化繁為簡，巧用直線的參數方程

程璐

摘 要：本文主要從四個方面，舉例說明如何使用直線的參數方程，求弦長，解決中點問題，求軌跡方程，證明相關等式，通過直線的參數方程可以化繁為簡，有效提高做題效率。

在平面幾何里，一些關于焦點弦長、某點的坐標、軌跡方程、等式證明等類型的題目，我們可以考慮運用直線的參數方程去分析解決。它的優點在于，能化繁為簡、減少計算過程，從而明顯提高做題效率。

首先，直線的參數方程的標準式：過點 傾斜角為 的直線 參數方程為 （t為參數， 為直線的傾斜角）

t的幾何意義是：t表示有向線段 的數量， 為直線上任意一點。

一、用直線的參數方程求弦長相關問題

如果知道過某點的某一直線與一個圓錐曲線相交，要求出直線被截的弦長。我們可把這一直線的參數方程代入圓錐曲線的方程里，然后利用韋達定理和參數t的幾何意義得出弦長。

例1過點 有一條傾斜角為 的直線與圓 相交，求直線被圓截得的弦長。

分析：1、考慮點P在不在圓上；2本題用一般方法解要寫出直線方程，然后代入圓方程，要想求出弦長過程比較復雜、 計算量大；3、適合運用直線的參數方程進行求解。解：把點 代入圓的方程，得 所以點P不在圓上，在圓內可設直線與圓的交點分別為A、B兩點由題意得直線的參數方程為 ，（t為參數）代入圓的方程，得 整理后得 ①因為Δ= 設①的兩根為 ，即對應交點A、B的參數值，由韋達定理得 ； 由t的幾何意義，得弦長

評注： 此類求弦長的問題，若運用直線的參數方程參數方程去解，根據參數t的幾何意義和韋達定理就能比較簡捷的求出弦長。

小結：我們在運用直線的參數方程解決求弦長問題時，發現在解決例1

此類題型時有一定的規律，這個規律在解決此類問題時可以當 公式來用，對解題速度很有幫助的。下面我對這個規律進行闡述：方法總結：求二次曲線 ①截直線 ② （t是參數， 為直線的傾斜角） 所得的弦的長。

解：由①和②消去 整理后，若能得到t的二元一次方程：

③

則當有Δ= ，截得的弦長為 （公式一）

證明：設 為③的兩個實根，根據韋達定理有 ④

又設直線與二次曲線的兩個交點為 ，則

， ⑤

根據兩點的距離公式，由④，⑤得弦長

（證畢）

上述公式適用于已知直線的傾斜角，那如果已知直線的斜率呢？

例2若拋物線 截直線 所得的弦長是 ，求 的值。

解：由直線的方程 ，得直線的斜率k= =2，且直線恒過點

∴該直線的參數方程為 ，（t為參數）

把參數方程代入拋物線方程，整理后得

因為t是實數，所以Δ=

由公式二，有 解得

評注：我們通過運用直線的參數方程得到了公式一和公式二，在解決關于弦長問題時運用公式一或者公式二解題就會更加方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應該考慮用公式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應該先考慮用公式二。

運用直線的參數方程解中點問題

例3已知過點 ，斜率為 的直線和拋物線 相交于A，B兩點，若AB的中點為M，求點M坐標。

解：設過點 的傾斜角為 ，則 ，則 ，

可設直線的參數方程為 （t為參數）把參數方程代入拋物線方程 中，整理后得 ，設 為方程的兩個實根，即為A，B兩點的對應參數，根據韋達定理 ，由M為線段AB的中點，根據的幾何意義可得

所以M所對應的參數為 ，將此值代入直線的參數方程里，得M的坐標 即

評注：在直線的參數方程中，當 時，則 的方向向上；當 時，則 的方向向下，所以AB中點M對應的參數t的值是 ，這與求兩點之間的中點坐標有點相似。

三、運用直線的參數方程求軌跡方程

運用直線的參數方程，我們根據參數t的幾何意義得出某些線段的數量關系，然后建立相關等式，最后可得出某動點的軌跡。

例4 過原點的一條直線，交圓 于點 ，在直線 上取一點 ，使 到直線 的距離等于 ，求當這條直線繞原點旋轉時點 的軌跡。

解：設該直線的方程為

，t為參數， 為直線的傾斜角

把直線方程代入圓方程，得

即 根據公式一，可得 ，

可設 點坐標為 ，其對應的參數值為t，則有 ，因為 ，所以 易知，點 到直線 的距離是 ，即 由題意有 = 等式兩邊同時平方，化簡后得 解得 或

當 時，軌跡的一支為 ；當 時， ，從而得另一支軌跡 即 ；

因此所求軌跡系是由圓 和直線 組成。

評注：遇到此類題目，考慮運用直線的參數方程先把弦長求出來， 在根據題意建立相關等式，根據等式消元化簡得出結果，本題的關鍵主要是建立等式 = 。

四、運用直線的參數方程證明相關等式

運用直線的參數方程，由參數t的幾何意義，可以得到一些數量關系，對證明一些幾何等式很有幫助。

例5設過點 的直線交拋物線 于B、C，求證：

證明：設過點 的直線的參數方程為 （t為參數， 為直線的傾斜角）

因為直線與拋物線交B、C兩點，故 。把直線參數方程代入拋物線方程，整理后得

設 為兩根，即點B、C的對應參數值，根據韋達定理得

； 根據參數t的幾何意義有AB= ，AC= ，所以

評注：在證明一些相關等式問題時，引用直線的參數方程輔助證明，會讓證明思路更加清晰易懂，在證明過程中根據參數t的幾何意義，用參數t去替換其它變量，把所要證的等式化繁為簡。

總之，我們運用直線的參數方程對以上例題進行了解答，在解題過程中，我們能體會到直線參數方程的魅力所在，它使我們在解決很多問題時可以化繁為簡、容易理解。從中，我們還發現直線參數方程的參數t和韋達定理的和諧統一，這會讓我們感受到數學的簡潔美，并為我們的解題帶來了無窮的想象空間和更為廣闊的解題思路。

參考文獻

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