“電磁場與電磁波”教學(xué)中物理模型的構(gòu)建方法和作用研究

蘭俊卿，杜國宏

（成都信息工程大學(xué)，四川 成都 610225）

1 物理模型的概念

物理模型是指人們借助特定物理場景，對復(fù)雜實際問題進(jìn)行抽象化處理，得出的一種能形象反映問題本質(zhì)特性的現(xiàn)象、過程或結(jié)構(gòu)模型等[1]。人們通過學(xué)習(xí)和研究物理模型，了解原型客體特性及其運動和變化規(guī)律。在教學(xué)過程中，合理構(gòu)建物理模型既可以幫助學(xué)生以更加直觀、形象的方式來分析和研究問題，又可以加深學(xué)生對于知識的理解，讓學(xué)生了解知識的潛在應(yīng)用價值，從而從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問題的能力[2-3]。

“電磁場與電磁波”是工科電類專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)理論課。學(xué)生通過本門課程的學(xué)習(xí)，可以掌握電磁場和電磁波的基本概念和基本理論，同時為后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。但是通過多年教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在課程教學(xué)過程中存在諸多問題。

1.1 課程內(nèi)容抽象

在課程學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生耗費大量時間研究復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和進(jìn)行枯燥的解析求解。學(xué)生無法為電磁場和電磁波構(gòu)建形象化的物理模型，不能從根本上認(rèn)識電磁場的存在形式和變化規(guī)律。

1.2 課程中包含大量的理論推導(dǎo)

需要用到先前學(xué)到的數(shù)學(xué)知識。但是在數(shù)學(xué)課程中，重點是放在數(shù)學(xué)分析上，沒有為數(shù)學(xué)定義構(gòu)建形象化的物理模型，無法認(rèn)識到相關(guān)數(shù)學(xué)知識點的物理應(yīng)用。因此，在“電磁場與電磁波”中使用相關(guān)數(shù)學(xué)知識的時候，學(xué)生難以理解數(shù)學(xué)公式所代表的物理意義。

1.3 課程重點是理論知識

課程無法有效提升學(xué)生們分析和解決電磁場問題的能力，同時也無法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這樣不僅不利于后續(xù)相關(guān)課程的開展，也無法從根本上提升學(xué)生的能力[4]。

為了有效解決以上問題，本文提出，在課程講授中應(yīng)該重視物理模型在整個教學(xué)中的作用。面對復(fù)雜抽象的電磁場問題，首先，要合理選擇物理場景，建立讓學(xué)生容易理解、能夠反映物理問題本質(zhì)屬性的物理模型。其次，為課程中常用的、抽象的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型，重在讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識背后潛在的物理應(yīng)用。最后，在物理模型的基礎(chǔ)上，通過分析物理過程可以幫助學(xué)生更加客觀地認(rèn)識和理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)。更重要的是，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治瞿芰?，從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問題的能力。本文將通過對以上3點內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)闡述，來探究物理模型的構(gòu)建方法和作用。

2 合理選擇物理場景，反映物理問題本質(zhì)

首先，在構(gòu)建物理模型的時候，由于學(xué)生的知識背景和理解能力不盡相同，所以新構(gòu)建的物理模型必須要簡單、易懂。其次，新構(gòu)建的物理模型不應(yīng)該拘泥于電磁場這門學(xué)科，應(yīng)該將學(xué)生引入熟悉的物理場景，或者生活中經(jīng)常遇到的以及學(xué)生們感興趣的事情上。這樣不僅可以幫助學(xué)生們以更加簡單的方式來理解抽象的電磁現(xiàn)象，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。最后，物理模型一定要具備反映原物理問題本質(zhì)特性的功能。本文將通過“均勻平面波”概念的講解來探討以上內(nèi)容。

“均勻平面波”是電磁波的一種理想情況，作為最簡單的電磁波傳播形式，是學(xué)習(xí)和研究電磁波的基礎(chǔ)，在“電磁場與電磁波”課程教學(xué)中占有重要的地位。由于電磁波是看不見、摸不著的，在教學(xué)過程中，如何讓學(xué)生理解均勻平面波的傳播特性就成為課程講授的最大難點。本文將通過引入新穎的物理場景，為學(xué)生構(gòu)建能夠反映均勻平面波傳播特性的物理模型。

首先，在物理場景的選擇上，本研究突破了電磁場這門學(xué)科的束縛。我們選擇通過抽動拔河所用的麻繩所產(chǎn)生的“振動波”來構(gòu)建均勻平面波物理模型。這樣將同學(xué)們的思維從復(fù)雜的電磁場模式轉(zhuǎn)換到拔河場上。因為絕大多數(shù)同學(xué)都參與過拔河比賽，可以較容易地聯(lián)想到，當(dāng)上下抽動麻繩一端時，麻繩會產(chǎn)生半圓弧狀“突起”，突起會沿著麻繩傳播。為了簡化模型，我們假設(shè)繩子無限長，同時假設(shè)每次抽動都是相同的，并且突起在傳播過程中沒有能量損耗。這樣就借助麻繩建立起一個典型的“振動波”傳播模型。即每抽動一下繩子，就會有一個特定半圓弧形狀“突起”產(chǎn)生并沿著繩子一直傳播下去。

其次，在構(gòu)建了物理場景之后，將引入“波陣面”的概念。波陣面是空間相位相同的點構(gòu)成的曲面。為了讓同學(xué)們理解什么是相位相同的點，構(gòu)建如圖1所示的振動波模型。

圖1 振動波模型

如圖1所示，在yoz平面上，每間隔m距離放置一根麻繩，繩子平行于z軸。在不同的時間分別抽動每一根麻繩左端點。經(jīng)過一段時間t后，呈現(xiàn)如圖所示的情況。所謂“相位相同點”就是圖1中麻繩“突起”上相對位置相同的點（例如圖1中所示p1，p2和p3是3個突起的峰值點，就是一組相位相同的點）。當(dāng)繩間距m減小的時候，在y方向，相同距離就可以放置更多的麻繩。當(dāng)m趨于0的時候，在yoz平面上就可以放置無數(shù)根麻繩（繩子粗細(xì)忽略不計）。我們把每個突起的相位相同點連起來就構(gòu)成了一條曲線。這個時候我們可以把這條曲線叫作“波陣線”。上面研究的情況是集中在yoz二維平面上，將上述情況沿著z軸擴(kuò)展到三維，把垂直于z軸的每個平面上的“波陣線”進(jìn)行連接就構(gòu)成了一個曲面，這個曲面就是“波陣面”。

知道了波陣面的概念之后，假設(shè)抽動繩子的時間是相同的，那么這個時候上述模型中的波陣線就是平行于y軸的一條直線，那么波陣面就是一個平面。所謂“平面波”就是指當(dāng)波陣面是平面時的情況。這里我們研究的場量是振幅。假設(shè)每次抽動繩子的狀態(tài)都是相同的，在平面波上，任一點上繩子的振幅狀態(tài)都是相同的，所以任意點上振幅和（x，y）坐標(biāo)沒有關(guān)系。這種情況下，我們就可以把這個平面波叫作“均勻平面波”。

通過上述實例，我們選擇“拔河”作為物理場景，通過構(gòu)建由拔河繩產(chǎn)生的“振動波模型”來講解均勻平面波。雖然振動波和電磁波有本質(zhì)上的不同，但是對于“均勻平面波”的概念來說，卻沒有本質(zhì)的區(qū)別。同學(xué)們通過學(xué)習(xí)由振動波構(gòu)建的平面波模型容易理解相位相同點、波陣面、平面波等均勻平面波概念中的難點。更重要的是，同學(xué)們可以為自己構(gòu)建出一個清晰的“平面波模型”。

3 數(shù)學(xué)物理模型構(gòu)建方法

在構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型的時候，不僅應(yīng)該重視數(shù)學(xué)推導(dǎo)，更應(yīng)加強(qiáng)對于數(shù)學(xué)知識潛在物理應(yīng)用的學(xué)習(xí)。本文提出通過引入物理模型，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識背后潛在的物理應(yīng)用。

在電磁場理論學(xué)習(xí)中，“梯度”是描述電磁場的重要數(shù)學(xué)概念。教學(xué)實踐證明雖然在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過梯度，但是很多同學(xué)認(rèn)為梯度概念抽象，不清楚梯度可能的物理應(yīng)用在哪里。本文將通過構(gòu)建“梯度”物理模型，研究數(shù)學(xué)物理模型的構(gòu)建方法和意義。

首先，本文將以“爬山”作為物理場景，在如圖2所示的理想圓柱狀山峰中構(gòu)建標(biāo)量場的等值面模型。

圖2 溫度場等值面模型

由于溫度是標(biāo)量，所以山峰間溫度場可以表示為：

所謂“標(biāo)量場的等值面”就是指標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點時形成的一個空間曲面。所以圖3中，溫度場的等值面就是函數(shù)u取得相同數(shù)值的點時得到的曲面，即：

為了簡化模型，本文假設(shè)溫度只和山峰的高度有關(guān)，那么溫度就可以表示為：

如圖2所示，溫度場的等值面就是垂直于z軸的平面。

其次，將在圖2溫度等值面模型的基礎(chǔ)上引入“方向?qū)?shù)”概念。爬山是大多數(shù)同學(xué)都親身實踐過的一項戶外活動。在爬山的時候，尤其是遇到高度落差較大的山峰時候，會感覺到隨著高度的變化，溫度會出現(xiàn)明顯的下降（理論上平均每上升100 m，溫度會下降0.6 ℃），如圖3所示。

圖3 方向?qū)?shù)模型

經(jīng)過點A0時溫度瞬間變化率可以表示為：

式（5）就是標(biāo)量溫度場u在點A處沿著l 方向的方向?qū)?/p>

0數(shù)。通過上述講解同學(xué)們就可以為方向?qū)?shù)建立起一個非常清晰的對應(yīng)物理模型。即在行進(jìn)的過程中某點，沿著行進(jìn)方向上，溫度隨路程的變化率。

最后，建立“梯度”的物理模型。為了簡化模型，假設(shè)溫度場u隨z軸呈線性變化，即：

這里的“-”號指的是溫度降低。 那么如圖3所示，A0點的方向?qū)?shù)就可以表示為：

其中θ為前行方向和y軸正方向之間的夾角。由式（7）可知，A0點的方向?qū)?shù)與sinθ成正比。并且當(dāng)θ等于90°的時候，方向?qū)?shù)的絕對值取得最大值。

在此基礎(chǔ)上，引入梯度的概念。標(biāo)量場u中某點的梯度是一個矢量，它的大小等于該點最大方向?qū)?shù)的值，它的方向指的是最大方向?qū)?shù)所指的方向。以圖3所示模型為例，溫度場中A0點的梯度的方向就是θ等于90°的時候，大小等于-k。

通過上述講解，我們將復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)概念應(yīng)用到了同學(xué)們熟悉的物理場景里。同學(xué)們借助數(shù)學(xué)物理模型的幫助不僅可以學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，更重要的是同學(xué)們知道了數(shù)學(xué)概念的物理應(yīng)用，為今后使用該數(shù)學(xué)知識奠定了重要的基礎(chǔ)。

4 基于物理模型的“物理過程”分析方法

在物理知識的講授過程中，加強(qiáng)對于“物理過程”的分析不僅可以幫助學(xué)生更加客觀地認(rèn)識和理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)，更重要的是，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治瞿芰?，從根本上提升學(xué)生分析和解決物理問題的能力。本文提出借助物理模型培養(yǎng)學(xué)生“物理過程”的分析能力。下面將以第三部分“方向?qū)?shù)”的物理模型為例，探究基于物理模型的“物理過程”分析方法。

首先，本文提出將“物理過程”的分析凝練在一個學(xué)生熟悉的場景或者故事中。在方向?qū)?shù)的講授過程中，我們以圖3中山峰溫度場模型為基礎(chǔ)，將物理過程的分析轉(zhuǎn)變成研究在爬山過程中溫度隨路程的變化率。這樣可以使學(xué)生能夠“身臨其境”的感受物理現(xiàn)象的變化，在“親身實踐”中培養(yǎng)學(xué)生的物理過程分析能力。

其次，借助物理模型，通過“提問”引導(dǎo)學(xué)生合理推演和分析物理過程，在分析中學(xué)習(xí)物理現(xiàn)象的本質(zhì)和變化規(guī)律。在學(xué)習(xí)方向?qū)?shù)概念的時候，我們首先給大家拋出一個問題：“是否在爬山的時候感受到過溫度的變化？”通過問題引導(dǎo)大家進(jìn)入“爬山狀態(tài)”，并和老師一同感受爬山過程中溫度的變化。這個問題在一定程度上還可以幫助大家較深刻地記住梯度研究的對象是標(biāo)量場。在此基礎(chǔ)上我們構(gòu)建圖3理想溫度等值面模型，然后讓學(xué)生分析，在爬山過程中，如果選擇不同的路徑或方向爬山，感受到的溫度隨路程變化率會怎樣。同學(xué)們借助圖3溫度等值面模型，可以直觀地想象出行進(jìn)方向會影響到溫度隨路程的變化率。

上述分析可以讓幫助同學(xué)直觀地理解方向?qū)?shù)的物理意義。同時通過上述方法，同學(xué)們在問題的引導(dǎo)下，對物理過程進(jìn)行合理推演，并通過分析爬山過程中溫度的變化，學(xué)習(xí)和掌握方向?qū)?shù)的概念和物理意義，這樣可以有效地培養(yǎng)學(xué)生邏輯分析能力，從根本上提升分析和解決物理問題的能力。

5 結(jié)語

本文針對“電磁場與電磁波”教學(xué)中存在的問題，提出重視物理模型在整個教學(xué)中的作用，通過合理選擇物理場景，構(gòu)建反映物理問題本質(zhì)的物理模型，將抽象、復(fù)雜的電磁場直觀地展現(xiàn)在同學(xué)們面前。同時，為課程中較抽象的數(shù)學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)物理模型，重在讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識背后潛在的物理應(yīng)用。最后，借助物理模型，突出對“物理過程”的分析，通過分析物理過程幫助學(xué)生更加客觀地認(rèn)識和理解物理現(xiàn)象的本質(zhì)，學(xué)習(xí)運動和變化規(guī)律。更重要的是可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹治瞿芰Γ瑥母旧咸嵘龑W(xué)生分析和解決物理問題的能力。希望本文可以為“電磁場與電磁波”課程的教學(xué)工作提供新的方法和思路。