有效地建構模型思想。

參考文獻：

[1]張化萬.問題教學與探究性學習[J].小學教學設計，2004（4）.

[2]朱凱東.問題教學是培養創新意識的源泉[J].廣西教育， 2005（10）.