微波濾波器耦合矩陣綜合方法改進

徐晨陽，肖中銀

（上海大學通信與信息工程學院，上海200072）

隨著無線通信的快速發展，對微波濾波器的要求也越來越高。微波濾波器作為通信系統中的一個關鍵器件，具有抑制系統噪聲，消除帶外雜散，防止信號串擾的作用。

計算耦合矩陣是設計濾波器的重要步驟。耦合矩陣不止可以用于設計同軸濾波器，介質濾波器[1]，雙模濾波器[2]和雙通道濾波器[3]，也是濾波器調試診斷[4-5]的關鍵。

通常計算濾波器的耦合矩陣有兩種方法，即分析法和綜合法。可以根據對濾波器電路原型的計算，通過ADS，Designer，MWO等電路仿真軟件建模完成，但這需要根據每一個濾波器的指標新建或修改模型，要求操作者熟練使用這些軟件，而且對于復雜電路，優化變量較多使耗時較長。可是，用綜合的方法可以快速計算出濾波器的響應和耦合矩陣等設計數據。Richard J.Cameron[6-7]和Amari[8]分別提出了用迭代的方法，綜合出濾波器低通原型的傳遞函數。但是按照[6-7]中的方法綜合出來的耦合矩陣是濾波器的一種特殊的拓撲結構，實際應用很難實現，需要對耦合矩陣進一步的消元，使之與實際能實現的拓撲結構一致。由系統傳遞函數計算耦合矩陣的方法主要有兩大類：旋轉消元法[6-7]和優化法[8-10]。旋轉消元法是對綜合得到的初始耦合矩陣進行相似形變換，在保證矩陣的特征值和特征向量不變的情況下消去矩陣中應該為0的值。

優化法按照其目標函數可分為三大類。第一類優化法是由S.Amari提出的，利用耦合矩陣與傳輸零點和反射零點之間個關系建立耦合矩陣。將系統的傳輸極點和傳輸零點分別代入由耦合矩陣求得的S11和S21多項式，通過優化耦合矩陣，達到目標函數最小值。這種方法的缺點是對初始值非常敏感，用梯度優化算法很難優化出合適的結果。第二種優化法是由A.Lamecki提出的[10]，根據N階濾波器的耦合矩陣與短路輸出導納的關系，提出了基于短路輸出導納分子分母特征值的優化方法。第三種優化法是由G.Macehiarella[9]提出的，通過優化耦合矩陣旋轉消元角度的方法，消去耦合矩陣中不需要的變量。G.Macehiarella的方法對N+2型的耦合矩陣進行相似變換，對耦合矩陣里每一個應消元素進行一次旋轉消元。比較這3種優化方法，前兩種方法的缺點是對優化的初始值非常敏感，用梯度優化算法很難優化出滿意的收斂結果。第三種方法雖然編程簡單，只需要求得初始耦合矩陣，并且對初始值可不敏感，可以直接用rand（-π，π）生成初始值，但對階數較高或者帶外傳輸零點較多等復雜拓撲結構，收斂效果不好。

文中提出了一種改進的算法，首先對耦合矩陣做預處理，縮短優化時間。再對優化旋轉消元角度的方法進行改進，通過調整選擇消元的順序和旋轉點，使優化更加快速有效。最后給出兩個設計實例，

寫成矩陣如式（3）矩陣形式。

證明了這種方法的實用性。

1 廣義切比雪夫綜合理論

由廣義切比雪夫原型得到傳遞函數的分子分母多形式FN，PN，EN是綜合濾波器以及得到耦合函數的基礎。由FN可求得S11的零點，由PN可求得S21的零點。其關系由下列公式表示：

具體的迭代計算方法在Cameron和Amari的文章中已經很詳細的敘述了，這里不再贅述。由圖1的通用帶通濾波器電路模型可以耦合系數與電路各部分之間的關系。

根據基爾霍夫定理可得方程組：

其中[U]為單位矩陣，R為R11=R1，Rnn=Rn，其余元素為0的N階矩陣，M是耦合矩陣。

那么上式可簡化寫為：

則可以由耦合矩陣計算出[I]，由此得出耦合矩陣和S參數的關系如下式：

圖1 通用帶通濾波器電路模型

2 優化算法的改進

本文通過選擇合適的優化算法，改進綜合過程有效的提高濾波器耦合矩陣的綜合速度和效果。

1）優化算法的選擇

目前用于優化耦合矩陣的算法主要有兩大類：一類是牛頓算法及其衍生的擬牛頓等算法[11]；其一類是遺傳算法[12]、神經網絡[13-14]、野草算法[15-16]等。

牛頓算法使用目標函數的導數，也就是多元函數的梯度，找到目標函數的最優下降方向，收斂很快[11]，就是通過梯度算法優化濾波器耦合矩陣的。但梯度算法求極值的原理也決定了這類算法很容易陷入局部最值，可能無法得到所期望的耦合矩陣。

遺傳算法[12]是一種模擬自然選擇生物進化過程的隨機算法，初代種群按照適者生存和優勝劣汰的原則，逐代演化產生更優的解，其包括選擇、交叉、變異上中操作算子，使用的是全局并行搜索的方式來搜索種群中的最優解，有效的避免了對初值的敏感問題[17]。與遺傳算法類似的還有神經網絡，野草算法等。但由于其全局遍歷性，這些算法得到最優解的耗時較長。

牛頓優化算法的速度明顯高于其他算法，如果要避免牛頓算法的缺點，耦合矩陣的初始值很重要，如果對耦合矩陣做預處理，使之接近優化的全局最優解，那么優化效果和計算速度都能兼顧。

2）對初始耦合矩陣做預處理

綜合出來的原始耦合矩陣可以先按照Cameron[6-7]中的方法旋轉消元做預處理。旋轉消元是對耦合矩陣進行相似變換，變化后矩陣的特征值和原耦合矩陣的特征值一致。由公式（5），（6）可以看出，耦合矩陣直接確定了S21和S11的響應。對于一個N階的濾波器初始耦合矩陣M0進行相似變換，公式如下：，其中R為旋轉矩陣，Rt為旋轉矩陣的轉置。M1為旋轉變換一次的耦合矩陣。若旋轉點為其他主對角線的元素為1，其他元素為0。θ為旋轉角度。R可表示為：

對耦合矩陣Mb進行以[i，j]為旋轉點，θ為旋轉角度的旋轉變換，那么Mb+1相對Mb，第i行和j行，第i列和j列發生變化，其他元素不變。

但要由初始耦合矩陣M0得到目標耦合矩陣，必須按照特定的順序和角度來進行消元，這個順序和傳輸零點的數量和位置以及N的大小有關。[6][7]中的消元順序無法滿足任意拓撲結構耦合矩陣消元。那么，使用簡單消元的順序和角度，對初始耦合矩陣做預處理，這里使用的消元順序是第一行從右到左，第N列從上到下，第二行從右到左，第N-1列從上到下，以此類推，直到所有應消元素都做了消元處理。這樣，大部分的待消元素已經被消去，余下的元素用優化法可以很快完成消元步驟。

3）優化旋轉角度得到最優解

G.Macehiarella旋轉消元消元是按照從下到上，從右到左的順序一行一行進行，初始耦合矩陣M0對每個應消元素選擇消元可表示為：

若用Ez表示設M0中所有需要消去的元素的位置，其中共有z個元素，則其優化目標函數可寫為，

由式（8）可以看出，要消去哪個元素就以哪個元素為旋轉點，那么每一次旋轉的旋轉點已經確定，旋轉角度未知。通過對旋轉角度的優化得到其最優解。

由（1）中的旋轉消元方式可知，耦合矩陣CM進行以[i，j]為旋轉點，θ為旋轉角度的旋轉消元，那么其第i行和j行，以及第i列和j列都發生變化。如果按照上面的順序消元，耦合矩陣中應消元素會被多次旋轉變換。以一個7pole的濾波器為例，如圖2（a），其中，標記為S的是自耦合，M為主通道耦合，C為交叉耦合，x為應消元素。如果按照式（8）的方式，那么旋轉消元的旋轉點順序為[5，7]，[4，7]，[4，6]，[2，7]，[2，6]……，設其旋轉角分別為θ1，θ2，θ3，θ4，θ5……那么在以[4，7]，[2，7]為旋轉點消元時，已經消元變換過的[5，7]發生如下變化：

其中M的上標表示變換的次數。很清楚地看出應消元素M57將與多個角度相關，求解旋轉角就轉換成了求解一個多元高次非線性方程組。這也使這種方式的優化效果不佳，無法收斂較好的結果。

適當的調整旋轉順序和旋轉點，目的是使每個應消元素與盡可能少的旋轉角度相關。旋轉順序的旋轉采用“洋蔥式”，以耦合矩陣右上角為起點，由外向內消元。圖 2（b）拓撲為例，消元順序為[1，7]，[1，6]，[1，5]，[1，4]，[1，3]，[2，7]，[3，7]，[4，7]，[5，7]，[2，6]，[2，5]，[2，4]，[4，6]，這就如同將耦合矩陣先在第 1行“剝去”一層，再從第7列“剝去”一層，以此類推。消元的旋轉點根據被消元素是在被“剝去”的行還是被“剝去”的列分成兩種。被消元素[m，n]位于被“剝去”的行，旋轉點選擇[n-1，n]；被消元素[m，n]位于被“剝去”的列，旋轉點選擇[m，m+1]。這樣就避開了耦合矩陣中的元素多次旋轉的問題。

對于拓撲結構較復雜的情況，上述方法也無法滿足所有應消元素都只與一個旋轉角度相關。但這時要求解的方程組已經明顯比前一種的方法簡單得多，選擇合適的優化算法，可以很快得到最優解。

圖2 耦合矩陣及消元

3 設計實例

例1用上述方法設計一個10腔的濾波器，頻率范圍 1880～1915 MHz，傳輸零點位置位于[1872，1875，1920，1930.5]，初步消元后目標函數 K 值為0.217，用Matlab的Quasi-Newton算法優化后得到的響應曲線與用電路仿真軟件Ansoft Designer對比圖見圖3，其中實線為綜合優化響應曲線，虛線為仿真響應曲線。可以看出，綜合優化響應和仿真響應一致。軟件仿真電路原理圖見圖4和耦合矩陣見圖5。

圖3 綜合結果與仿真軟件Ansoft Designer結果對比

例2，設計并制作了一款濾波器，頻率范圍2575～2615 MHz，傳輸零點位置[2567.6，2570.5，2619.5，2622.4]，綜合優化響應曲線和實際測試曲線對比圖見圖6，其中實線為綜合優化響應曲線[18]，虛線為實際測試曲線。可以看出，綜合仿真響應和實際樣品吻合度很高。其拓撲圖見圖7，圖8為樣品圖片，耦合矩陣如圖9所示。

圖4 仿真電路

圖5 綜合結果

圖6 綜合結果與樣品測試結果對比

圖7 濾波器拓撲圖

圖8 樣品效果圖

圖9 綜合結果

4 結束語

本文改進原有使用優化算法計算耦合矩陣的方法，先對由廣義切比雪夫函數綜合得到的初始耦合矩陣做預處理，再通過調整優化旋轉角度消元法的旋轉順序和旋轉點，提高了優化效率和優化效果。通過與電路仿真軟件計算結果和實際產品的測試結果對比，證明了這種方法的可行性。大大方便了實際工程應用。