以“形”助“數”，以“數”解“形”

摘 要：“數形結合”能夠幫助學生將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長，是優化解題過程的重要途徑之一。文章從以“形”助“數”和以“數”解“形”兩個方面進行闡述。

關鍵詞：以“形”助“數”；以“數”解“形”；數形結合

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 收稿日期：2018-06-28

作者簡介：賀建良（1965—），女，湖南省寧鄉市玉潭鎮中心學校教師，高級教師。

“數”和“形”是數學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統一的。“數”指數學術語、數學符號、數學公式及用語言文字表現的數量信息和呈現方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實物類教學資源等形象材料，以及用這些材料呈現數學信息的方式。數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題，它包含以“形”助“數”和以“數”解“形”兩個方面，是小學數學教學中一種基本的數學方法。

一、以“形”助“數”

“形”的廣義性以及小學生數學學習中直觀形象思維的主導地位決定了大部分數學知識學習需要“形”的支撐。數學概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。我在教行程問題時，就經常運用圖形的辦法清晰地展現問題。

例如，一輛汽車從甲地開往乙地，先是經過上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽車上坡速度是每小時40千米，在平地的速度是每小時50千米，而下坡的速度則是每小時60千米，汽車從甲地到乙地，上坡花了6小時，平地花了2小時，下坡花了4小時。請問汽車從乙地到甲地需要多長時間？

在這道題中，既存在變量，又存在不變量。變量就是上坡路和下坡路隨著汽車行駛的方向而發生改變，當汽車從乙地到甲地行駛時，原先的上坡路變成了下坡路，原先的下坡路變成了上坡路。而不變量就是這兩個路程汽車行駛的速度都是始終不變的，在平地所花的時間也是不變的。那么在解決問題的時候，就可以直觀地畫出上坡、平地、下坡線段圖展現出來。先算出汽車從乙地到甲地的上坡時間，即（60×4）÷40=6（小時），然后算出下坡所花費的時間，即（40×6）÷60=4（小時），而平地所花費的時間是不變的，所以汽車從乙地到甲地所花費的時間是6（上坡）+2（平地）+4（下坡）=12（小時）。在這道題中，運用圖像將數學中的數量關系、運算都直觀地展現出來，學生比較易于理解，這樣的教學可以在很大程度上提高教學效率。

數學性質是關于規律性的知識，應該讓學生自主探索發現，而“形”的操作有助于發現規律。如教學“3的倍數的特征”時可作如下設計：讓學生用12根小棒擺出兩位數或三位數，判斷是否是3的倍數；用11根或者8根呢？操作中學生發現，組成的兩位數或三位數是否是3的倍數只與小棒的根數有關，而與擺的方式無關，根數就是各數位上數的和。

數學規則的形成需要“形”作材料。數學規則在小學主要是有關演算過程的具體實施方法。規則學習是學生技能形成的先導。讓學生明確規則的合理性，理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現過程性目標。而數形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。

解題思路的獲得常用“形”來幫助。借助圖形解題的最大優勢是將抽象問題形象化。因為將數量信息反映在圖形上，能直觀表現數量間的關系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的文字題、解決實際問題（如“最佳方案”“截斷”等）時，恰當選用列表、線段圖、示意圖、集合圖等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。

二、以“數”解“形”

“形”具有形象直觀的優勢，但也有其粗略、煩瑣和不便于表達的劣勢。只有以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學抽象化與形式化的魅力，使學生更準確地把握“形”。

對圖形的認識要用數學語言的描述加以深化。如“線段”的教學，由于在生活中有原型，畫出來的是帶端點的線，而輔之以數學語言“直”“端點”“不能延長”等，就能較好地建立相應的表象。

幾何圖形的周長、面積、體積計算公式的歸納都是兒童對形體直觀知覺的深化。如對長方形面積大小觀念的建立從定性到定量，從直觀比較到數方格，從擺小正方形（面積單位）到發現面積與長寬的關系，最終獲得面積計算公式，使學生從在更深層面上認識長方形。

對幾何圖形性質的判斷有時需要通過計算才能獲得正確結論。如：“畫出周長是14厘米的長方形”“畫出面積是12平方厘米的長方形”，由于憑空作圖困難，而通過具體計算，先計算出長方形的長和寬各是多少厘米，結論就不辯自明了。

參考文獻：

[1]劉 偉.小學數學“數形結合”思想方 法在教材中的滲透[J].新課程學習 （基礎教育），2010（8）：93-94.

[2]張雅芬.以“形”助“數”促發展——例 談數形結合思想在小學數學教學中 的應用[J].課程教育研究，2015（32）： 189-190.