導數零點問題求解探析

林志鵬

【摘要】 函數與導數是高考試卷的常見壓軸題?！皩狄椎?，零點難求?！北疚耐ㄟ^幾道典型題目探討了這類問題的幾種常見破解方法，豐富這類問題的解題策略，提高解題效率。要能夠從容應對此類高考壓軸題，除了注重總結，根本上還是要提高數學學科素養，才能融會貫通。

【關鍵詞】 導數 零點問題 總結 學科素養

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）07-035-01

0

導數是研究函數性質的重要工具，而求導數零點是導數應用的一個重要前提。函數與導數是高考試卷的常見壓軸題，其中導數零點無法求解往往是此類題目的難點之一。導數易得，零點難求，本文通過幾道典型題目探討了這類問題的幾種常見破解方法，豐富這類問題的解題策略，提高解題效率。

一、加強式子變形

對數學式子進行變形，是學好代數最重要的能力之一。加強對涉及到的式子及導數的變形，可以方便求導以及導數零點的求解。

例1.已知fx=ax-1ex+x2，x=0是fx的極值點.求證：fx≥lnax-1+x2+x+1.

證明：∵f′x=exax-1+a+2x，∵x=0是fx的極值點，∴f′0=a-1=0a=1；∴fx=x-1ex+x2故要證： x-1ex≥lnx-1+x+1，令x-1=t，即證tet+1≥lnt+t+2，

設hx=ex·ex-lnx-x-2x>0，即證hx≥0，h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex，

令ux=ex-1ex， u′x=ex+1ex2>0，∴ux在0，+∞上遞增，又u1=e-1e>0， ue-2=ee-2-e<0，故ux=0有唯一的根x0∈0，1， ex0=1ex0，當0x0時， ux>0h′x>0，

∴hx≥hx0=ex0·ex0-lnx0-x0-2=ex0·1ex0+lnex0+1-x0-2 =1+x0+1-x0-2=0.

點評：此題用到兩次重要的式子變形，一個是將要證明的式子轉化成tet+1≥lnt+t+2，另一個是h′x=e·exx+1-1x-1=ex+1ex-1ex的變形整理。

二、利用二分法確定導數零點范圍，設而不求

在求導數零點的時候無法求出具體的數值，可以嘗試利用利用二分法確定導數零點個數及范圍，并利用零點必須滿足的式子求解極值。

例2.設函數fx=xex-12a+1x2+2x， gx=lnx-12a+1x2-ax+a+1， a∈R.當x>0時，函數y=fx的圖像上存在點在函數y=gx的圖像的下方，求a的取值范圍.

解：∵函數y=fx的圖像上存在點在函數y=gx的圖像的下方，可知x>0，使得fx0， xex-lnx-x-10時， φ′x=x+1ex>0，所以φx在0，+∞上遞增， ∵φ（0）=-1，φ（1）=e-1 ，

∴φx存在唯一的零點t∈0，1，且當x∈0，t時， φx<0，當x∈t，+∞時， φx>0，則當x∈0，t時， h′x<0， hx單調遞減，當x∈t，+∞時， h′x>0， hx單調遞增，

故hx≥ht=tet-lnt-t-1， 由tet-1=0，可得lnt+t=0， ∴ht=0，∴hx≥ht=0，

點評此題中，利用二分法確定φx存在唯一的零點t∈0，1，又因為h′x=x+1xxex-1不能直接求解零點，所以利用導數零點必須滿足tet-1=0從而求出極值。

三、放縮法

如果所研究的函數是比較復雜的超越函數，則在證明不等式時經常要利用放縮法對不等式進行放縮。此類題目中，經常要利用題目中前面已經證明的結論，或者利用一些比較常見的三角函數及指對數函數的放縮結論來進行放縮。

例3.函數fx=ex-x-1， gx=exax+xcosx+1.（1）求函數fx的極值；（2）若a>-1，求證：當x∈0，1時， gx>1.

解：（1）略.（2）不等式gx>1等價于ax+xcosx+1>1ex，由（1）得： ex≥x+1.

所以1ex<1x+1， x∈0，1，所以ax+xcosx+1-1ex>ax+xcosx+1-1x+1 =ax+xcosx+xx+1 =xa+cosx+1x+1. 令hx=cosx+a+1x+1，則h′x=-sinx-1x+12，當x∈0，1時， h′x<0，所以hx在0，1上為減函數，因此， hx>h1=a+12+cos1，

因為cos1>cosπ3=12，所以，當a>-1時， a+12+cos1>0，所以hx>0，而x∈0，1，所以gx>1.

點評：此題利用了ex≥x+1進行了放縮，否則原函數中既含有指數函數又有三角函數及一次函數，式子比較復雜，難以直接研究。

以上幾種方法，只是研究函數與導數的一些常用方法。函數與導數作為代數問題的一部分，同學們要能夠從容應對此類高考壓軸題，除了注重總結，根本上還是要提高數學學科素養，提高解題能力，才能融會貫通。