踏步數對板式AT型樓梯配筋影響分析

趙紹恒 （安徽省建筑工程質量第二監督檢測站，安徽 合肥 230000）

0 前言

鋼筋混凝土樓梯，按照傳力規律的不同，可分為板式樓梯和梁式樓梯兩種。板式樓梯，由梯板、平臺板、梯梁通過剛性連接而成，具有安全疏散、上下通行、美觀裝飾等功能，廣泛運用于房屋建筑工程中[1-2]。

根據國家建筑標準設計圖集《11G101-2》[3]，板式樓梯可分為11種類型，其中，板式AT型樓梯結構構造簡單、受力清晰、易于操控。因此，本文通過研究不同踏步數對板式AT型樓梯配筋的影響，對建筑結構設計具有一定的借鑒意義。

1 板式AT樓梯配筋計算原理

根據板式AT型樓梯受力和傳力規律，得出一種簡便的梯板和梯梁的配筋計算方法[4]。

1.1 荷載設計值計算

梯板荷載設計值和平臺板荷載設計值由恒載和活載組成。恒載包括板塊、面層及抹灰自重，梯板恒載沿板傾斜方向分布，為方便計算，將其換算成沿水平方向分布再進行計算，活載取值：消防樓梯3.5kN/m2，非消防樓梯2.5kN/m2。

1.2 梯板和梯梁配筋計算

保證梯板具有一定剛度，板厚宜取L/40～L/35，考慮施工階段的不可預見性，本文取L/35，且不小于100mm，L為梯板沿水平方向的投影跨度。梯板兩端支承于梯梁上，按照傳力特點，梯板按單向板考慮。梯板及梯梁跨中彎矩近似取M=qL2/8，q為恒載和活載在水平方向均布荷載組合值。

判斷計算系數:

M為跨中彎矩，α1系數取1，fc為混凝土軸心抗壓強度設計值，b為截面寬度，h0為有效截面高度，ζ是否滿足小于0.518。

計算配筋截面面積：

fy為鋼筋抗拉強度設計值。

2 工程案例

2.1 工程概況

某多層框架住宅采用板式AT型樓梯，混凝土等級強度C35，鋼筋級別HRB400，平臺板跨度及梯板寬均設計1000mm，梯梁截面尺寸200×400mm，面層20厚水泥砂漿，板底抹灰20厚水泥砂漿。板式AT型樓梯結構配筋詳圖如圖1所示。

圖1 板式AT型樓梯配筋詳圖

2.2 基于MATLAB配筋計算

以下計算均通過MATLAB軟件編程實現，計算結果詳見表2。

2.2.1 梯板板厚計算

踏步寬 260mm，踏步高 150mm，踏步數取 3、5、7、9、11、13、15、17，梯板厚度取 1/35 跨度且大于100mm。

定義參數變量：踏步數n，梯板板厚t。控制輸入踏步數，并計算相應踏步數梯板厚度結果見表1。

板式AT型樓梯踏步數與梯板厚度關系 表1

2.2.2 梯板荷載計算

①梯板恒載

梯板自重：[（0.26×0.15/2+0.26×0.1/0.866）×25]/0.26=4.761kN/m2

面層自重：[（0.26+0.15）×0.02×20]/0.26

=0.631kN/m2

抹灰自重：0.02×20=0.4kN/m2

梯板恒載：4.759+0.631+0.4=5.792kN/m2

②梯板活載

考慮消防樓梯功能，取3.5kN/m2

③梯板荷載設計值

2.2.3 平臺板荷載計算

①平臺板恒載

平臺板自重：0.10×25=2.5kN/m2

面層自重：0.02×20=0.4kN/m2

板底抹灰：0.02×20=0.4kN/m2

平臺板恒載：2.5+0.4+0.4=3.3kN/m2

②平臺板活載取3.5kN/m2。

③梯板荷載設計值

2.2.4 梯板配筋計算

①跨中彎矩（簡便計算，系數取）

②系數

③計算梯板配筋截面面積

④查配筋表[5]，梯板實際配筋截面面積251mm2。

2.2.5 梯梁配筋計算

①荷載計算

梯板平臺板傳來荷載：11.850×（0.26×9）/2+8.86×1/2=18.295kN/m

梯梁自重：1.2×（0.4×0.2）×25=2.4kN/m

梯梁荷載設計值

②梯梁跨中彎矩

③系數

④計算梯梁配筋截面面積

⑤查配筋表[5]，梯梁實際配筋101mm2。

2.3 牛頓插值法數據分析

基于MATLAB計算機軟件編程，實現板式AT型樓梯踏步數3～17級的牛頓插值法計算，畫插值多項式關系圖，分析函數圖像得出結論。

2.3.1 牛頓插值法MATLAB代碼[6]

基于C語言雙循環結構語句，編寫差商數值矩陣：

板式AT型樓梯踏步數與配筋截面面積關系 表2

采用代數疊加法計算牛頓插值多項式，并化簡：

2.3.2 牛頓插值多項式數據分析

基于2.3.1腳本代碼，計算踏步級數3～17級時，踏步數x與梯板計算配筋截面面積y的牛頓插值多項式，表達式為：

研究踏步數與梯板梯梁計算配筋截面面積二者關系，采用牛頓插值法對其關系深入分析，基于MATLAB作踏步數與計算配筋截面面積二維函數關系圖及對應一階、二階導數關系圖，詳見圖2～5所示。

據圖2、3可知：踏步數3～17級，隨踏步數的增加，梯板計算配筋截面面積加速增加；5～9級，其二階導數變化最緩。對梯板計算配筋截面面積而言，踏步數宜取5～9級，其中，踏步數設計取其均值7級最為合理。

據表4、5可知：踏步數3～17級，隨踏步數的增加，梯梁計算配筋截面面積平穩增加；6～12級，其一階導數變化最緩。對梯梁計算配筋截面面積而言，踏步數取6～12級為宜，踏步數設計9級最為合理。

3 結論

通過建立板式AT型配筋模型，采用牛頓差值法分析計算結果，繪制牛頓插值多項函數關系圖，得出以下結論。

①利用MATLAB語言編程，可實現板式AT型樓梯配筋智能計算，對建筑結構設計由手算往機算的發展具有一定參考價值。

②踏步數對板式AT型樓梯梯板梯梁配筋有明顯影響，踏步數3～17級時，踏步數與梯板梯梁計算配筋截面面積成正比例關系；對梯板配筋而言，踏步數設計7級為宜；對梯梁配筋而言，踏步數設計9級為宜。

③對于層高較高，可設計成多段樓梯，梯板配筋用料遠多于梯梁，每段踏步數從配筋角度宜設計為7級。

圖2 板式AT型樓梯踏步級數x與梯板計算配筋截面面積y關系圖

圖3 板式AT型樓梯梯板計算配筋截面面積y對踏步級數x一階、二階導數關系圖

圖4 板式AT型樓梯踏步級數x與梯梁計算配筋截面面積y關系圖

圖5 板式AT型樓梯梯梁計算配筋截面面積y對踏步級數x一階、二階導數關系圖